精品解析：2026年江苏省南京市部分校中考前保温诊断模拟数学试题

南京市中考文化考试第三次模拟 数 学 一、单选题（每小题2分，共12分) 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立方根、绝对值、算术平方根，根据立方根、算术平方根的定义及绝对值的性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、 ，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：、，此选项运算错误，不符合题意； 、，此选项运算错误，不符合题意； 、，此选项运算正确，符合题意； 、，此选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3. 下列等式中，从左到右的变形不一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可判断． 【详解】A．由左边可知a≠0且a≠-1，根据分式基本性质，分子分母同时除以非零数a，分式的值不变，故A成立； B．由左边可知a≠-1，根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数(a+1)，分式的值不变，故B成立； C．由，根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数( )，分式的值不变，故C成立； D．由左边可知a≠-1，不能确定a是否等于0，若a=0，则D不成立． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题型． 4. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是4 C. 极差是4 D. 方差是2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确； B、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误； C、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确； D、这组数据的方差是2，故本选项正确； 故选B． 考点：方差；算术平均数；中位数；极差． 5. 用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小确定最佳方案即可． 【详解】解：方案1：设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米， 矩形的面积为， 则矩形面积的最大值为； 方案2：过点 作， 设长为， ， 由勾股定理得， 等腰三角形的面积为， 则， 令得：， 因此，等腰三角形的面积最大值为； 方案3：设半圆的半径为，半圆的弧长为 ， 由围栏长度得，解得， 则半圆的面积为， 取，则， 由于， 因此，最佳方案是方案3， 故选：C． 6. 如图，四边形是内接四边形，延长交于点E，延长交于点F，，是的角平分线，若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理等知识．连接，过点D作 于点H．证明，推出，，推出，分别求出，可得结论． 【详解】解：连接，过点D作 于点H． ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分) 7. 已知方程没有实数根，则代数式___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由方程没有实数根，得 ，求的a的范围，然后根据此范围化简代数式． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴ ，即，，得 则代数式， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．当 时，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义． 8. =__________ 【答案】 【解析】 【详解】根据因式分解的方法，先提公因式“﹣”，再根据完全平方公式分解因式为：. 故答案为. 点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），注意符号的变化. 9. 中国稀土储量世界第一，约占全球总储量的，仅2025年8月单月的出口额都高达约390000000元人民币，将390000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，将大数转换为科学记数法形式，需确定系数和指数，科学记数法的一般形式为 ，其中 ， 为整数． 【详解】解：390000000 ， 故答案为 ． 10. _________ 【答案】 【解析】 【分析】分别利用积的乘方逆运算、绝对值的性质、有理数的运算法则、二次根式的性质计算各项，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握积的乘方逆运算、绝对值的性质、有理数的运算法则、二次根式的性质是解题的关键． 11. 已知 是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的含义，掌握相关知识是解决问题的关键．已知 是关于x的一元二次方程的一个根，将 代入方程进行求解即可． 【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程的一个根，代入得： ， ． 故答案为：0． 12. 一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是___度． 【答案】180 【解析】 【分析】先计算出展开的扇形的弧长，再计算出以母线为半径的圆的周长，再根据圆心角公式即可得到答案． 【详解】解：∵母线长为cm，底面半径为cm， ∴展开的扇形的弧长为，以母线为半径的圆的周长为， ∴侧面展开图扇形的圆心角=， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的性质，解题的关键是熟练掌握圆锥的相关知识． 13. 如图，平面坐标系xoy中，B（12，4），C（8，0），OABC，OA=BC，过点A作反比例函数y=（k0），图象交BC于点D，连结OD，则S△OCD=__． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式求出．根据OA∥BC，OA=BC，可判定四边形OABC是平行四边形，于是AB∥OC，AB=OC．由，B（12，4），可设A（x，4），根据OA=BC=4列方程，求出x，得到A（4，4），OC=AB=8，C（8，0）．利用待定系数法求出k=4×4=16，得出直线BC的解析式为y=x﹣8．将两函数解析式联立求出交点D（4+4，﹣4+4），进而求出S△OCD． 【详解】∵B（12，4），C（8，0）， ∴． ∵OA∥BC，OA=BC， ∴四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB=OC． 设A（x，4）， ∵OA=BC=4， ∴x2+42=32， ∴x=±4（负值舍去）， ∴A（4，4），AB=12﹣4=8， ∴OC=AB=8，C（8，0）． ∵点A在反比例函数（k＞0）的图象上， ∴k=4×4=16． 设直线BC的解析式为y=ax+b， 则，解得， ∴直线BC的解析式为y=x﹣8． 将y=x﹣8代入， 整理，得x2﹣8x﹣16=0， 解得x=4±4， 当x=4+4时，y=﹣4+4， ∴D（4+4，﹣4+4）， ∴S△OCD=×8×（﹣4+4）=﹣16+16． 故答案为﹣16+16． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，平行四边形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，两函数交点坐标的求法，三角形的面积等知识，综合性较强．求出直线BC与反比例函数的解析式是解题的关键． 14. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，点D是边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，使点E在∠C的内部，连接BE．下列结论：①AC=1；②EB=ED；③当AD平分∠BAC时，△BDE是等边三角形；④动点D从点C运动到点B的过程中，点E的运动路径长为2．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】作EF⊥AB垂足为F，连接CF，可证△EAF≌△DAC，推出点E在AB的垂直平分线上，根据三线合一可证为等腰三角形，即可得到EB=ED，由AD平分∠BAC计算∠CAD=∠EAB=∠EBA=30°，从而证得△BDE是等边三角形，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2， ∴，故①错误； 如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠BAC=60°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AE=AD=ED，∠EAD=60°， ∴∠EAD=∠BAC， ∴∠EAF=∠DAC， 在△EAF和△DAC中， ， ∴△EAF≌△DAC， ∴AF=AC，EF=CD， ∵， ∴， ∴F为AB的中点， ∴EF为的中线， 又∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故③正确； ∵ ， ， ∴点E在AB的垂直平分线上， ∴在点D从点C移动至点B的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等， ∴在点D从点C移动至点B的过程中,点E移动的路线为2，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查直角三角形性质，等边三角形性质，利用这些知识证明三角形全等为关键，掌握直角三角形和等边三角形的性质为解题关键． 15. 如图，已知的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点D．若 ，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作于，由垂径定理得到，由切线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，求出 的面积，扇形 的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，过作于， ∴， ∵切圆于 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴的面积，扇形 的面积， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，扇形的面积，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出和的长． 16. 如图，在矩形中，，点 是平面内一点，且，过点作交于点．当线段绕点 在平面内旋转时，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及最值问题，找到点 的运动轨迹是解题的关键． 确定点 的轨迹，根据勾股定理，判断出时有最大值，即可求解． 【详解】解：矩形中，， ， ∴ ，， ∵， ∴点 在以 为圆心，为半径的 上， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小，此时与 相切，， 如图： ∵，， 在中，，， ∵，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时． 故答案为： ． 三、解答题 (本大题共11小题，共88分) 17. （1）解不等式组； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再利用夹逼原则求出不等式组的解集即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式得到减法即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； （2） ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键． 18. 已知＝，求2a－3b的值． 【答案】0 【解析】 【详解】试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a、b的关系，然后代入求值即可. 试题解析：原式＝＝， ∴2a＝3b， ∴2a－3b＝0. 19. 2014年郑州市城镇民营企业就业人数突破20万，为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇企业民营员工2014年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图． 由图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的员工有_____人，在扇形统计图中x的值为_____，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是_____； （2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？ （3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？ 【答案】（1）500；14；21.6°；（2）见解析；（3）不合理； 【解析】 【分析】（1）用B的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查的员工总人数，求出B所占的百分比得到x的值，再求出A所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解； （2）求出C的人数，然后补全统计图即可，再用总人数乘以B所占的百分比计算即可得解； （3）不合理；因为2000元～4000元的最多，占60%. 【详解】（1）本次抽样调查的员工人数是：300÷60%=500（人）， D所占的百分比是：70÷500×100%=14%， 则在扇形统计图中x的值为14； “月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是360°×=21.6°， 故答案为500，14，21.6°； （2）C的人数为：500×20%=100， 补全统计图如图所示， 补全统计图如图所示； “2000元～4000元”的约为： 20万×60%=12万（人）； （3）不合理； ∵2000元～4000元的最多，占60%， ∴用月平均收入为4872元反映月收入情况不合理． 20. 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 【答案】（1）， （2） （3）两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或 或 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象列式计算即可得出、的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由题意可得无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意并结合图象可得：， ； 【小问2详解】 解：设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时， ，解得， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得 ， 故两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或 或． 21. 为使学生更加了解南阳，热爱家乡．某校七年级年级组准备从博物馆 、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆 、植物园、科技馆 三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等． （1）八年级年级组选择去博物馆 的概率是多少？ （2）用列表法或画树状图法求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）由列表法或者树状图法知共有种等可能的情况，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有种，最后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：八年级年级组选择去博物馆 的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 八年级 七年级 或画树状图如下： 由列表（或树状图）可知，共有种等可能的结果，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有种， 故该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 22. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点 ，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在 中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，． 在 中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度约为．． 23. 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】（1） 不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则： ， 因数分解可能为 或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2） （3） 证明：，b是“树人数”． 设， 是整数 或 ，n，p，q是整数． ， ， ， 都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 【解析】 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设奇数 ，令 ， ，则： ，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令 ， ，则：则： ，故③正确， ④设被4除余2的数是 ，若存在a，b使得 ， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； 【小问3详解】 略 24. 如图1，等边三角形的边长为2，点 ，在上，点 在内，的半径为．将绕点 逆时针旋转，点 的对应点记作． （1）用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 【答案】（1）30 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． （1）当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得， （2）根据过直线上一点作垂线可得圆的切线，过点B作，得出，分两种情况得出的值． 【小问1详解】 解：延长交于点，则点即为所作； 当点C第一次落在⊙O上时，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴旋转角为， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：当与第一次相切时，如图， 此时由（1）得， 过点B作， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，； 当与第二次相切时，如图， 同理可得，， 在中，； 综上，的值为或． 25. 、两地相距 ，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达． （1）求点C的坐标 （2）甲、乙两人离开A地的距离与时间的关系如图所示，则乙出发几小时后和甲相遇？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，点C的横坐标为，点C的纵坐标为 ，由此即可得出点C的坐标； （2）设甲离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，将，代入，得，解得，于是可得；由“乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶”可知，乙的速度在和内是不同的，需要分别求解：设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，将，代入，得，解得，于是可得内函数解析式为，设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，将，代入，得，解得，于是可得内函数解析式为，综上所述，；依题意，联立方程组，得，解方程组即可求出的值，进而可求出乙出发几小时后和甲相遇． 【小问1详解】 解：由题意得： 点C的横坐标为：， 点C的纵坐标为： ， 点C的坐标为； 【小问2详解】 解：设甲离开A地的距离与时间之间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ， 乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶， 乙的速度在和内是不同的，需要分别求解， 设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 内函数解析式为， 设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 内函数解析式为， 综上所述，， 依题意，联立方程组，得： ， 解得：， ， 答：乙出发小时后和甲相遇． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，写出直角坐标系中点的坐标，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，能够从函数图象中获取正确信息并熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． （1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． （2）若 ，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． （3）若函数图象经过点，当 时，；当 时，，求a的值． 【答案】（1） （2） 证明： ， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即 ，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得， 函数图象的顶点坐标为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数图象经过点， ①， 当 时，；当 时，， 函数图象在时取得最小值，即 ②， ， 在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 27. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点 ，沿折叠矩形，点 的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点 的对应点落在 上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当 为直角三角形时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出 ，即可得到答案； （3）分两种情况：当 时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当 时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中考文化考试第三次模拟 数 学 一、单选题（每小题2分，共12分) 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形不一定成立的是( ) A. B. C. D. 4. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是4 C. 极差是4 D. 方差是2 5. 用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 都一样 6. 如图，四边形是内接四边形，延长交于点E，延长交于点F，，是的角平分线，若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、填空题（每小题2分，共20分) 7. 已知方程没有实数根，则代数式___________． 8. =__________ 9. 中国稀土储量世界第一，约占全球总储量的，仅2025年8月单月的出口额都高达约390000000元人民币，将390000000用科学记数法表示为______． 10. _________ 11. 已知 是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是________． 12. 一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是___度． 13. 如图，平面坐标系xoy中，B（12，4），C（8，0），OABC，OA=BC，过点A作反比例函数y=（k0），图象交BC于点D，连结OD，则S△OCD=__． 14. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，点D是边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，使点E在∠C的内部，连接BE．下列结论：①AC=1；②EB=ED；③当AD平分∠BAC时，△BDE是等边三角形；④动点D从点C运动到点B的过程中，点E的运动路径长为2．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上） 15. 如图，已知的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点D．若 ，则阴影部分的面积为___________． 16. 如图，在矩形中，，点是平面内一点，且，过点作交于点．当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为_________． 三、解答题 (本大题共11小题，共88分) 17. （1）解不等式组； （2）计算：． 18. 已知＝，求2a－3b的值． 19. 2014年郑州市城镇民营企业就业人数突破20万，为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇企业民营员工2014年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图． 由图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的员工有_____人，在扇形统计图中x的值为_____，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是_____； （2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？ （3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？ 20. 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 21. 为使学生更加了解南阳，热爱家乡．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等． （1）八年级年级组选择去博物馆的概率是多少？ （2）用列表法或画树状图法求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 22. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） 23. 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 24. 如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． （1）用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 25. 、两地相距 ，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达． （1）求点C的坐标 （2）甲、乙两人离开A地的距离与时间的关系如图所示，则乙出发几小时后和甲相遇？ 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． （1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． （2）若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． （3）若函数图象经过点，当 时，；当时，，求a的值． 27. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在 上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当 为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $