精品解析：福建福州格致中学2025-2026学年高二第二学期6月数学限时训练

2025-2026学年度第二学期福州格致中学6月限时训练 高二数学 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由或，， 所以. 2. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 3. 已知，为的导函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到 ，根据奇偶性排除B，D，由特殊值计算排除C选项得到答案. 【详解】对 求导可得 ， 又， 则为奇函数，排除B，D， 当时， ，故排除C，因此A符合题意. 4. 已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 4052 D. 4053 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 则等差数列为递增数列， ， ， 故使得的最大正整数为. 5. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 6. 甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率知识点求解即可． 【详解】由题可知，， ， ， ， 则 ， 综上，选项B错误． 7. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.55 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可. 【详解】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以， 解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 8. 已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意 ，都有恒成立， ，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，并结合函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】令，则. 因为对任意 ，都有恒成立， 所以当时，；当 时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为为偶函数，所以为偶函数， 由 ，得， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以其解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（ ） A. d＝1 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得到，，再逐项判断. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 即，， ，A正确，B错误，C正确. 因为， 所以，D正确. 10. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. 当Р最大时， 或5 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”， 根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AC选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断D选项． 【详解】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”，则， 设表示事件发生的次数， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，则， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， ， ， ， ， ， 故当 或 时，概率最大，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，将问题转化为二项分布的相关问题是解决本题的关键. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是， B. 的值域为 C. D. 若，，，则. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由即可分析判断C；将转化变形为得到即可分析判断D. 【分析】A选项，的定义域为，在定义域上恒成立， 故的单调递增区间是，，A正确； B选项，当时， ，当时，； 当时，，当时，趋向于， 故的值域为，B正确； C选项，时，， 又，所以，C错误； D选项， ， 又，故，故， 因为，所以，又，在上单调递增， 故，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 13. 在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项共4项，分别求出，，，从而求出． 【详解】的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项有第一项：， 第二项：，第九项：，第十项：，共4项， 所以，，， 所以． 答案：. 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】48 【解析】 【分析】设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为 ，男生追星人数为 ，不追星人数为， 女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下： 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得： . 又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是定义在 上的奇函数，且当时，． （1）求函数在 上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在 上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【小问1详解】 已知是定义在 上的奇函数，则 ， 若，则 ，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． 【小问2详解】 当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为 ， ①当时，函数在区间单调递增， 故当 时，函数取得最小值，最小值是， ②当 时，函数在单调递减，在单调递增， 故当 时，函数取最小值，最小值是， ③当 时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 16. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 【答案】（1）（i）分布列见解析，2；（ii） （2）244.8元 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【小问1详解】 （i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. 【小问2详解】 设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据时，及已知等式求出. （2）利用错位相减法求和方法进行求解. 【小问1详解】 由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， 【小问2详解】 由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 18. 近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示. （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据：其中，. 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1）适宜，；（2）年. 【解析】 【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结果； （2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型. 由，两边同时取常用对数得. 设，则. 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次， 每年的收益为（千元）， 总投资千元， 假设需要年开始盈利，则，即， 故需要年才能开始盈利. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明： ． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明 转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【小问1详解】 若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为 ； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证 ，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期福州格致中学6月限时训练 高二数学 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，为的导函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 4052 D. 4053 5. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 6. 甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.55 8. 已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意 ，都有恒成立， ，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（ ） A. d＝1 B. C. D. 10. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. 当Р最大时， 或5 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是， B. 的值域为 C. D. 若，，，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数为________． 13. 在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是定义在 上的奇函数，且当时，． （1）求函数在 上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； 16. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示. （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据：其中，. 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $