精品解析：湖南桃源县文昌中学2026年上学期七年级数学期中考试卷

2026年上学期七年级数学期中考试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分，每小题的选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在下表中） 1. 在下列实数中，无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 下列运算中，与运算结果相同的是（ ） A. B. C. D. 8. 乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 无法确定 9. 关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 设，，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 的平方根是____． 12. 在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少x吨，使得五年后的碳排放量不超过100吨，求x的最小值．由题意可列不等式：______． 13. 利用乘法公式简便计算：． 14. 计算：______． 15. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7或 16. 阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当 ，即 时，，解得 ，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 三．解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求不等式的正整数解． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，d的平方根是它本身． （1）求a，b，c，d的值； （2）求的算术平方根． 22. 古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案： 方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售； 方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元． （1）分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； （2）请为该学校写出较为省钱的购买方案． 23. 数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． 【探索】（1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式_____，利用上述公式解决问题： 【应用】（2）若，则_____； 【迁移】（3）如图2，在线段上取一点，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【拓展】（4）若，则_____． 24. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． （1） 是方程 和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，② ，③ ． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程 和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期七年级数学期中考试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分，每小题的选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在下表中） 1. 在下列实数中，无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据无理数的定义，即无限不循环小数，判断各选项是否为无理数． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【分析】A： 是分数，属于有理数； B：3.14 是有限小数，属于有理数； C：，因为5不是完全平方数，无法化简为整数或分数，属于无理数； D：是整数，属于有理数； 故选：C． 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由 可得，不一定有，原式不一定成立，不符合题意； B、由 可得，原式一定成立，符合题意； C、由 可得，原式不成立，不符合题意； D、由 可得，则，原式不成立，不符合题意； 故选：B． 4. 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平方差公式为，需要两个因式中一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可. 【详解】解：A、中不存在相同项和相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，符合题意； C、，不存在相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项都相同，不能用平方差公式计算，不符合题意. 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意； B、，未知数系数为正数，不符合题意； C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意； D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 6. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 7. 下列运算中，与运算结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式计算原式和各选项结果，然后对比即可得到答案． 【详解】解：先计算原式结果： 、，与原式相同，符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意． 8. 乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小．先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ， 即， 乙球员击出的球更转． 故选：B． 9. 关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集求解参数，解决本题的关键是由数轴得到不等式的解集． 先由解不等式的方法解不等式，再根据数轴可得不等式的解集为 ，由此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式为， ∴解得， 由数轴可得解集为 ， ∴，解得． 故选：D ． 10. 设，，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少x吨，使得五年后的碳排放量不超过100吨，求x的最小值．由题意可列不等式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列一元一次不等式，由每年的碳排放量均比上年减少x吨，可得五年后的碳排放量为吨，结合此时排放量不超过100吨，可得不等式. 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 13. 利用乘法公式简便计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行简便运算的能力，是一道常规题，比较简单．将变形为，再使用平方差公式即可解答． 【详解】解： ． 14. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则、积的乘方法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故答案为∶． 15. 若是完全平方式，则 的值等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方式的特点，根据完全平方式的结构，将已知多项式与标准形式对比，确定参数值即可． 【详解】解：多项式 为完全平方式， ∴， 解得：或； 的值为7或 ， 故选：D． 16. 阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当 ，即 时，，解得 ，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时， ， ∴，解得， ∴ ； 当 时， ， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 三．解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 求不等式的正整数解． 【答案】该不等式的正整数解为1，2． 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的解法以及整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键； 先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可． 【详解】解：去括号，得， 合并同类项，得， 移项得： 合并同类项，得， 系数化为1，得； ∴该不等式的正整数解为1，2． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示为： 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【解析】 【分析】此题主要考查整式的混合运算，二次根式的乘法．先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解： 原式 ， 当，时， 原式 ． 21. 已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，d的平方根是它本身． （1）求a，b，c，d的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）a的值为5，b的值为，c的值为6，d的值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根，立方根的意义可求出 ， ，的值，然后再估算出的值的范围，从而求出的值； （2）把 ， ，，的值代入式子中，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：一个正数的平方根是和， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：， ， ， 的整数部分是6， ， 的平方根是它本身， ， 的值为5， 的值为，的值为6，的值为0； 【小问2详解】 当，，，时， ， 的算术平方根为． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，估算无理数大小，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22. 古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案： 方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售； 方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元． （1）分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； （2）请为该学校写出较为省钱的购买方案． 【答案】（1）， （2）当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （2）由(1)可得， ，利用分类讨论的方法即可得出答案． 【小问1详解】 由题知， ． 【小问2详解】 由(1)可得， 当时， ， ∴， 当 时， ， ∴， 当 时， ， ∴， 综上所述，当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱． 23. 数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． 【探索】（1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为 和 的两个正方形、长和宽分别为 和 的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式_____，利用上述公式解决问题： 【应用】（2）若，则_____； 【迁移】（3）如图2，在线段上取一点，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【拓展】（4）若，则_____． 【答案】（1）；（2）28；（3） ；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可； （4）设，，求出，根据完全平方公式变形求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， ∴有； （2）∵， ； （3）设正方形的边长为正方形的边长为， ∵阴影部分的面积和为11，的面积为7， ∴，， 即，， ， ， ， ， ， 即． （4）设，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 即． 24. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． （1）是方程 和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，② ，③ ． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且 为整数，求 的值． （3）若关于的方程 和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将方程的解直接代入各不等式验证，选出成立的序号即可； （2）先解方程组用含 的式子表示，，再代入不等式组，解出 的范围后取整数解； （3）先求出方程的解与不等式组的解集，再根据整数解的和确定整数解的范围，最后联立不等式求的取值范围． 【小问1详解】 解： ，解得，符合条件， 把代入①，可得左边，不成立； 把代入② ，可得左边，左右两边相等，不成立； 把代入③ ，可得左边 ，成立， 故是方程 和 的“梦想解”． 【小问2详解】 解：已知， ，可得 ， 代入可得 ， 即二元一次方程组的解为， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 将代入， 可得， 解得 ， 为整数， 为或． 【小问3详解】 解： ，可得 ， 解不等式组，可得 ， 据题意可知，所有整数“梦想解”的和为， 整数“梦想解”为，，， ，或，， ，， 且 ，解得且 ， 综上的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $