精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年下学期高二第一次月考数学试题

同实2024-2025学年下学期高二年第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 由于，故在上的平均变化率最大， 故选：B 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象. 【详解】因为，定义域为， 则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 由，故排除A； ，当时，可得， 当时，为增函数，故排除D. 故选：C. 4. 将本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放本，另两袋各放本，则不同的装法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得； 【详解】解：依题意本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放本，另两袋各放本，则不同的装法有种 故选：A 5. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得 则点C到直线AB的距离为 故选：A 6. 由数字，，，组成的无重复数字的位数中，比 大的数的个数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用分类加法计数原理，以千位数字为一级分类标准，千位为2时以百位数字为二级分类标准，结合排列数公式计算每类符合条件的数的个数，求和得到最终结果. 【详解】根据题意，按千位数字分两类计算符合条件的四位数： 千位数字为3时，剩余三个数位由0,1,2全排列，排列数为 ，所得四位数均大于2025. 千位数字为2时，按百位数字进一步细分： 百位数字为1或3时，百位有2种选择，剩余两个数位由余下的2个数字全排列， 排列数为 ，所得四位数均大于2025. 百位数字为0时，剩余两个数位由1,3排列，得到2013与2031， 其中仅2031大于2025，共1个符合条件的数. 因此，千位为2的符合条件的四位数共有个. 综上，比2025大的无重复数字的四位数共有 个. 7. 用红、黄、蓝等种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种类为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用间接计数法，先求出所有相邻异色的涂色总方案数，再减去不含红色和仅含1个红色的方案数，间接得到红色至少2个的方案总数. 【详解】采用间接法求解，先计算所有满足相邻异色的涂色总方案数，再剔除红色个数不足2的情况. 五连圆相邻异色涂色，首圆有6种颜色可选，后续每个圆只需与前一圆颜色不同， 各有5种选择，总方案数为 . 不含红色的涂色方案，从剩余5种颜色中选取， 同理得方案数为 . 仅含1个红色的涂色方案，按红色所在位置分三类计算： 红色在第1位或第5位时，剩余4个圆从5种非红色中选色且相邻异色， 单种位置的方案数为 ，两类位置共 种. 红色在第2位或第4位时，与红色相邻的两个圆各有5种非红色可选， 剩余两个圆依次有4种、4种选择， 单种位置的方案数为 ，两类位置共 种. 红色在第3位时，左右相邻的两个圆各有5种非红色可选， 两端的圆各有4种选择，方案数为 种. 因此，仅含1个红色的方案总数为 . 综上，红色至少涂两个圆的涂色方案数为 . 8. 已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导确定单调区间，即可求解. 【详解】解：由， 整理得： 因为，所以 即对任意，且， 不等式恒成立 设，则，即函数在区间上单调递减 所以在区间上恒成立 所以，即实数的取值范围为， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在 上可导，若 ，则 B. 已知函数，若 ，则 C. D. 设函数的导函数为，且 ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的定义即可判断A；利用复合函数的求导法则即可判断B；利用导数的四则运算即可判断CD. 【详解】对于A，已知 ，根据导数的定义， ， 所以 ，故A错误； 对于B，已知函数，则， 又因为 ，则 ，解得，故B正确； 对于C，根据导数的四则运算，，故C错误； 对于D，已知 ，其中是一个常数， 所以，令，则有，解得，故D正确. 10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲在乙左边的排列的排法有30种 【答案】BC 【解析】 【分析】按照题目要求将各个排列的总数算出比对答案即可. 【详解】对于A，如果甲、乙必须相邻，那么将甲乙捆绑， 不同的排法有种，所以选项A错误； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法分为两类：甲排最左端：种； 乙排最左端：种， 即不同排法共有种，所以选项B正确； 对于C，甲、乙不相邻的排法种数为种，所以选项C正确； 对于D，甲在乙左边的排列的排法有种，所以选项D错误. 故选：BC. 11. 已知函数 的导函数为，，是的两个极值点，则（ ） A. B. C. 只有一个零点 D. 直线与曲线 相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得 ，得出函数的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线在点处的切线方程，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数 ，可得 ，令，解得， 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 所以，当时，函数取得极小值，极小值为 ， 当时，函数取得极大值，极大值为 ， 且两个极值点之和为，所以A正确； 由 ，所以B错误； 当时，，且函数连续不间断， 又函数的极大值和极小值都是负数， 结合函数的单调性可知函数仅在 上有且仅有一个零点， 在 和 上无零点，所以C正确； 当时，可得 ， 所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有封不同的信投入个不同的信箱，可有______种不同的投入方法. 用数字作答 【答案】81 【解析】 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有 种方法. 13. 已知正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先设正四面体的棱长，设定基底为，表示与，应用用空间向量的数量积求解即可. 【详解】正四面体的棱长设为2， 其中，三个向量间的夹角都为， 则， 由，得，且， 异面直线与所成角的余弦值为. 故答案是：. 14. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值. 【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元， 则， 可得， 当时，可得，函数单调递增； 当时，可得，函数单调递减； 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程. 15. 已知函数，且当时，有极值． （1）求，的值； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）， ； （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数； （2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解. 【小问1详解】 由，得， 又当时，有极值， 所以，解得 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以当时，有极小值． 所以， 满足题意． 【小问2详解】 由（1）知，． 令，得，， ，的值随的变化情况如下表： 3 4 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）求出，，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式计算可得结果. 【详解】（1）因为在数列中，， 所以， 两式相减得，即， 当时，， 所以． （2）由（1）知，，， 因为数列是等比数列，设公比为，所以， 所以， 所以， 所以 ． 【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于基础题. 17. 已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，直线：与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积为时，求的方程． 【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0 【解析】 【分析】（1）由短轴长为，离心率为，结合可求出，从而求出椭圆方程. （2）联立直线方程与椭圆方程，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得的值，然后利用弦长公式得的值，再求出点到直线的距离，利用面积公式建立关于 的方程，即可求出 值. 【详解】（1）依题意2b=2，，而a2=b2+c2 解之可得a=2，b=，c=1 椭圆C的标准方程为 （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由消去y得消元可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0 则，得， 则，x |MN|=|x1-x2|= 点A（-2，0）到直线y=k（x-1）的距离为d= ∴S=|MN||•d==． ∴17k4+k2-18=0，得k=±1 ∴直线的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 【点睛】主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆相交弦问题，以及点到直线距离问题，属于中档题.对于直线与椭圆相交弦长问题，常常联立方程组，消去（或者）得到关于（或者）的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式即可求得. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 19. 已知函数在点 处的切线为 . （1）求函数的解析式； （2）是否存在 ，对任意，使得成立，若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.（参考数据：，） 【答案】（1）；（2）存在， 的最大值为8 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义，可得出，进而可求出，即可得出函数的解析式； （2）由，不等式可转化为， 令，进而通过求导，判断函数的单调性，使得，进而可求出 的最大值. 【详解】（1）将代入切线方程，可得，即 ， 又， 所以，解得， 所以. （2）存在，理由如下： 由，不等式可转化为， 令，则，， 令，则， 所以在上单调递增，且，， 故存在唯一的，使得 ，即， 当时，，即，此时单调递减； 当时， ，即 ，此时单调递增. 所以，即， 又因为，所以， 因为 ，所以 的最大值为8. 所以存在满足题意的 ， 的最大值为8. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，注意利用参变分离的方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同实2024-2025学年下学期高二年第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 2. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 将本不同的课外书分别装到个相同的手提袋中，其中一袋放 本，另两袋各放本，则不同的装法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 由数字，， ，组成的无重复数字的位数中，比 大的数的个数为( ) A. B. C. D. 7. 用红、黄、蓝等种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种类为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在 上可导，若 ，则 B. 已知函数，若 ，则 C. D. 设函数的导函数为，且 ，则 10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲在乙左边的排列的排法有30种 11. 已知函数 的导函数为， ，是的两个极值点，则（ ） A. B. C. 只有一个零点 D. 直线与曲线 相切 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有封不同的信投入个不同的信箱，可有______种不同的投入方法. 用数字作答 13. 已知正四面体 ，点为棱的中点，则异面直线与 所成角的余弦值为______. 14. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程. 15. 已知函数，且当时，有极值． （1）求 ，的值； （2）求在上的最大值和最小值． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 17. 已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，直线：与椭圆交于不同的两点，， 为椭圆的左顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积为时，求的方程． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 19. 已知函数在点 处的切线为 . （1）求函数的解析式； （2）是否存在 ，对任意，使得成立，若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $