精品解析：云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年下学期3月份考试高二数学试题

云南省罗平县第一中学2025-2026学年下学期3月份考试 高二数学 本试卷共4页19题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 4. 若，且是第四象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在处取得极值1，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. 2 6. 甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（ ） A. 0.95 B. 0.6 C. 0.05 D. 0.4 7. 设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若与所成的角相等，则 8. 直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是的一个对称中心 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则 第II卷（非选择题，共92分） 三．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量与的夹角为，且，．则_____． 13. 已知函数，则在处切线方程为__________. 14. 已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为_______． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若 ，且的面积为，求的周长. 17. 已知函数． （1）当 时，求的单调区间； （2）若不等式恒成立，求的最大值． 18. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 19. 已知抛物线：（）的焦点为，直线： 与交于，两点. （1）求的方程. （2）求的取值范围. （3）设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省罗平县第一中学2025-2026学年下学期3月份考试 高二数学 本试卷共4页19题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可判断其虚部. 【详解】， 所以复数的虚部是. 故选：B. 3. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决. 【详解】根据等比中项知道，求得，则. 又，则. 故选：A. 4. 若，且是第四象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角公式可得，再结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】因为，且是第四象限角，则， 所以. 5. 若函数在处取得极值1，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意， ∴， 故选：D. 6. 甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（ ） A. 0.95 B. 0.6 C. 0.05 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” 用1减去对立事件的概率即可. 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件 ， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件 的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件 的概率为． 7. 设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若与所成的角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，若，，则与可能平行、相交或异面. 例如，在正方体中，平面，平面，但与是相交的；平面，平面，但与是平行的. 平面，平面，但与是异面的. 所以A选项错误. 对于B选项，若，则存在直线 ，使. 又因为，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直，所以. 由于，根据异面直线所成角的定义可知，所以B选项正确. 对于C选项，若，，则或.例如，当在平面内时，也能满足且，所以C选项错误. 对于D选项，若，与所成的角相等，则与可能平行、相交或异面. 例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间相交.所以D选项错误. 故选：B. 8. 直线与圆交于 ，两点，且的面积为2，已知 是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点 到弦中点距离的最大值问题. 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取 的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可. 【详解】对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确； 对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误； 对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确； 对于D项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85，故D项正确. 故选：ACD项. 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【详解】由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确； 函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确. 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是的一个对称中心 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，令， ，解得， ，所以其对称中心为，所以不是其对称中心，A选项错误； B选项：令， ，解得， ，即函数的单调递增区间为， ，又， ，B选项正确； C选项：由，向右平移可得，C选项正确； D选项：，即， 设，则， 即函数与函数 在上有两个交点， 做出函数图像，如图所示， 所以可得，解得，D选项错误； 故选：BC. 第II卷（非选择题，共92分） 三．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量与的夹角为，且，．则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求平方再开方即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知函数，则在处切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的几何意义求出以及，最后利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以在处切线方程的斜率，即切线方程为. 故答案为： . 14. 已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合余弦定理求出间关系，再由离心率的齐次式可得. 【详解】 由题意可得，所以， 又， 所以在中，， 在中，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 已知，，分别为三个内角 ，，的对边，且. （1）求 ； （2）若 ，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为 ， 由余弦定理，得①，     由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 17. 已知函数． （1）当 时，求的单调区间； （2）若不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （2）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当 时，，函数定义域为， 有， 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 不等式恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 18. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为 ，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以D为原点建立空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，由底面,平面，得， 由为等边三角形，为 的中点，得， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点，连结，由为 的中点，得， 由（1）知平面，平面，则，而， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系 ， 则，， ，，设平面的法向量， 则 ，令，得，而， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 19. 已知抛物线 ：（）的焦点为，直线： 与 交于 ，两点. （1）求 的方程. （2）求的取值范围. （3）设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标得出，即可得出抛物线方程； （2）联立直线和抛物线应用判别式列式求解； （3）把转化为应用斜率列式求参. 【小问1详解】 因为，所以， 的方程为. 【小问2详解】 由得， 则， 得，即的取值范围为. 【小问3详解】 设，，由（2）知，， 设线段 的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $