精品解析：2025年江苏省南京市鼓楼区树人学校中考数学三模试卷　

2025年江苏省南京市鼓楼区树人学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 3. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、积的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 5. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 6. 如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 16的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根， 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 故答案为：． 8. 我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是米，则数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故答案为： 9. 若a，b为连续整数，且，则____________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查估算无理数大小，学会利用逼近法估算无理数大小是解题的关键，属于基础中考常考题型． 根据的整数部分是5，可知，由此可解决问题． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：11． 10. 小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变， ． 故答案为：． 11. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线，取的中点，连结交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形性质、勾股定理求出、，由推得后，根据相似三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：如图，交于点， 四边形是边长为的菱形，， ，，，，， 中，，， 是的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 12. 当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由已知得，进而得，再代入代数式计算即可求解，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ， 故答案为：． 13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 14. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点B，过点作轴于点C，连接，已知的面积为2，那么_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数的几何意义，矩形的性质，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴与点D，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则：， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 过点作轴于点D，延长交于点， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，点是平面内一点，且，过点作交于点．当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及最值问题，找到点的运动轨迹是解题的关键． 确定点的轨迹，根据勾股定理，判断出时有最大值，即可求解． 【详解】解：矩形中，，， ∴，， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的上， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小，此时与相切，， 如图： ∵，， 在中，，， ∵，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时． 故答案为： ． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或化简： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 解不等式组，写出它的所有整数解． 【答案】，，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①， 得：， 解不等式②， 得：， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，0，1，2． 19. 如图，矩形的对角线，相交于点O，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； 小问2详解】 解：矩形的面积为， ∴的面积为， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 20. 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 【答案】（1）， （2） （3）两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象列式计算即可得出、的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由题意可得无人机甲在上升期间高度与时间函数关系式为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意并结合图象可得：， ； 【小问2详解】 解：设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或． 21. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并在扇形统计图中标出D种粽子所占百分比； （2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是______°； （3）这个小区有2500人，估计爱吃B种粽子的人数为______人． 【答案】（1）图见解析， （2）108 （3）500 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由A种粽子数量240除以占比可得粽子总数为600个，继而解得B种粽子的数量，再用D种粽子数量除以粽子总数即可求得D种粽子所占百分比，即可补全统计图；； （2）将D种粽子所占百分比乘以即可解题； （3）用样本中B种粽子的人数除以粽子总数再乘以2500即可解题． 【小问1详解】 解：由条形统计图知，A种粽子有240个，由扇形图知A种粽子占总数的， 可知粽子总数有：（个） B种粽子有（个）， D种粽子所占百分比为； 补全条形统计图和百分比如图所示： 【小问2详解】 解：扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是， 故答案为：108； 【小问3详解】 解：估计爱吃B种粽子的人数为（人）， 故答案为：500． 22. 为使学生更加了解南阳，热爱家乡．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等． （1）八年级年级组选择去博物馆的概率是多少？ （2）用列表法或画树状图法求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）由列表法或者树状图法知共有种等可能的情况，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有种，最后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：八年级年级组选择去博物馆的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 八年级 七年级 或画树状图如下： 由列表（或树状图）可知，共有种等可能的结果，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有种， 故该校七年级年级组、八年级年级组选择研学基地互不相同的概率． 23. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度约为．． 24. 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】（1）2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【小问1详解】 解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； 【小问2详解】 ①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； 【小问3详解】 证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 25. 如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． （1）用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 【答案】（1）30 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． （1）当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得， （2）根据过直线上一点作垂线可得圆的切线，过点B作，得出，分两种情况得出的值． 【小问1详解】 解：延长交于点，则点即为所作； 当点C第一次落在⊙O上时，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴旋转角为， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：当与第一次相切时，如图， 此时由（1）得， 过点B作， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，； 当与第二次相切时，如图， 同理可得，， 在中，； 综上，的值为或． 26. 大胆联想，小心求证 问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 （1）小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 （2）思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．（1）根据思路中的相似三角形和全等三角形的性质可直接得到答案； （2）思路1：作等腰的底边上的高，设，，通过等腰直角三角形的性质表示出，证明，可得，即，即，展开整理可得，从而即可证明； 思路：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使由圆周角定理及圆内接四边形性质导角证明，得，即再证明，得，即故只需证明又，故只要证明即可，最后通过证明，即可得到 【小问1详解】 解：由题意可知①处补全为，②处补全， ③、④处分别为、； 【小问2详解】 思路1：证明： 作等腰的底边上的高，如图③所示： 则， ，， ， 设，， ， ，， ， ， ， ，即， 即，展开整理可得， 思路2：证明：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使 ， 是直径． 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ， ，即 ，， ∽， ，即 ，， ，， ， ． ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴ ∴． 27. （1）知识回顾： 方法指导 如果物体运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】（1）；（2），；（3）；不可以， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． （1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可； （2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； （2）， ， 到达所用的时间为：， 故答案为：，； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的游泳轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省南京市鼓楼区树人学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 16的平方根是__________． 8. 我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是米，则数字用科学记数法表示为______． 9. 若a，b为连续整数，且，则____________． 10. 小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则______．（填“”、“”或“”） 11. 如图，四边形是边长为菱形，对角线，取的中点，连结交于点，则_______． 12. 当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为______． 14. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点B，过点作轴于点C，连接，已知的面积为2，那么_________． 15. 如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 16. 如图，在矩形中，，点是平面内一点，且，过点作交于点．当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为_________． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或化简： （1）； （2） 18. 解不等式组，写出它的所有整数解． 19. 如图，矩形的对角线，相交于点O，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 20. 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 21. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并在扇形统计图中标出D种粽子所占百分比； （2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是______°； （3）这个小区有2500人，估计爱吃B种粽子的人数为______人． 22. 为使学生更加了解南阳，热爱家乡．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等． （1）八年级年级组选择去博物馆的概率是多少？ （2）用列表法或画树状图法求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 23. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 24. 定义：一个整数能写成两个整数平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 25. 如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． （1）用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 26. 大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 （1）小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 （2）思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 27 （1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $