精品解析：2024年江苏省南京市江北新区明发一中九年级中考数学三模试题

2023—2024学年度第三次模拟卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列符合条件的的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点两点所表示的数分别为，下列各式中：①；②；③；④，计算结果一定是正数的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向截取一个圆柱，圆柱的截面不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与矩形的三边分别相切于点，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. ﹣2的相反数是___，﹣2的倒数是___． 8. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 9. 年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为______． 10. 计算的结果是______． 11. 分解因式的结果是________． 12. 一组数据：，x，，10，9，8．这6个数的平均数为8，则中位数为______． 13. 如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系______．（用“或”连接） 14. 如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 15. 如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于____________． 16. 如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且，是线段的中点，运动过程中，的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组． 18. 学校计划铺设一条的跑道，若由甲施工队铺设，所需时间比规定时间多1天；若由乙施工队铺设，所需时间比规定时间少2天．乙队的铺设速度比甲队快．求学校铺设跑道的规定时间是多少天？ 19. 如图，在中，，分别是的中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 20. 某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出了频数分布表． 等车时间 频数 （1）等车时间的中位数可能是（ ） ．； ．； ．； （2）车站称“旅客等车平均等车时间不超过分钟”，你认为这个说法合理吗？为什么？ （3）车站采取措施，减少了旅客的等车时间并再次调查，以下能说明旅客等车时间减少的统计图是 ．（填写所有正确的序号） 21. 盲猜饮料挑战：小明知道不透明的箱子中装有雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料，但不清楚4种饮料的摆放顺序． （1）小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为 ． （2）求小明猜对所有位置上饮料的概率． 22. 如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线，与地面的夹角分别是和，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？ 23. 如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 24. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． （1）写出表中的值； （2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 25. 如图，内接于，，连接，过B作的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 26. 已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴． （2）求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． （3）点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围． 27. 我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、… （1）如图1，的中线相交于点，连接，易证，可得．如图2．的中线相交于点，同理易证① ．于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点．这样证明两个点（与）是同一点的方法也称为“同一法”． （2）如图3，是的角平分线，求证：． 由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． （3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点． （4）在中，，，是的角平分线，且，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第三次模拟卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2. 下列运算中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加法运算、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：A．，不合题意； B．，不合题意； C．，不合题意； D．，符合题意； 故选D． 3. 已知，则下列符合条件的的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求出的取值范围即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 4. 如图，数轴上点两点所表示的数分别为，下列各式中：①；②；③；④，计算结果一定是正数的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴可能是正数，也可能是负数， ∴不一定是正数， ∴计算结果一定是正数的有个， 故选：． 5. 如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向截取一个圆柱，圆柱的截面不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查截面的相关知识，从不同角度去截几何体，根据得到的截面形状去判断选项，即可解答． 【详解】解：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状为长方形，故A选项正确； 当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆或D，故D选项正确； 当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆，故C选项正确； 所得截面的形状不可能是B选项中形状； 故选B． 6. 如图，与矩形的三边分别相切于点，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，连接，则，，，可证四边形为正方形，都为矩形，得到，，利用勾股定理可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，则，，， 则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴点三点共线， ∴四边形都为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. ﹣2的相反数是___，﹣2的倒数是___． 【答案】 ①. 2， ②. ﹣ 【解析】 【分析】根据相反数和倒数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：的相反数是2； 的倒数是； 故答案为：2，． 【点睛】此题考查了相反数和倒数，解题的关键是：知道只有符号不同的两个数互为相反数；的倒数为，是一道基础题． 8. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意知，，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式中分母不为0是解题的关键． 9. 年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 10. 计算的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 11. 分解因式的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键． 12. 一组数据：，x，，10，9，8．这6个数的平均数为8，则中位数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义、中位数的定义、解一元一次方程，熟练掌握平均数的定义及中位数的定义是解题的关键． 先根据平均数的定义列方程求出x的值，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵，x，，10，9，8．这6个数的平均数为8， ∴， 解得， ∴这组数据为：6、7、8、10、9、8， 把这组数据按照从大到小的顺序排列，处于中间的两个数分别为8、8， ∴这组数据的中位数为：， 故答案为：8． 13. 如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系______．（用“或”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 14. 如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，由正方形可得，，由折叠可得，，由等腰三角形可得或或，分情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∵是等腰三角形， ∴或或， ①当时，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作于，延长交于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，是等腰三角形， 此时点于点D重合，这种情况不存在， ∴等于或， 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且，是线段的中点，运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，由直角三角形的性质可得，可知当取最小值，则取最小值，设，则，可得，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握直角三角形和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 当取最小值，则取最小值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，分别计算出不等式的解集，最后求得不等式组的解集，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ， 去括号可得：， 移项可得：， ， 去分母可得：， 移项可得：， 得：， ∴解得：， 故解集为：． 18. 学校计划铺设一条的跑道，若由甲施工队铺设，所需时间比规定时间多1天；若由乙施工队铺设，所需时间比规定时间少2天．乙队的铺设速度比甲队快．求学校铺设跑道的规定时间是多少天？ 【答案】学校铺设跑道的规定时间是7天 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设学校铺设跑道的规定时间是x天，根据题意，分别得到两个施工队的所需时间，然后根据“乙队的铺设速度比甲队快”列方程求解即可． 【详解】解：学校铺设跑道的规定时间是x天，则甲施工队的所需时间为天，乙施工队的所需时间为天， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：学校铺设跑道的规定时间是7天． 19. 如图，在中，，分别是的中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （）过点作于，由可得为等腰直角三角形，即得，又由可得，即可得到，再根据菱形的面积公式即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点作于，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出了频数分布表． 等车时间 频数 （1）等车时间的中位数可能是（ ） ．； ．； ．； （2）车站称“旅客等车平均等车时间不超过分钟”，你认为这个说法合理吗？为什么？ （3）车站采取措施，减少了旅客的等车时间并再次调查，以下能说明旅客等车时间减少的统计图是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】（1）； （2） 车站的说法不合理，理由如下： 旅客等车的平均时间大约为：分钟， ∵， ∴车站的说法不合理； （3）． 【解析】 【分析】（）根据中位数的定义即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）根据统计图的即可判断； 本题考查了频数分布表，扇形统计图，折线统计图，条形统计图，中位数，加权平均数，看懂统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴中位数为第和第个数的平均数， ∴等车时间的中位数位于之间， 故选：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：能说明旅客等车时间减少的统计图是， 故答案为：． 21. 盲猜饮料挑战：小明知道不透明的箱子中装有雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料，但不清楚4种饮料的摆放顺序． （1）小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为 ． （2）求小明猜对所有位置上饮料的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求等可能事件的概率：利用公式来进行计算即可． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）先算出雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料按顺序排放方式有多少种，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料， ∴小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为：； 【小问2详解】 ∵雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料按顺序排放方式有：种， ∴小明猜对所有位置上饮料的概率为： 22. 如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线，与地面的夹角分别是和，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？ 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，作于点D，，由已知条件可得出，，由三角形内角和得出，由等角对等边可得出，由含直角三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点D， ∴， ∵探测线与地面的夹角分别是和， ∴，， ∴在中，， ∴， 在中， ∴， ∵， 由勾股定理，得 ， ∴， ∴ ， ∵ 不合题意，舍去， ∴ ． ∴有金属回声的点C的深度是米． 23. 如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】方法：作的角平分线，在角平分线取一点，过该点作其中一边的垂线段，夹角为，过点画一条射线，作，的另一边与相交于点，过点作的垂线，与点的射线相交于点，同理作，交点为点，连接，可知，即可得，，即有，故点即为所求； 方法二：作的角平分线，在角平分线取一点，分别过点作角两边的垂直段，在上作，分别过点作的垂线，相交于点，由四边形内角和易得，即点即为所求； 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的画法，作一个角等于已知角，掌握切线的性质和角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：方法一：如图，点即为所求； 方法二：如图，点即为所求． 24. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． （1）写出表中的值； （2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】（1） （2） ①补全水温与时间的函数图象如图所示： ② （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【小问1详解】 解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， （）， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①略 ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 25. 如图，内接于，，连接，过B作的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，然后利用平行线的性质即可解答； （2）过点B作于点H，直角三角形的性质以及勾股定理，得，再证明即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：过点B作于点H， ， ∵，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 设的半径为x， ， ， 解得， 半径的长． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理正确解答的关键． 26. 已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴． （2）求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴． （3）点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线； （2） 证明：由题意，令． 或． 该函数图象与轴的两个交点为，． ， ． ． ，． ． 该函数图象与轴的两个交点均在正半轴； （3）当或时，；或时，；或时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线对称轴是直线，即可得解； （2）依据题意，令，从而可得或，故该函数图象与轴的两个交点为，，又，则，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，对称轴是直线，又点、在该函数图象上，故可得，，进而分三种情况：；；进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，对称轴是直线， 又点、在该函数图象上， ，． ①当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远， ． 若， ． ． 此时． 若， ． ． 此时． 综上，时，． 当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近， ． 若， ． ． 此时． 若， ． ． 此时． 综上，或时，． ②当时，若，即点离对称轴比点离对称轴远， ． 此时， ，不合题意． 当时，若，即点离对称轴比点离对称轴近， ． 此时， ． 时，． ③若点A与点B到对称轴的距离相等时，， 此时， ∴或1． 综上所述，当或时，；或时，；或时，． 27. 我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、… （1）如图1，的中线相交于点，连接，易证，可得．如图2．的中线相交于点，同理易证① ．于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点．这样证明两个点（与）是同一点的方法也称为“同一法”． （2）如图3，是的角平分线，求证：． 由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． （3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点． （4）在中，，，是的角平分线，且，则 ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中“同一法”是解答的关键． （1）利用三角形的中位线性质和相似三角形的判定和性质可得结论； （2）利用角平分线的性质和三角形的面积公式求解即可； （3）利用角平分线的判定与性质和“同一法”的证明方法解答即可； （4）过A作于H，由（2）中结论，得，设，则，设，则，，由勾股定理可得，，然后列方程求解x值即可． 【详解】解：（1）如图1，的中线相交于点，连接， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，则． 如图2．的中线相交于点，连接， 则是的中位线， ∴，， ∴， ∴，则． 则点与点重合，即三角形的三条中线交于一点． 故答案为：； （2）根据所给证明过程，结合角平分线的性质得①，再根据等量代换可得②， 故答案为：①；②； （3）证明：如图，、分别是的平分线，设、相交于点O，过O分别作于P，于Q，， 则，， ∴，又，， ∴平分，即的三条角平分线交于点O； 如图，、分别是的平分线，设、相交于点，过分别作于P，于Q，于H， 则，， ∴，又，， ∴平分，即的三条角平分线交于点， 综上，点O和点重合， 故可得结论：的三条角平分线交于一点； （4）过A作于H， ∵是的角平分线，，， ∴由（2）中结论，得， 设，则， 设，则，， 由勾股定理得， ， ， 由得， 由得， ∴，则， 解得（负值已舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $