精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

玉溪一中2025—2026学年下学期高一月考三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则 A. B. C. D. 2. 已知向量，，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ） A. 50 B. 60 C. 64 D. 75 7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A. B. ，且 C. D. 10. 某社会调查机构就某地居民的年运动时间情况调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．则（ ） A. B. 再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在段应抽出人数是 C. 估计该地居民年运动时间的中位数在段内 D. 估计该地居民年运动时间的平均数为 11. 勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分､如图所示，若勒洛四面体内的正四面体ABCD的棱长为a，则（ ） A. 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 过三点的截面面积为 D. 勒洛四面体的体积满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，点在上，若，则__________． 13. 如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米． 14. 如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，M为线段AE的中点．则直线MD与平面EBC的位置关系为__________（填相交或平行）．N为线段EB上一点，使得D，M，N，C四点共面，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题. （1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； （2）①估计这40名学生周末学习时间的分位数； ②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高一月考三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 2. 已知向量，，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量加法与数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，故C正确. 故选：C 3. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据圆锥的表面积及弧长公式得到方程组，求出、，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，解得（负值已舍去）， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：A 4. 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长. 【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，则即为原来的图形，如图②所示： 原图形中，于点， 则BD为原图形中边上的高，且， 在直观图③中作于点，则的面积， 在直角三角形中，， 所以， 故原图形中AC边上的高为． 故选：D． 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可. 【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为， 所以棱台的斜高为: . 所以棱台的侧面积是: . 故选：D. 6. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ） A. 50 B. 60 C. 64 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及抽取方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，高二年级有学生1000人，三个年级共有学生3000人， 因为用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演， 其中高二年级被抽取的人数为20，可得，解得． 故选：B． 7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定PC的中点O是鳖臑外接球的球心，结合外接球表面积得外接球半径，进而求得，再证明，进而结合勾股定理及基本不等式求得，再根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 则外接球半径，所以，又，所以， 而，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积为， 则三棱锥的体积的最大值为. 故选：D 8. 已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，得出点在以为直径的球与底面的交线上，再通过建立空间直角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出. 【详解】由，知，所以点在以为直径的球与底面的交线上. 以为坐标原点，平面内垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，故球的直径长为， 球心为的中点. 因为球心到底面的距离为1， 所以底面截球所得圆的半径为，圆心为， 则在以为直径的圆与菱形的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形中，则， 实际交线为劣弧和劣弧， 易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等， 则， 故的运动轨迹长为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A. B. ，且 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为，，则平行或相交，故错误； B. 因为，，则或 ，或 ，故错误； C. 因为，，，，则平行或相交，故错误； D. 因为，，，由面面平行的性质定理得 ，故正确； 故选：ABC 10. 某社会调查机构就某地居民的年运动时间情况调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．则（ ） A. B. 再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在段应抽出人数是 C. 估计该地居民年运动时间的中位数在段内 D. 估计该地居民年运动时间的平均数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各小矩形面积之和等于1，即可解出a的值；中位数是小矩形面积之和累计为0.5的值；再由频率分布直方图中频率计算平均数，求出段频率即可求解人数. 【详解】对于A，由，得， 故A正确； 对于B，根据频率分布直方图可得，年活动时间在段的频率为，所以抽出人中该段人数为，故B不正确； 对于C，前两个小矩形面积之和为， 前三个小矩形面积之和为， 由中位数是小矩形面积之和累计为0.5的值，所以中位数在段内，故C正确； 对于D，该地居民年运动时间的平均数约为 ，故D不正确. 故选：AC 11. 勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分､如图所示，若勒洛四面体内的正四面体ABCD的棱长为a，则（ ） A. 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 过三点的截面面积为 D. 勒洛四面体的体积满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于，进行判断；对于B，求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C，找到最大截面，求出截面面积；对于D，勒洛四面体的体积介于正四杨体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故A正确； 勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图， 其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知，，三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得，故B错误； 勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图， 则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积， 即，故C正确； 对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间， 正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，点在上，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将用和表示出来，再由，，三点共线即可求解. 【详解】， 因为，所以， 因为，，三点共线，所以，解得. 13. 如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【详解】设铁塔的高度为米. 由题意可得，，地面，则，. ，，，. ，，即，解得； ，，即铁塔的高度为米. 14. 如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，M为线段AE的中点．则直线MD与平面EBC的位置关系为__________（填相交或平行）．N为线段EB上一点，使得D，M，N，C四点共面，则的值为__________． 【答案】 ①. 平行 ②. 【解析】 【分析】先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面；先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【详解】记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面 所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又为等腰三角形，，所以， 所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 设，得， 故， 又因为，所以， 则有， 故. 故答案为：平行；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，解决下列问题. （1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； （2）①估计这40名学生周末学习时间的分位数； ②将该班学生周末学习时间从低到高排列，估计第10名学生的学习时长. 【答案】（1） （2）①8.75；②8.75小时 【解析】 【分析】（1）借助频率分布直方图计算其频数即可得； （2）①借助百分位数定义计算即可得；②易得第10名是40名学生的，即可得第10名学生的学习时长即为分位数. 【小问1详解】 由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为， 则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为； 【小问2详解】 ①学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以分位数在区间内，则， 所以这40名学生周末学习时间的分位数为8.75. ②第10名是40名学生的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名学生的学习时长，为8.75小时. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【小问1详解】 连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)利用中位线构造平行四边形，证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； (2)先证平面，再根据面面垂直的判定定理得面面垂直； (3)几何法求解点到平面的距离，先作出并证明表示所求距离的线段，再利用三角形面积公式求线段长. 【详解】证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． （2）在正方形中，．又由题知， 直线，在平面内，且相交于点，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. (3)在直角梯形中，，，可得，． 在中，， 所以．所以． 由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中， ， 所以 所以点到平面的距离等于． 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【小问1详解】 证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 ①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $