精品解析：云南省下关第一中学2025-2026学年高一下学期段考二数学试题

下关一中2028届高一年级下学期段考二 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由集合 ，， 得 . 2. 已知复数z满足，则复数z的模为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由复数除法运算化简，再结合复数模公式求解即可. 【详解】由得 所以 故选：B 3. 新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知先求出抽样比为，然后即可得出答案. 【详解】由已知可得，全校共有学生3000人，抽样比为， 所以，高三年级应该抽取：人． 故选：C． 4. 已知， ，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由 ，所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：C 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定和性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，，，则与可能异面，故A错误； 对于B，若，，，则与相交时，与都与交线平行时， 也满足条件，故B错误； 对于C，若，，，则与可能平行，故C错误. 对于D，若，，，则，故D正确. 故选：D. 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，从而得，再求模长即可. 【详解】向量，，且， 所以，解得，所以，， 所以， 故选：B. 7. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上， 记为O，PO=AO=R，，=4-R， 在Rt△中，， 由勾股定理得， ∴球的表面积，故选A. 考点：球的体积和表面积 8. 已知 ， ，，则， ，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数 在上单调递增，结合，得，由函数 在上单调递增， 结合，得，同时 ，即可判断. 【详解】因为函数 在上单调递增，， 所以，， 化简可得， ，所以， 因为函数 在上单调递增， ， 所以，即 ，所以， 又 ，所以 ， ， 所以. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为或 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的解集可判断,再由韦达定理可得，由此即可判断出答案. 【详解】由解集可知，，故A正确； 由韦达定理：，那么，故D正确； B选项：，故B正确； C选项：， 又，则不等式转化为，，故C错误； 故选：ABD. 10. 在 中，已知.则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理即可判断AC，由三角形的面积公式即可判断B，再由正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，则角 最大， 由余弦定理可得， 即角 为锐角，所以 为锐角三角形，故A正确； 对于B，由A可得，则， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理可得，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，即，故D错误； 故选：AB 11. 如图，在棱长为的正方体中， 分别为棱，的中点， 为面对角线 上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段 上存在点 ，使平面 C. 线段 上存在点 ，使平面平面 D. 设直线 与平面所成角为，则 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以 到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确． 对于B, 如图所示, 以 为坐标原点, 为轴, 为轴, 为 轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，， 所以 ，，， 设（），则 所以， 平面即 解之得 当 为线段 上靠近 的四等分点时，平面.故B正确 对于C，设平面的法向量 则，取 得 设平面 的法向量 , 则 取 , 得 , 平面平面 设 , 即 , 解得 ， ，不合题意 线段 上不存在点 , 使平面//平面，故C错误． 对于D，平面的法向量为 则 因为 所以 所以 的最大值为．故D正确． 故选：ABD 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，91，89，88，87，85，92，则该运动员这10次成绩的分位数为___________． 【答案】90 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】将训练成绩从小到大排序为：85，85，86，86， 87，88，88， 89，91， 92， 因为，所以该运动员这10次成绩的分位数为. 故答案为：90. 13. 在 中，，则 的外接圆面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据余弦定理得，再由计算外接圆半径即可. 【详解】根据题意，， 由余弦定理得， 因为 ，则， 由正弦定理得，即， 所以 的外接圆面积为. 故答案为：. 14. 如图，扇形的半径为1，且，点 在弧上运动，若，则的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意将，两边同时平方可得，再三角代换 ，利用三角函数的值域求法即可解出． 【详解】由题意得，， ， ， 由，等式两边同时平方，得 ， 所以，令 ，则 ， 则 ，其中 ， 因为 ，所以 ，所以， 即的最小值为1. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图：在正方体中，， 为的中点. （1）求证：平面； （2）若 为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交 于点 ，连接，由已知可证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 如图1，连接，交 于点 ，连接， 根据正方体的性质可知， 是中点. 因为 是的中点， 所以在中，有. 因为平面，平面， 所以，平面. 【小问2详解】 如图2，连接， 因为 为的中点， 为的中点， 所以. 根据正方体的性质可知，，所以. 所以，四边形为平行四边形， 所以. 因为平面， 平面， 所以，平面. 因为， 平面， 平面， 所以，平面平面. 16. 某同学统计了英语必修1前5篇课文中每句句子中的单词数，统计了100个句子，将所得的数据分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这100个句子中单词数不少于20个的句子的数目； （2）求图中a的值； （3）根据统计数据，估计所得数据的中位数． 【答案】（1）20 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算，这2组的频率，即可求得答案； （2）根据频率分布直方图各组面积之和等于1，即可求得答案； （3）根据频率分布直方图中中位数的估算方法，即可求得答案. 【小问1详解】 由图可知，这2组的频率分别为， 故这100个句子中单词数不少于20个的句子的数目为； 【小问2详解】 由图可得，解得； 【小问3详解】 前2组的频率之和为， 前3组的频率之和为， 故设数据的中位数为x，则，解得， 即估计所得数据的中位数为. 17. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以 ，因此，所以， 所以. 【小问2详解】 由 的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以 的周长为. 18. 在正三棱柱中， 为 的中点. （1）求证：平面平面； （2）若. ①求直线 与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】（1）详见解析；（2）①：，②：. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据三棱柱是正三棱柱得出，然后根据 为 的中点得出，最后根据线面垂直的判定以及面面垂直的判定即可证得结论； （2）①：本题首先可作中点 ，连接、，然后通过面面垂直的性质得出平面，则 即直线 与平面所成角，最后根据即可得出结果； ②：本题可作，然后根据面面垂直的性质得出 平面，最后根据即可得出结果. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以底面， 是等边三角形 因为底面，所以， 因为 为 的中点，所以， 因为 ，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）①：如图，作中点 ，连接、， 因为， 为 的中点，所以， 因为 是中点，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 即直线 与平面所成角， 则，直线 与平面所成角的正弦值为. ②：如图，过点 作，则， 因为平面平面，平面 平面，平面， 所以 平面，， 设点到平面的距离为， 因为，，， 所以，，， 因为，所以，解得， 故点到平面的距离为. 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设，若在上的值域为，求实数的值； （3）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）;（2）或;（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）化简 最小正周期；（2）当时，．令，则． 原函数可化为，．再利用分类讨论思想，对求得或；（3）由（2）可知，当时，．①当为偶数时， ． ．②当为奇数时，的取值范围是． 试题解析：（1） ． 的最小正周期． （2）由（1）知． 当时，，， 即． 令，则． ，． 令，．易知 ． ①当时，在上为增函数， 因此，即．解得． ②当时，在上为减函数， 因此，即．解得． 综上所述，或． （3）由（2）可知，当时，． ①当为偶数时， ． 由题意，只需． 因为当时，，所以． ②当为奇数时， ． 由题意，只需． 因为当时，，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中2028届高一年级下学期段考二 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z的模为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 4. 已知， ，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ， ，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为或 D. 10. 在 中，已知.则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中， 分别为棱，的中点，为面对角线 上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段 上存在点，使平面 C. 线段 上存在点，使平面平面 D. 设直线与平面所成角为，则 的最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，91，89，88，87，85，92，则该运动员这10次成绩的分位数为___________． 13. 在 中，，则 的外接圆面积为__________. 14. 如图，扇形的半径为1，且，点在弧上运动，若，则的最小值是______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图：在正方体中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 16. 某同学统计了英语必修1前5篇课文中每句句子中的单词数，统计了100个句子，将所得的数据分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这100个句子中单词数不少于20个的句子的数目； （2）求图中a的值； （3）根据统计数据，估计所得数据的中位数． 17. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 18. 在正三棱柱中，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若. ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设，若在上的值域为，求实数 的值； （3）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $