精品解析：广东省佛山市南海区南海实验中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握第二象限点的符号特点是解题的关键． 根据点在第二象限，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ，解得， 在数轴上表示为，． 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，将绕点O顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质．根据旋转的性质得，结合图形求解即可得出结果． 【详解】解：∵将绕点O顺时针方向旋转至， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点A坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集为， 故选：C． 7. 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质等．过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过点D作交延长线于点E，于点F， ∵为的角平分线， ， ． 故选：B． 8. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：C． 9. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　） A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于 C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于． 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④动点M，N分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由“筝形”的性质可得，可证是等边三角形，故①正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故②正确；由面积关系可求，故③错误；作点D关于的对称点，连接，交于点，连接，根据轴对称的性质得出此时的周长的最小，最小值为，证明，等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出，得出，根据，即可得出，可判断结论④． 【详解】解：∵四边形是“筝形”， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，故结论③错误； 作点D关于的对称点，连接，交于点，连接，如图： 此时四点共线， 故，则的周长的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的周长的最小值为，结论④正确， ∴正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 12. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点A平移前后的坐标，得到其平移方式，即可得到点B的对应点的坐标． 【详解】解：平移后得到的对应点的坐标为， 平移方式为向右平移了个单位，向上平移了个单位， 的对应点坐标为，即， 故答案为：． 14. 如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形的周长公式求出的值，根据线段垂直平分线的性质和定义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合图形，进行计算即可得到答案． 【详解】解：的周长为20， ， 垂直平分， ，， ，， ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【详解】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故答案为：． 三．解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）正方形空地面积减去四个小正方形面积求出草坪的面积， （2）因式分解后将a与b的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，草坪的面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 草坪的面积为平方米 三、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知，是边上的中线，垂足为． （1）求作：射线，使，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）得到的图形中，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，射线即为所求． （2） 证明：，， ． 是边上的中线， ． ， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）证明，可得，则，即是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，、均在格点上． （1）画出向左平移个单位后的图形； （2）画出绕顺时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握“旋转图形的方法是解题的关键． （1）分别确定的三个顶点、、向左平移5个单位后的对应点，，，再顺次连接，，即可； （2）分别确定，，绕顺时针旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，即可； （3）线段扫过的面积是以为圆心，为半径的圆的面积的，计算可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：， 线段扫过的面积为：． 21. 阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： ，这种方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法因式分解：； （2）已知、、是三边的长，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2）是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴， ∴是等边三角形． 四、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读理解】我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，，，为正整数，，故原方程的正整数解有3个，分别为，，； 【问题解决】（1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值； 【应用迁移】（3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本7本，类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】（1）；（2）或；（3）正确 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的应用；解题的关键根据题意列出方程或不等式； （1）根据题意, 可得, 根据均为正整数, 即可求解; （2）根据正整数解的解法计算即可； （3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意，可得根据均为正整数，即可求解. 【详解】（1）， ， 均为正整数， ； （2）解： 和是正整数 ∴解得： ∵二元一次方程有且只有一个整数解 且为正整数 或． （3）设A类型笔记本的单价为元，B类型笔记本的单价为元，根据题意， 可得，即， 均为正整数， 设（为正整数），则， ， ， 不能为整数， 故原方程无正整数解． 吴老师的判断正确． 23. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①，②，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可；②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再根据解题即可． 【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 过点作，于点，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点O顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 9. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　） A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于 C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于 10. 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④动点M，N分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 12. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为________________． 14. 如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则_____． 15. 若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是______________． 三．解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 三、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知，是边上的中线，垂足为． （1）求作：射线，使，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）得到的图形中，若，求证：是等腰三角形． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，、均在格点上． （1）画出向左平移个单位后的图形； （2）画出绕顺时针旋转后的图形； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积． 21. 阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： ，这种方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法因式分解：； （2）已知、、是三边的长，且满足，试判断的形状． 四、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读理解】我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，，，为正整数，，故原方程的正整数解有3个，分别为，，； 【问题解决】（1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值； 【应用迁移】（3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本7本，类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 23. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $