精品解析：江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期末模拟考试高一数学试卷

金陵中学2025~2026学年度第二学期期末模拟考试 高一数学试卷 2026.06 注意事项： 1．本试卷共4页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 满足，则（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设（），则，代入已知等式求出；再计算，最后求乘积. 【详解】设，，则. 代入得. 根据复数相等，得，解得，.，故. 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，即集合为全体复数， 又，则，故． 3. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：若，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则 或，故B错误； 对于C：若，，，则与位置关系可以是平行、相交或异面，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 4. 已知事件和事件独立，若，则（    ） A. 0.56 B. 0.76 C. 0.80 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式，及互斥事件的概率加法公式求解即可． 【详解】由，则， 又事件和事件独立，则事件和事件也独立， 则， 所以． 5. 在锐角中，已知， ，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得 ，， 得到，  所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得​，， 已知 ，由正弦定理可得​，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 6. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为向量，可得，且， 由， 当且仅当时，即 时，等号成立， 设，则，解得或， 所以当或时，的最大值为. 7. 如图，若将一个圆锥以平行于底面的平面截成一个小圆锥和一个圆台，若该小圆锥与原圆锥的外接球表面积之比为9:16，则小圆锥与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】外接球表面积比，故半径之比为， 设相似比，分别为圆锥底面半径和高， 由外接球半径公式，得，故，∴， 所以小圆锥与圆台体积之比为. 8. 南京市江心洲地区周围要建设一个游乐场，索道滑翔项目区的简易规划图如图所示，其中，⊥平面， ，已知 ，且 ，则 面积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设 ， ，由 得 ，在中由余弦定理得 ．利用 平面和 求出 ， ，，再结合余弦定理和三角形面积公式表示 的面积，最后利用 和基本不等式求最大值． 【详解】设 ， ，由 ，得 ． 在中，由余弦定理，得 因为，，所以 ， 因为 平面， 平面，所以 ， ． 又 ，所以 平面，因为平面，所以 ． 由 ，得 ， ． 所以， ，又 ， 在 中，由余弦定理，得 设为 的面积， 则 因为 ，所以 ，从而 由 得 ，所以 所以 又由 ，得 ． 因为 等价于 而 ，所以上式成立． 因此 ，即 ，所以． 当且仅当 且 ，即时，等号成立． 故 面积最大为． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（    ） A. 若事件两两独立，则 B. 若，则事件两两独立 C. 若，则事件两两互斥 D. 若事件两两互斥，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D． 【详解】A：若事件两两独立，则， ，， 抛两次硬币， 第一次正面， 第二次正面，两次结果相同， 所以，，显然满足前提， 而，此时，不满足，即A错； B：对于样本空间，若，，，则， 所以，且，此时满足， 但，即，显然，显然不相互独立，即B错； C：若， 而， 所以， 必有，即事件两两互斥，即C对； D：若事件两两互斥，则， ，即D对． 10. 下列说法正确的有（    ） A. 若复数满足，则的最大值为 B. 若 1， 2互为共轭复数，则+为实数 C. 对于复数 1， 2，若| 1|=| 2|，则= D. 对于复数 1， 2，若=，则| 1|=| 2| 【答案】BD 【解析】 【分析】结合复数几何意义、共轭复数性质与模运算规则，逐一判断各选项正误，将A选项条件转化为复平面内的定圆，的最大值为圆上点到定点的最大距离，其余选项可通过代数计算或举反例判断. 【详解】在A选项中，的几何意义是：复平面内 的轨迹是以为圆心， 半径 的圆， 表示圆上点到点的距离，圆心到的距离为： ​，因此的最大值为： ，A错误， 在B选项中，设，（），则： 结果为实数，B正确， 在C选项中，举反例：取 ，，满足， 但，，​，C错误， 在D选项中，由复数模的性质：对任意复数 ，恒成立， 若，两边取模得，即，因为模是非负实数， 故，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 存在点，使得平面平面， B. 过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，证得平面和平面，得到平面平面，可判定A正确；得到过点的截面为平行四边形，结合，可判定B不正确；证得平面，得到点和 到平面的距离相等，结合，可判定C正确；将等腰直角 展开到与矩形在同一个平面内，在 中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A，如图（1）所示，分别连接， 在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，如图（2）所示，过点在平面内，作， 交分别为，则过点的截面为平行四边形， 设，其中，可得，， 当 时，即点与重合时，，此时， 所以； 当 时，可得且， 所以， 综上可得，截面平行四边形的面积，所以B不正确； 对于C，如图（3）所示，因为，且平面， 平面， 所以平面， 又因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，且定值为，所以C正确； 对于D，如图（4）所示，将等腰直角 展开到与矩形在同一个平面内， 此时点为点，则满足， 当且仅当三点共线时，取得等号， 在 中，， 则 ， 所以的最小值为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足 与平面成 的角，则点轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据满足 与平面成 的角可得的轨迹为线段和个圆（），故可求其长度. 【详解】 因为 与平面成 的角， 故在 为对称轴且轴截面顶角的一半为 的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为， 故答案为：. 13. 设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式化简，再应用余弦定理计算得出边长，代入计算检验即可. 【详解】因为，所以， 则，则，又， 所以，即， 则，则， 解得或， 当时，由余弦定理计算，，进而得， 因，故，与题设矛盾，所以， 故． 14. 设，则函数的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用均值不等式中的三元均值不等式结合正弦函数的性质可求最小值. 【详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 15. 已知内角的对边分别为，设． （1）求； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简求解即可； （2）由余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得 ． 由余弦定理得． ，． 【小问2详解】 由于的面积为，， ， 由余弦定理得：， ． 16. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】（1），平均数为74分 （2）60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【解析】 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【小问1详解】 由题意知，解得； 所以该次测试分数的平均数的为： (分)． 【小问2详解】 由频率分布直方图知 ， (分)， (分)，(分) ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 17. 在丰富多彩的高中生活中，校园的合理规划是避免学生浪费过多不必要时间的必要条件. 如图为南京市某校的建设计划简图，D点为高一学生教室，B点为食堂，A点为体育场，另有一基准点C，构成四面体，其中，. （1）若 ，，求二面角的余弦值； （2）已知平面 平面 ，教室与体育场的直线距离为AD：若，求AD的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造二面角，结合余弦定理即可求解； （2）根据面面垂直性质，结合正弦定理与圆的性质，即可求解； 【小问1详解】 因为，，故为等腰直角三角形，则， 而因为，所以为等腰三角形，取BC的中点，连接，， 则，，因此，， 因此即为二面角，故. 【小问2详解】 取中点，连接，， 由 得，，因为面 面，所以 面， 因此 ，由勾股定理得，，而， 故当取最大值时，取最大值， ，，则， 设圆为外接圆，半径为，则，因此， 则，， 因此，因此. 18. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若； （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，利用同角三角函数的关系式求解. （2）（i）（ii）由（1）的结论，利用余弦定理，借助基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 即， 整理得，而，则， 于是，整理得， 即，而 ，解得， 所以. 【小问2详解】 （i）由余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，而， 则，所以， 所以周长的取值范围是. （ii）由（i）知，当且仅当时取等号， 所以， 因此， 所以面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 底面，，，， ，M，N分别是棱 上的点（含端点）． （1）证明：； （2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点Q是边上的点（含端点）， （i）连接，求与面 所成角θ的正弦值的取值范围，并写出在θ角最大时Q点的位置； （ii）求的最小值． 【答案】（1）连接，在中， 由余弦定理得，， 所以，所以， 又因为四边形为平行四边形，所以，即 ， 因为 平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又 平面， 所以． （2）1 （3）①取值范围为，θ最大为，此时Q点与C点重合，② 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得出，进而得出 ，再根据线面垂直的性质与判定即可证明； （2）在平面 中，过点作，垂足为，连接，由线面垂直的判定与性质得出为二面角的平面角，得出，再由已知得出为等边三角形，进而得出，在 中，得出，再由余弦定理即可求解； （3）（i）先证平面 ，再由线面夹角的定义可得，再求的范围即可得出结论； （ii）将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得，根据三角形三边关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面 中，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，又 ， 所以 平面，又 平面，所以 ， 又，平面， 所以 平面，平面， 所以 ， 又 平面 ，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为 平面，平面，所以， 则在中，， 因为 底面，平面，所以 ， 在 中，， 又N为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在 中，， 所以，设 ， 在中，由余弦定理得，， 所以． 【小问3详解】 ①由（1）知，即， 又 平面，平面， 所以 ，又 平面 ， 所以平面 ， 又平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又在上， 所以到平面 的距离， ，即当最小时，θ最大， 又 平面，平面， ，则， 又 ，， 此时，， 所以正弦值的取值范围为，θ最大为，此时Q点与C点重合； ②将在同一平面展开， 将沿对称得，点沿对称得，交于， 则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值， 所以， 又平面，平面，所以 ， 所以，当在点处取等， 又，设，则， 所以， 则， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025~2026学年度第二学期期末模拟考试 高一数学试卷 2026.06 注意事项： 1．本试卷共4页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（      ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若，则 4. 已知事件和事件独立，若，则（    ） A. 0.56 B. 0.76 C. 0.80 D. 0.96 5. 在锐角中，已知， ，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则的最大值为（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 18 7. 如图，若将一个圆锥以平行于底面的平面截成一个小圆锥和一个圆台，若该小圆锥与原圆锥的外接球表面积之比为9:16，则小圆锥与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 南京市江心洲地区周围要建设一个游乐场，索道滑翔项目区的简易规划图如图所示，其中，⊥平面， ，已知 ，且 ，则 面积最大为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（    ） A. 若事件两两独立，则 B. 若，则事件两两独立 C. 若，则事件两两互斥 D. 若事件两两互斥，则 10. 下列说法正确的有（    ） A. 若复数满足，则的最大值为 B. 若1，2互为共轭复数，则+为实数 C. 对于复数1，2，若|1|=|2|，则= D. 对于复数1，2，若=，则|1|=|2| 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 存在点，使得平面平面， B. 过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足 与平面 成的角，则点轨迹的长度为______． 13. 设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________． 14. 设，则函数的最小值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 15. 已知内角的对边分别为，设． （1）求； （2）若的面积为，求的值． 16. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 17. 在丰富多彩的高中生活中，校园的合理规划是避免学生浪费过多不必要时间的必要条件. 如图为南京市某校的建设计划简图，D点为高一学生教室，B点为食堂，A点为体育场，另有一基准点C，构成四面体 ，其中，. （1）若 ，，求二面角的余弦值； （2）已知平面 平面 ，教室与体育场的直线距离为AD：若，求AD的最大值. 18. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若； （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面 是平行四边形，底面 ，，，， ，M，N分别是棱 上的点（含端点）． （1）证明：； （2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点Q是边 上的点（含端点）， （i）连接，求与面 所成角θ的正弦值的取值范围，并写出在θ角最大时Q点的位置； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $