精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区鼓楼两校中考前模拟数学试题

2026届九年级三模 一、单选题（每小题2分，共12分) 1. 在我国，平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．将130 000 000用科学记数法表示为（ ） A. 1.3×108 B. 0.13×109 C. 1.3×109 D. 13×107 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：把130 000 000用科学记数法可表示为1.3×108． 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 设则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， 故选：A． 3. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，根据相关运算法则，逐项判定即可 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，故错误，符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④错误， 故①③正确； 故选：B． 5. 已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线ABx轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b<0，然后判断点M的横坐标与纵坐标的正负即可解答． 【详解】解：∵直线ABx轴， ∴2a+2=4，解得：a=1， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴b<0， ∴b-a=b-1<0，a-2=1-2=-1<0， .点M在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，根据直线ABx轴可得点A，B的纵坐标相等是解答本题的关键． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数所在的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断直线的走向、与坐标轴的交点与图形中直线的走向是否符合． 【详解】解：反比例函数在一、三象限， ， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故A选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故B选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故C选项错误； 反比例函数在一、三象限， ， 一次函数中随的增大而增大， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故D选项正确． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分) 7. 的平方根是________，的绝对值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平方根、绝对值的定义分别求解即可． 【详解】∵，8的平方根为， ∴的平方根是； ∵， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平方根和绝对值的定义，熟记各定义是解题的关键． 8. 如图，在中，，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，取的中点，连接，，根据已知可求出，，可求出，先在中利用角的直角三角形的性质求出，的长，从而可得是等边三角形，进而可得，，然后利用等腰三角形三线合一性质求出的长，从而求出，的长，最后证明，从而利用全等三角形的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线，即可解答． 【详解】解：过点作于点，取的中点，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 边的长为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，把图形中隐藏的等边三角形（  ）以及全等三角形（ ）发现是解题的关键． 9. 如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连按AP并延长交圆于点E，则DE的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接CE，作出，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，在根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：连接CE，作， ∵P为边CD的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正多边形的外接圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形的解答此题的关键． 10. 数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 11. 对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设a是二次函数（c为常数）的不动点，根据二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点得到关于a的方程有两个不相等的实数根，且两个实数根是都小于1，设这两个实数根为，得到∆，且，即可求出答案． 【详解】解：设a是二次函数（c为常数）的不动点， 则，即， ∵二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点， ∴关于a的方程有两个不相等的实数根，且两个实数根是都小于1， 设这两个实数根为，则， ∴∆， ∴∆，且， ∴，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及新定义，一元二次方程的解的判定及一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12. 已知一次函数的图象与直线关于直线对称，则此一次函数的解析式为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，通过坐标系中点的对称性求出对称点的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点，， ∵一次函数与关于对称， ∴一次函数过点，， 设所求的一次函数为， 解得： 即解析式为：． 故答案为． 13. 某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，则该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程，解这个方程即可作答． 【详解】根据题意，可得：， 解方程得：(不符合题意,舍去) 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 某中学数学竞赛，满分150分．规定不少于120分的获金牌，分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，获奖人数比不获奖人数少20，后来改为不少于110分的获金牌，分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是120分和100分，则总参赛人数是______． 【答案】176 【解析】 【分析】分析变化的量，分数段的变化对应的会有人数的变化，然后通过数量关系列方程即可． 【详解】设不少于120分的有x人，由题意知， 分的有5人，分的有人， 的有10人，分以下的有人， 则 解得 那么总参赛人数是 故答案为：176 【点睛】此题考查一元一次方程与实际问题，解题关键是明确金银牌的对应的分数段，找准数量关系． 15. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，分别交于点，且，则长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP，根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=8-x，BP=6-x=EF，DF=DE-EF=8-(6-x)=x+2，依据Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，求出x的值，即可得出AF的长． 【详解】根据折叠可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=8，CP=EP 在△OEF和△OBP中， ∵∠EOF=∠BOP，∠B=∠E=90°，OP=OF， ∴△OEF≌△OBP(AAS)， ∴OE=OB，EF=BP， ∴OE+OP=OF+OB ∴BF=EP=CP， 设BF=EP=CP=x,则AF=8−x，BP=6−x=EF，DF=DE−EF=8−(6−x)=x+2， ∵∠A=90°， ∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2， 即(8−x)2+62=(x+2)2， 解得：x=， ∴AF=8−x=8−=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 三、解答题(本大题共11小题，共88分) 17. （1）计算：+sin30°+|﹣2|； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）﹣1≤x＜3． 【解析】 【分析】（1）由特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案； （2）由题意，分别求出两个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案． 【详解】解：（1）+sin30°+|﹣2|． ＝3﹣2++2﹣ ＝． （2）． 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜3， 则不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值的意义，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 18. 先化简，再求值：；其中a满足． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用分式的通分、约分化简分式，再将方程变形代入即可 【详解】解：原式 又因为， 所以： 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，正确的使用分式的通分、约分、因式分解是关键，换元法是常用的解题方法 19. 如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）要使四边形为菱形，需要_________°． 【答案】（1）见解析 （2）90 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得出，即可证明四边形为矩形； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得出，根据平行线的性质得出，从而证明，即可得出四边形为菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：当时，四边形为菱形； 连接，交于点O，如图所示： ∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 20. 五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中． （1）请你将图2的统计图补充完整． （2）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？ （3）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率． 【答案】（1） 补全统计图如图所示， （2）D （3） 【解析】 【分析】(1)先利用扇形统计图计算出C型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以50%得到C型轿车的销售量，再补全条形图； (2)分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行比较判断即可； (3)利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 C型号轿车的销售量为1000×20%×50%=100（辆） 【小问2详解】 解：A型号的轿车销售成交率为； B型号的轿车销售成交率为； D型号的轿车销售成交率为； C型号的轿车销售成交率为； ∴D型号的轿车销售情况最好； 【小问3详解】 抽到A型号的轿车发票的概率 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用及概率的计算，正确地从统计图中获得有用的信息是解题的关键． 21. 在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如下表所示． 甲 乙 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差________，乙这6次成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）乙更稳定 （2）变小，变大 【解析】 【小问1详解】 解： ∵ ∴乙的方差更小，成绩更稳定． 【小问2详解】 解： ， ∴甲这6次成绩的方差变小； ， ∴乙这6次成绩的方差变大． 22. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【解析】 【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可； （2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可； （3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可． 【详解】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． 依题意得，解得， 经检验是原方程的解且符合题意 当时，． 答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元； （2）设购进种商品件，购进种商品件， 依题意得 解得， ∵为整数∴． ∴该商店有5种进货方案； （3）设销售、两种商品总获利元， 则． ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键． 23. 如图，四边形中，对角线交于点，垂足为，过作于，并延长交于点，连接，若． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， ∴ ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据，即可证得结论； （2）根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理得到，延长DF，过作的延长线于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， 解得； 过作的延长线于． ，， 四边形是矩形， ． 24. 如图，是半圆的直径，，弦，相交于点，平分． （1）若，求的长； （2）设长为，长为，求关于的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和推论能够求出直角三角形中锐角的度数，可以求出的长； （2）利用圆周角定理，勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，G． （1）求证：AC是⊙E的切线； （2）若AF＝4，CG＝5， ①求⊙E的半径； ②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ． 【答案】（1）证明：∵CD•BC=AC•CE， ∴， ∵∠DCE=∠ACB， ∴△CDE∽△CAB， ∴∠EDC=∠A=90°， ∴ED⊥AC， ∵点D在⊙E上， ∴AC是⊙E的切线； （2）①⊙E的半径为20；②IE＝ 【解析】 【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线； （2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC， 列比例式代入r可得结论； ②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长． 【详解】（1）略 （2）①如图1，过E作EH⊥AB于H， ∴BH=FH， ∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°， ∴四边形AHED是矩形， ∴ED=AH，ED∥AB， ∴∠B=∠DEC， 设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r， ∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4， EC=EG+CG=r+5， 在△BHE和△EDC中， ∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°， ∴△BHE∽△EDC， ∴，即， ∴r=20， ∴⊙E的半径为20； ②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IJ⊥AB于J， 由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36， BC=2r+5=2×20+5=45， ∴AC==27， ∵I是Rt△ABC的内心， ∴IM==9， ∴AJ=IM=9， ∴BJ=BM=36-9=27， ∴EM=27-20=7， 在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=． 26. 已知抛物线（为常数，）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； （3）已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 【答案】（1）（或） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式性质，考查待定系数法求解析式，指定自变量范围的最值计算，根据函数值大小关系求参数范围．利用二次函数对称轴和开口方向对函数值的影响，分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点 将代入解析式得 得， 解得 因此抛物线的表达式为，展开可得 【小问2详解】 解：当时，抛物线解析式为 抛物线开口向上，对称轴为直线 在范围内，当时，取得最小值，最小值为 当时， 当时， 因此在范围内的最大值为 最大值与最小值的差为 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大 ∵，则 ∵ 解得： ∴ 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴ 解得： 综上所述，或 27. 由图形的旋转想到的 【模型提炼】 （1）将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． （2）当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 （3）当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． （4）当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1） （2） 如图，直线l即为所求； （3） 如图③， 理由：∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4） 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质得出，，故点O是和的垂直平分线的交点； （2）由过平面内一点P存在直线l，当点P在的边上，则点C与点P重合，先在线段上截取，再在上截取，然后作直线即可； （3）先证明，，结合，进而得出，可证点O，C，E，D共圆，可证，然后证明即可说明小红作图的正确性； （4）仿照（3）的作法及说明方法解答即可． 【小问1详解】 解：如图①，连接，，作和的垂直平分线，交于点O，则点O即是所求作的旋转中心； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：理由：连接， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级三模 一、单选题（每小题2分，共12分) 1. 在我国，平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．将130 000 000用科学记数法表示为（ ） A. 1.3×108 B. 0.13×109 C. 1.3×109 D. 13×107 2. 设则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分) 7. 的平方根是________，的绝对值是________． 8. 如图，在中，，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为______． 9. 如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连按AP并延长交圆于点E，则DE的长为___． 10. 数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 11. 对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是___________． 12. 已知一次函数的图象与直线关于直线对称，则此一次函数的解析式为____． 13. 某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，则该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为______． 14. 某中学数学竞赛，满分150分．规定不少于120分的获金牌，分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，获奖人数比不获奖人数少20，后来改为不少于110分的获金牌，分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是120分和100分，则总参赛人数是______． 15. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 16. 如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，分别交于点，且，则长为__________ 三、解答题(本大题共11小题，共88分) 17. （1）计算：+sin30°+|﹣2|； （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：；其中a满足． 19. 如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）要使四边形为菱形，需要_________°． 20. 五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中． （1）请你将图2的统计图补充完整． （2）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？ （3）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率． 21. 在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如下表所示． 甲 乙 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差________，乙这6次成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 22. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 23. 如图，四边形中，对角线交于点，垂足为，过作于，并延长交于点，连接，若． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若时，求的面积． 24. 如图，是半圆的直径，，弦，相交于点，平分． （1）若，求的长； （2）设长为，长为，求关于的表达式． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，G． （1）求证：AC是⊙E的切线； （2）若AF＝4，CG＝5， ①求⊙E的半径； ②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ． 26. 已知抛物线（为常数，）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； （3）已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 27. 由图形的旋转想到的 【模型提炼】 （1）将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． （2）当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 （3）当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． （4）当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $