精品解析：广东佛山市南海区瀚文外国语学校2025-2026学年八年级下学期第二次学情自测数学试卷

八下第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、它不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、它是轴对称图形，不是中心对称图形； C、它既是轴对称图形，也是中心对称图形； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 若 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，，， 观察四个选项，正确结论是B． 3. 关于 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由数轴可得：这个不等式组的解集是. 4. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键． 由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意． 故选D． 5. 在中，的对边分别是．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B选项；根据勾股定理逆定理可判断C、D选项． 【详解】解：A、∵ ， ∴ ， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形， 故C选项符合题意； D、∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故D选项不符合题意． 6. 如图，在中，， ，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解： ，， ， 垂直平分， ， ， ． 7. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点   按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 8. 如图，在数轴上点A，B表示的数分别为0，2，过点A作，且，以点B为圆心， 的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点A的左侧），则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知， ，为直角三角形，再利用勾股定理求出 的长，即可知点D所表示的数． 【详解】解：由图可知为直角三角形， ∵数轴上点A，表示的数分别为0，2，， ∴，． ∵以点B为圆心， 的长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为． 9. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为 ．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“时间=路程÷速度”统一单位后，利用两者的时间差关系列方程即可． 【详解】解：∵设外卖员配送速度为，则无人机速度为， 可得外卖员用时为小时，无人机用时为小时， ∵24分钟小时，无人机比外卖员早到小时，即外卖员用时比无人机多小时， ∴ 可列方程为． 10. 若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被4整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案． 【详解】解： ． ∵的值总能被4整除，n为任意整数， ∴总能被整除． 整数k为、1、5均满足条件，故选项A、B、D不符合题意， 整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 若分式有意义，则 的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 13. 如图，一次函数的图象经过点，则关于 的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴当 时， ， 即关于 的不等式的解集为 ． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点向左平移得到，左右平移过程中纵坐标不变， 点的纵坐标为， 又将点向下平移得到，上下平移过程中横坐标不变， 点的横坐标为， 点的坐标为． 15. 如图，在中，，该三角形的面积为， 是边 上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据的面积的面积 的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题一（共3题，每题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】先计算分式的加法，再将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①可得， 由②可得 ， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图， 是 的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，作于点，于点，则， ∵ 是 的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 为落实教育部2026年人工智能进中小学部署，推进探究式科学教育、培养学生创新实践能力，某校计划采购甲、乙两类AI科学实验套装，为学生实践探究提供支撑．购买1件甲种实验器材与2件乙种实验器材共需220元，购买2件甲种实验器材与3件乙种实验器材共需370元． （1）求甲种实验器材和乙种实验器材的单价； （2）该校计划购买甲种实验器材和乙种实验器材共150件，总费用不超过11500元，那么最多能购买甲种实验器材多少件？ 【答案】（1）甲种实验器材单价为80元，乙种实验器材单价为70元 （2）最多能购买甲种实验器材100件 【解析】 【分析】（1）设甲种实验器材单价为 元，乙种实验器材单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种实验器材件，则购买乙种实验器材件，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种实验器材单价为 元，乙种实验器材单价为元，　 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：甲种实验器材单价为80元，乙种实验器材单价为70元． 【小问2详解】 解：设购买甲种实验器材件，则购买乙种实验器材件， 根据题意，得， 解这个不等式，得． 答：最多能购买甲种实验器材100件． 20. 先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若是多项式的一个因式，求k的值． 解：是多项式的一个因式， ∴设（为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． （1）若 是整式的一个因式，求m的值 （2）若整式是的因式，求的值． 【答案】（1）3 （2）2 【解析】 【分析】（1）设（为整式），则可得当时，，代入计算即可； （2）设（为整式），则可得当时，，代入可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，再代入计算算术平方根即可得． 【小问1详解】 解：∵ 是整式的一个因式， ∴设（为整式）， 当，即时，则有， 将代入得：， 解得． 【小问2详解】 解：∵整式是的因式， ∴设（为整式）， 当 ，即时，则有， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是 ，点Q运动的速度是 ，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是等边三角形？ （2）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是直角？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）结合是直角，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， 根据题意得，， ， ． 时，为等边三角形， ， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ， ∵，， ， ， 即， 解得； 当时，是直角． 五、解答题三(共2题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图(1)中，M是 的中点，P是射线 上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图(1)，过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图(2)，当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图(1)，当，为锐角三角形，且 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图(1)、(3)，请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 【答案】（1）见解析 （2）①2.5．理由见解析；②结论仍然成立．见解析；③锐角三角形：，钝角三角形： 【解析】 【分析】(1)由是 的中点，得，而，，即可根据""证明，则； (2)①由，是 的中点，得 ，而，则，由，得，所以 ，则，结合，即可得到答案；②先证明 ，再设，，则，，从而得到，结合，则，即可证明，所以①中的结论成立；③分为锐角三角形和钝角三角形，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 证明∶ 是 的中点， ， 于点，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解∶①，是 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为∶． ②成立， 证明∶如图(1)，，是 的中点， ， ， ， ， ， 由(1)得， ，， 设，， 则，， ， ， ， ， ， ， ． ③结论∶锐角三角形∶， 钝角三角形∶， 理由如下∶设，则， ∵于E， 于D， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中线， ∴ ， 若是锐角三角形，则 ， ∴， 若是钝角三角形，则， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点A（x，y），定义点A的“离心值”p（A）：P（A）＝，当，时； 例如对于点A（﹣6，3），因为|﹣6|＞|3|，所以p（A）＝|﹣6|＝6 （1）已知B（0，5），C（﹣3，3），D（﹣，﹣1），将p（B）、p（C）、p（D）按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）　 　． （2）如图1，点P（﹣1，3），E（﹣1，﹣3），线段PE上的点M（x，y）， ①若p（M）＝1.5，写出M的坐标． ②在图中画出满足p（M）＝1的点M组成的图形． （3）如图2，直线l过点（0，﹣3）和（3，0），将直线l向上平移m（m＞0）个单位得到直线l'，若l'上恰好有两个点的离心值为1，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）p（D）＜p（C）＜p（B） （2）①M的坐标为（﹣1，1.5）或（﹣1，﹣1.5）；②见解析 （3）1＜m＜5 【解析】 【分析】（1）根据“离心值”的定义求解即可； （2）①由题意得，点M的横坐标x＝﹣1，纵坐标在﹣3和3之间，再根据“离心值”的定义即可确定M的坐标； ②根据“离心值”的定义求出M的坐标，根据yM的取值正确画图即可； （3）先求直线l的解析式为：y＝x﹣3，确定离心值为1的点构成正方形ABCD，又l'上恰好有两个点的离心值为1，确定边界点A和C的直线上有一个离心值为1的点，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：（1）∵B（0，5），|5|＞|0|， ∴p（B）＝5， ∵C（﹣3，3），且|﹣3|＝|3|， ∴p（C）＝3， ∵D（﹣，﹣1），且|﹣|＞|﹣1|， ∴p（D）＝， ∴p（D）＜p（C）＜p（B）； 故答案为：p（D）＜p（C）＜p（B）； 【小问2详解】 ①∵点P（﹣1，3），E（﹣1，﹣3），线段PE上的点M（x，y）， ∴x＝﹣1，﹣3≤y≤3， ∵p（M）＝1.5， ∴M的坐标为（﹣1，1.5）或（﹣1，﹣1.5）； ②根据离心值的定义可知，对于线段PE上的点M（x．y），它的横坐标xM，纵坐标有yM满足|xM|＝1，|yM|≤3， ∵p（M）＝1， ∴|xM|≥|yM|， ∴﹣1≤yM≤1， ∴点M组成的图形即为线段HF，如图1，其中H（﹣1，1）、F（﹣1，﹣1）； 【小问3详解】 ∵直线l过点（0，﹣3）和（3，0）， ∴设直线l的解析式为：y＝kx﹣3， 把（3，0）代入得：3k﹣3＝0， ∴k＝1， ∴直线l的解析式为：y＝x﹣3， 设点E（x，y），满足p（E）＝1， ∴当|xM|＝1时，0≤|yM|≤1，当|yM|＝1时，0≤|xM|≤1， ∴离心值为1的点E组成的图形即为线段AB，线段BC，线段CD，线段AD，其中点A（﹣1，1），点B（﹣1，﹣1），点C（1，﹣1），点D（1，1）， 过点C且与l平行的直线为：y＝x﹣2，此时F（0，﹣2），m＝1， 过点A用与l平行的直线为：y＝x+2，此时M（0，2），m＝5， ∵l'上恰好有两个点的离心值为1， ∴1＜m＜5． 【点睛】本题考查了坐标与图形，认真阅读，了解并熟练运用“离心值”的定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 5. 在中，的对边分别是．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，， ，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在数轴上点A，B表示的数分别为0，2，过点A作，且，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点A的左侧），则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为 ．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 若分式有意义，则的取值范围是________ 13. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______． 14. 在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 15. 如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 三、解答题一（共3题，每题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解不等式组：． 18. 如图，是的平分线，．求证：． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 为落实教育部2026年人工智能进中小学部署，推进探究式科学教育、培养学生创新实践能力，某校计划采购甲、乙两类AI科学实验套装，为学生实践探究提供支撑．购买1件甲种实验器材与2件乙种实验器材共需220元，购买2件甲种实验器材与3件乙种实验器材共需370元． （1）求甲种实验器材和乙种实验器材的单价； （2）该校计划购买甲种实验器材和乙种实验器材共150件，总费用不超过11500元，那么最多能购买甲种实验器材多少件？ 20. 先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若是多项式的一个因式，求k的值． 解：是多项式的一个因式， ∴设（为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． （1）若 是整式的一个因式，求m的值 （2）若整式是的因式，求的值． 21. 如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是 ，点Q运动的速度是 ，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是等边三角形？ （2）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是直角？ 五、解答题三(共2题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图(1)中，M是的中点，P是射线 上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图(1)，过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图(2)，当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图(1)，当，为锐角三角形，且 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图(1)、(3)，请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 23. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点A（x，y），定义点A的“离心值”p（A）：P（A）＝，当，时； 例如对于点A（﹣6，3），因为|﹣6|＞|3|，所以p（A）＝|﹣6|＝6 （1）已知B（0，5），C（﹣3，3），D（﹣，﹣1），将p（B）、p（C）、p（D）按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）　 　． （2）如图1，点P（﹣1，3），E（﹣1，﹣3），线段PE上的点M（x，y）， ①若p（M）＝1.5，写出M的坐标． ②在图中画出满足p（M）＝1的点M组成的图形． （3）如图2，直线l过点（0，﹣3）和（3，0），将直线l向上平移m（m＞0）个单位得到直线l'，若l'上恰好有两个点的离心值为1，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $