精品解析：云南文山州马关县第一中学2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第三次月考试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合， ，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 3. 某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ） A. 93 B. 93.5 C. 94 D. 94.5 4. 若函数 的最小正周期为，则 （    ） A. 2 B. C. 1 D. 0 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 15 C. D. 20 6. 若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在经验回归方程 中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3.6个单位 B. 在经验回归方程 中，相对于样本点(1,2.8)的残差为-0.15 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差 D. 若两个变量的决定系数R² 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A. 的渐近线为 B. 的焦距是虚轴长的倍 C. 若的焦点到其渐近线的距离为，则 D. 若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 B. 当时，函数为奇函数 C. 若过点 有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 D. 若函数有3个零点，则这3个零点之和为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为，，高为，则该棱台的体积为________． 13. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极小值，且极小值大于，求的取值范围． 17. 如图，四棱锥 的底面为菱形，，. （1）求证：平面 平面； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求的值以及的面积； （2）已知点在线段上，若，且，求的值. 19. 已知椭圆： （）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线： 和交于，两点， 轴，为上的动点． （1）求的方程； （2）若，求 的面积； （3）设上有两点，（，与都不重合）满足 ，且 ，垂足为 ，证明：存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2026年春季学期高二年级第三次月考试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合， ，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据并集的定义，. 2. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算化简 ，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】， 则． 3. 某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ） A. 93 B. 93.5 C. 94 D. 94.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96， 因为， 所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即. 故选：B. 4. 若函数 的最小正周期为，则 （    ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】最小正周期 ，解得， 则， ． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 15 C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，由通项公式中x的幂指数为3即可计算作答. 【详解】展开式的通项公式：， 由得：， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 6. 若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆 与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 8. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，求得，，由得∠MAF＝∠AMN，在△AMF中由正弦定理求得，即可得到答案． 【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点，如图， 过点M作MN垂直于准线于点N，令，则， 由抛物线的定义可得，所以，所以． 又，所以∠MAF＝∠AMN，所以． 在△AMF中，由正弦定理得， 所以， 所以． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在经验回归方程 中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3.6个单位 B. 在经验回归方程 中，相对于样本点(1,2.8)的残差为-0.15 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差 D. 若两个变量的决定系数R² 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据经验回归方程的解析式即可判断；对B，根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果；对C，根据残差图的分布情况分析即可；对D根据决定系数的意义即可判断. 【详解】对于A，根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少0.65 个单位，故 A 错误； 对于 B，当解释变量x=1时，响应变量 则样本点(1,2.8)的残差为-0.15，故B 正确； 对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，说明拟合精度越低，即拟合效果越差，故C正确； 对于D，由决定系数R²的意义可知，R²越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故 D正确. 故选：BCD. 10. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A. 的渐近线为 B. 的焦距是虚轴长的倍 C. 若 的焦点到其渐近线的距离为，则 D. 若 的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以 的渐近线为，正确； 对于B，因为，错误； 对于C，不妨设 的右焦点到其渐近线 的距离为，即，所以，正确； 对于D，设，且在直线 上，所以， 又，即， 化简移项，再平方化简可得，故存在. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 B. 当时，函数为奇函数 C. 若过点 有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 D. 若函数有3个零点，则这3个零点之和为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，由， 当时，没有极值； 当时，令，可得或 ，可得函数的减区间为，增区间为 ，此时为函数的极大值点； 当时，令，可得，可得函数的减区间为 ，增区间为，此时为函数的极小值点，故A选项错误； 对于B选项，由， 有，可得函数为奇函数，故B选项正确； 对于C选项，设切点为，可知， 可得函数在点M处的切线方程为 ，代入 有，整理为， 若过点 有三条直线与曲线相切，可得关于m的方程有且仅有3个根， 显然，上述方程可化为. 令，有， 令，即，解得， 可得函数的减区间为， 令，即，解得或， 所以函数增区间为， 又由.可得，可得，故C选项正确； 对于D选项，显然，设， 又由，可得， 同理可得， 将上面两式作差，得， 整理可得，故D选项正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为， ，高为 ，则该棱台的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知棱台上底面积 ,下底面面积 ，高 ， 则棱台的体积 ． 13. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为， 所以，， 由得，即， 解得或 （舍）， 所以． 14. 已知 中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为： . [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. 【小问2详解】 使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 16. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，由导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，分、讨论求解即可. 【小问1详解】 由 ，则， 可得 ，即，满足题设，所以 ， 则，可得 ，而 ， 所以曲线在点处的切线方程 ，即 . 【小问2详解】 由 ，，则， 当时，恒成立，显然不存在极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则时，取得极小值， 则， 即，则，即， 所以的取值范围为． 17. 如图，四棱锥 的底面 为菱形，，. （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设 的中点为，连接 、、，利用勾股定理逆定理得到 即，再由，得到 平面 ，即可得到，再证明 ，即可得到平面 ，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：设 的中点为，连接 、、， 因为四边形 为菱形，，， 所以为等边三角形，，， 所以且， 因为，， 所以，所以 ，所以， ，平面 ， 所以 平面 ，平面 ，所以， 因为，所以， 所以，即 ， ，平面 ， 所以平面 ，平面 ， 所以平面 平面 . 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面 的法向量为，则，令，则， 设平面 的法向量为，则，令，则， 所以， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为. 18. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为，，，且，. （1）求的值以及 的面积； （2）已知点在线段 上，若，且，求的值. 【答案】（1）4，2 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得，从而求得，，再由余弦定理求边的值，利用面积公式求解即可； （2）由两角和差公式可得，在和中，由正弦定理得，由向量的线性运算可得，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 故. 因为，，所以， 则， 故，， 所以， . 【小问2详解】 如图，， 故. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 又因为， 所以， 故， 所以. 所以, 所以, 因为， 所以, 所以. 19. 已知椭圆 ： （）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线： 和 交于，两点， 轴，为 上的动点． （1）求 的方程； （2）若，求 的面积； （3）设 上有两点 ， （ ， 与都不重合）满足 ，且 ，垂足为 ，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1） （2） （3）设，， 当直线 斜率存在时，设其方程为， 联立，消去，整理得 ， 则 ， ，， 结合（2）有，则，， 又 ， 则 ， 化简整理得 ， 又直线 ：不过点，得 ， 所以 ，即， 所以直线 方程为，过定点 ； 当直线 斜率不存在时，设其方程为，（）， 则 ， ，则，， 所以 ， 又 ，则联立得 ，解得，（舍去）， 所以直线 方程为，过定点 ， 因此直线 过定点 ， 又 ，则点 在以线段 为直径的圆上，所以圆心坐标为， 令点，则， 所以存在定点，使得为定值． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即可； （2）由（1）求出点的坐标，结合对称性得到点的坐标，再根据数量积的坐标表示求出点的坐标，进而根据两点间的距离公式，点到直线的距离公式即可求出三角形面积； （3）分直线 斜率存在与不存在两种情况，设出直线 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示求出直线 所过的定点，进而求出点 的轨迹即可推理得证． 【小问1详解】 令椭圆 的半焦距为，由椭圆 的离心率为，且经过点， 则，解得， 所以椭圆 的方程为 ． 【小问2详解】 由（1）知，椭圆 ，， 又在直线： 上，且 轴，则， 由对称性得关于原点对称，则， 设，则，， 由，化简得 ， 又 ，解得， ，即点 ， 又， 点到直线 的距离， 所以 的面积为 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $