精品解析：2026年江苏省南京市江北新区协作体中考前模拟数学试题

初中毕业生升学模拟 数学试题 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据224万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 4. 面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在函数的图象上，点在函数的图象上，与轴的夹角相等，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将 绕点顺时针旋转得到．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 代数式有意义，则的取值范围是______． 8. 海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s=__________． 9. 已知a满足方程 ，并且关于x的不等式组 只有3个整数解，那么b的取值范围是________________. 10. 如果因式分解的结果为_________． 11. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 12. 如图，从一块直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形，使点在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________． 13. 如图，在中，在边，， 上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为______． 14. 如图，在矩形中， ， ，是的中点，连结，，把 沿着翻折，得到△AB'E，则点到的距离为_____． 15. 如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为______． 16. 如图，在中，，，，点是上一动点，将 沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. （1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 19. 已知：如图，在中， （1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）连接，则________． 20. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程， 的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款 软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款 软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款 软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 21. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率： （1）取到的2只都是次品； （2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品． 22. 如图，在中，点，分别在，边上，，，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，，，则的面积为__________． 23. 小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． （1）汽车行驶__________后停车充电； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过的总时长为__________． 24. 已知二次函数（ ， ，均为常数，且）的图象经过，顶点为． （1）若顶点的坐标为， ①求 的值； ②当时，的取值范围为__________． （2）当时，顶点的纵坐标的最大值为__________． 25. 某型号飞机的座椅如图所示．在初始状态下，椅背与竖直方向的夹角为，的长为．为提升舒适度和支撑性，椅背可向后调节，调节的最大角为．若要保持良好的空间感，则调节过程中，前后相邻椅背上任意两点之间的距离不小于，求座椅间的距离的最小值（结果取整数）．（参考数据：， ， ，） 26. 已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． （1）当时，点的坐标是___________； （2）用含 的代数式表示 ； （3）若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则 的取值范围是____________． 27. 汽车转向． 家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： 前轮转动方向，后轮方向不变．当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； 为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； 如图，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； 当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径． （1）在汽车转向时，前内轮转角________前外轮转角，前内轮的转动速度_________前外轮的转动速度；（均填写“”“”或“”） 已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向时前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是_________（用含，和的式子表示）． （2）已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到） （参考数据：，，，．） （3）一辆汽车将车身左侧的前后轮涂上颜料，然后在广场上随意驾驶，在地面留下图所示的轨迹．汽车是从左向右行驶还是从右往左行驶？判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中毕业生升学模拟 数学试题 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据224万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：万 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，根据相关法则即可得出答案． 【详解】A．，选项A计算错误； B． ，选项B计算错误； C．，选项C计算正确； D． ，选项D计算错误． 故选C． 3. 已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令和，结合图象特征判断和的符号，进而得出结论． 【详解】解：令，则， 图象与轴的交点在轴上方， ， 解得， 令，得， 解得， 图象与轴交点在轴左侧， ， 解得， ，， ，且无法确定的符号． 4. 面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，从而可得，然后估算出的值的范围，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴（负值舍去）， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴a的值在范围内． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在函数的图象上，点在函数的图象上，与轴的夹角相等，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作AC⊥x轴，作BD⊥x轴，则△AOC∽△BOD，得到，设点A为（x，），然后求出点B的坐标，即可求出k的值． 【详解】解：如图，作AC⊥x轴，作BD⊥x轴， ∵与轴的夹角相等， ∴∠AOC=∠BOD， ∵∠ACO=∠BDO=90°， ∴△AOC∽△BOD， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在函数的图象上， 设点A为（x，）， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为（，）， ∵点B在函数的图象上， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确求出点B的坐标． 6. 如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质可得， ， ，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得、、 ，证明得到，设 ，则 、，从而得到，求出x的值，进而确定的长,最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形，为正方形的对角线， ∴， ， ， ∵平分， ， ∵将绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ， ， ， ， 设 ，则，， ，解得：， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、分母有理化等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零且除数不能为零，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ， 解得： 且 故答案为： 且 ． 8. 海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s=__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先将代入求得p，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用二次根式的运算法则是解答本题的关键． 9. 已知a满足方程 ，并且关于x的不等式组 只有3个整数解，那么b的取值范围是________________. 【答案】2≦b<3 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围． 【详解】分式方程去分母得： 整理得： 解得：或，, 经检验是增根，故分式方程的解为， 已知不等式组解得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查分式方程的解法以及不等式含参数的题型.在解分式方程时需要先将分式方程去分母得到整式方程，解出整式方程的解后一定要进行检验方可得出分式方程的根；求解含参数的不等式的时候一定要区分端点是否可取，可以带入验证一下. 10. 如果因式分解的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 11. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，，再通过对完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实数根， ∴ ，， ∴． 12. 如图，从一块直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形，使点在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BC，根据圆周角定理求出BC是⊙O的直径，BC=12cm，根据勾股定理求出AB，再根据弧长公式求出半径r. 【详解】连接BC， 由题意知∠BAC=90°， ∴BC是⊙O的直径，BC=12cm， ∵AB=AC， ∴, ∴（cm）， 设这个圆锥的底面圆的半径是rcm， ∵， ∴， ∴r=（cm）， 故答案为：. 【点睛】此题考查圆周角定理，弧长公式，勾股定理，连接BC得到BC是圆的直径是解题的关键. 13. 如图，在中，在边，， 上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形中线的性质，根据题意求得前几个三角形的面积，找到规律的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ 同理可得 以此类推，的面积为 的面积为 故答案为：． 14. 如图，在矩形中， ， ，是的中点，连结，，把沿着翻折，得到△AB'E，则点到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BB'交AE于N，过B'作B'H⊥BD于H，设AE交BD于M，由四边形ABCD是矩形求出BD，AE，证明△ADM∽△EBM，可得BM，ME的值，然后利用面积相等求出BN，进而可得BB'和MN，然后证明△BNM∽△BHB'，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接BB'交AE于N，过B'作B'H⊥BD于H，AE交BD于M，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∠ABE＝90°， ∵AB＝3，AD＝BC＝4，E是BC的中点， ∴BD＝，AE＝， ∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠MBE，∠DAM＝∠MEB， ∴△ADM∽△EBM， ∴， ∴BM＝BD＝，ME＝AE＝， ∵沿着翻折，得到， ∴∠BNM＝90°，BB'＝2BN， ∵2S△ABE＝AB•BE＝AE•BN， ∴BN＝， ∴BB'＝2BN＝，NE＝， ∴MN＝ME−NE＝， ∵∠BNM＝∠BHB'＝90°，∠MBN＝∠B'BH， ∴△BNM∽△BHB'， ∴，即， ∴B'H＝， 即点B′到BD的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握翻折性质，正确添加常用辅助线，构造相似三角形是解题关键． 15. 如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，本题的突破点是证明； 作 于于．首先证明，由此构建方程即可解决问题； 【详解】解：作 于于． ∴， ∵， ∴设， ∵、在上， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：16． 16. 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出 ，进而在 中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵在中，，，， ∴， ∴， 在 中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 设， ∴ 在 中， ∴ 解得：（负整数） 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先分别计算整式乘法与分式除法部分，将整式乘法展开合并同类项，分式除法转化为乘法后约分，再将两部分通分合并得到最简分式；最后代入a的求值结果计算最终数值． 【详解】解：原式 ， 原式． 18. （1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）2+；（2）﹣a﹣1，-4 【解析】 【分析】（1）先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可； （2）先运用分式的相关运算法则化简，最后确保分式有意义的前提下，选择一个a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0 ＝4+﹣3+2×1﹣1 ＝4+﹣3+2﹣1 ＝2+； （2）（﹣a+1）÷ ＝× ＝ ＝﹣a﹣1， 要使原式有意义，只能a＝3， 则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 【点睛】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，掌握实数的相关知识以及分式四则运算的法则是解答本题的关键． 19. 已知：如图，在中， （1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）连接，则________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用基本作图—作已知角的平分线，作平分，然后在上截取，则点为的中点； （2）由三角形内角和定理得出 ，证明，得出，再利用互余即可计算出的度数． 【小问1详解】 解：如图，的平分线即为所作，的中点即为所作， 【小问2详解】 解：在中，， ， 由作图可得： ，平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程， 的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款 软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款 软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款 软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】（1），， （2） （3） 解：甲款 软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款 软件使用效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数 ， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 21. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率： （1）取到的2只都是次品； （2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有种不同取法，取到的两只都是次品的情况为种，由此能求出取到的2只都是次品的概率． （2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：①第一次取到正品，第二次取到次品，有4×2种取法；②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法．由此能求出取到的2只中正品、次品各一只的概率． （3）利用对立事件概率公式能求出取到的2只中至少有一只正品的概率． 【详解】解：（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有种不同取法， 取到的两只都是次品的情况为种， ∴取到的2只都是次品的概率p1＝． （2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能： ①第一次取到正品，第二次取到次品，有4×2种取法； ②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法． ∴取到的2只中正品、次品各一只的概率p2＝． （3）取到的2只中至少有一只正品的概率p3＝1−p1＝． 【点睛】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 22. 如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，，，则的面积为__________． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据正方形的性质设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得或， 当时，则的面积； 当时，则的面积， ∴的面积为或． 23. 小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量 （单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． （1）汽车行驶__________后停车充电； （2）求线段所表示的 与之间的函数表达式； （3）汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过的总时长为__________． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度可得答案； （2）求出行驶过程中，每千米的耗电量，再用结束充电时的电量减去充电后行驶过程中消耗的电量即可得到答案； （3）求出充电前，电量恰好为的时间，进而可求出充电前剩余电量不超过的时长；再求出充电后电量恰好为的时间，以及行驶的时间，进而求出充电后剩余电量不超过的时长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：， ∴汽车行驶后停车充电； 【小问2详解】 解：由题意得，行驶过程中，每千米的耗电量为， ∴线段所表示的 与之间的函数表达式为 【小问3详解】 解：， ∴汽车在充电前，剩余电量不超过的时长为 ， 在中， 当时，，解得， ，， ， ∴汽车在充电后，剩余电量不超过的时长为， ， ∴汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过的总时长为． 24. 已知二次函数（，，均为常数，且）的图象经过，顶点为． （1）若顶点的坐标为， ①求的值； ②当时，的取值范围为__________． （2）当时，顶点的纵坐标的最大值为__________． 【答案】（1）①1；② （2）4 【解析】 【分析】（1）①先将抛物线的解析式写成顶点式，再将点代入函数解析式进行计算即可； ②结合①中所得函数解析式及二次函数的性质即可解决问题； （2）根据顶点坐标公式，结合配方法求出P的纵坐标的最大值即可． 【小问1详解】 解：因为抛物线的顶点P坐标为， 所以抛物线的解析式为． 将点代入得，， 解得； ②由①知，抛物线的解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线且开口向上． 又因为， 则当时，y取得最小值为3， 当时，y取得最大值7， 所以； 【小问2详解】 解：将点代入得，， 所以， 因为抛物线顶点的纵坐标为， 则． 因为， 则， 所以， 则当 时，顶点P的纵坐标取得最大值为4． 25. 某型号飞机的座椅如图所示．在初始状态下，椅背与竖直方向的夹角为，的长为．为提升舒适度和支撑性，椅背可向后调节，调节的最大角为．若要保持良好的空间感，则调节过程中，前后相邻椅背上任意两点之间的距离不小于，求座椅间的距离的最小值（结果取整数）．（参考数据：， ， ，） 【答案】 【解析】 【分析】先得出取最小值时前后相邻椅背的位置，连接，作于E，交于F，作 于M，作于N，则四边形，四边形，四边形 都是矩形，在 中，求出，．在 中，求出，，．在中，求出，求出，然后根据 求解即可． 【详解】解：如图，前椅放倒到最大位置时，最靠后的端点为B，后椅位于初始位置，过点B作后椅背的垂线段，则两点是前后椅背上距离最近的两点，要求两点距离不小于，当时，取最小值． 连接，作于E，交于F，作 于M，作于N，则四边形，四边形，四边形 都是矩形， 由题意得，，，． ∴，． ∵， ∴． 在 中，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴座椅间的距离的最小值是． 26. 已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． （1）当时，点的坐标是___________； （2）用含的代数式表示； （3）若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则的取值范围是____________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出a的值，则可求出顶点坐标． （2）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出用含的代数式表示． （3）联立两个函数方程，则，利用韦达定理求，，结合得出，，然后根据两个函数图象的另一个交点在顶点的左侧，得出关于b的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点A的坐标为， 把代入， 则 ∵二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． ∴， 解得， ∴顶点A坐标为：． 【小问2详解】 解：∵二次函数的顶点A的坐标为，且在一次函数的图象上， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：联立两个函数方程， 则， 由已知条件可知，则另一个根为， ∴ ，， 由（2）可知，且，即． 把代入得， 把代入中， 则， ∵两个函数图象的另一个交点在点的左侧， ∴， ∴， 解得． 27. 汽车转向． 家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： 前轮转动方向，后轮方向不变．当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； 为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； 如图，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； 当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径． （1）在汽车转向时，前内轮转角________前外轮转角，前内轮的转动速度_________前外轮的转动速度；（均填写“”“”或“”） 已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向时前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是_________（用含，和的式子表示）． （2）已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到） （参考数据：，，，．） （3）一辆汽车将车身左侧的前后轮涂上颜料，然后在广场上随意驾驶，在地面留下图所示的轨迹．汽车是从左向右行驶还是从右往左行驶？判断并说明理由． 【答案】（1），；； （2）该汽车的最小转弯半径约为； （3）从右往左行驶，理由见解析． 【解析】 【分析】（）根据题意得，，是的切线，则有，所以，，从而可得，，根据图形即可判断 ，再由前内轮的转动距离小于前外轮的转动距离，前内轮的转动时间等于前外轮的转动时间，根据“速度路程时间”即可求解； 由得，，在中，，所以，在 中，，即，然后代入即可求解； （）由，求得，则，然后通过勾股定理即可求出该汽车的最小转弯半径； （ ）观察图形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，是的切线， ∴， ∴，，即，， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵前内轮的转动距离小于前外轮的转动距离，前内轮的转动时间等于前外轮的转动时间， ∴根据“速度路程时间”可得前内轮的转动速度小于前外轮的转动速度， 故答案为：，； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由得，， 在中，， ∴， ∴， 在 中，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴该汽车的最小转弯半径， ∴该汽车的最小转弯半径约为； 【小问3详解】 解：从右往左行驶，理由， 由转向时，同一侧前轮的转弯半径大于后轮，后轮轨迹始终位于前轮轨迹的内侧（更靠近转向中心）， 观察轨迹可知，沿从右向左的方向，符合“后轮始终在前轮后方，且后轮轨迹始终在内侧"的特征， 因此汽车从右向左行驶． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $