第1章 反比例函数 单元测试-2026-2027学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 初中数学反比例函数单元测试卷，总分100分，通过选择（8题16分）、填空（10题20分）、解答（9题64分）覆盖函数定义、图像性质、实际应用，结合科创、物理情境，渗透抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/16|图像象限、解析式求解、性质应用|以压强与受力面积（第5题）考查模型意识，基础巩固| |填空题|10/20|函数值比较、几何面积（第13题）、实际情境（视野与车速）|视觉机能问题（第11题）体现生活应用，能力提升| |解答题|9/64|一次函数综合、小孔成像（第22题）、创新定义“相近度”（第27题）|电路实验（第25题）融合探究与实践，创新应用梯度明显|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第1章 反比例函数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 2．反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 3．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 5．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 7．若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．若点在的图象上，则______． 10．已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 11．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 12．一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图象如图所示，则_________ 13．如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 14．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 15．已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为______． 17．已知过原点的直线与一个反比例函数的图象交于点，，且，则该反比例函数的表达式为________． 18．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 20．（6分）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时， 求y的值． 21．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 22．（7分）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 23．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 24．（8分）如图，的顶点A，B分别落在y轴正半轴，x轴正半轴上，轴，轴，反比例函数的图象经过点C． (1)若，，求k的值； (2)若， ①请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） ②若①中所作的垂直平分线分别与，交于P，Q两点，求证：． 25．（8分）【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下表格的数据： … … … … (1)填写：______，______； 【探究观察】 (2)根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息， ①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象； ②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 26．（8分）如图①，一次函数与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． (1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； (2)的面积为 ； (3)点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； (4)直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 27．（8分）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形的对角线的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用表示，即“相近度”，若，求该菱形的“相近度”； (2)如图2，已知矩形的对角线相交于点O，设的长分别为m，n（），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形的顶点分别在反比例函数和的图象上，轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C C C B D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9.1 10. 11.50 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】(1) (2)点在函数图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：把代入， ∴， ∴解析式为.（3分） （2）解：当时，， ∴点在图象上.（6分） 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设，依题意得 ，解得． （3分） （2）解：当时，（6分） 21．（6分） 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为．（3分） （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ．（6分） 22．（7分） 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为；（3分） （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为．（7分） 23．（7分） 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出，得到反比例函数的解析式为，继而求出，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，即可解答； （2）根据图象进行求解即可； （3）先求出，设，得到，再根据的面积为3，得到，求出或，则将点的坐标为或，即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为． 把点代入，得 ， ． 把，代入，得 ，解得． ∴一次函数的解析式为．（2分） （2）解：由图象可知，当时，不等式的解集为或；（4分） （3）解：在直线中，令，则， ， 设， ， ∵， ∴点A到x轴的距离为2， 的面积为3， ． ． 或． ∴点的坐标为或．（7分） 24．（8分） 【答案】(1) (2)①线段的垂直平分线如图所示： ②证明：连接， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据题意， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据已知可得点C的坐标为，再根据反比例函数的图象经过点C，即可求k的值； （2）①分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为线段的垂直平分线； ②连接，根据垂直平分线的性质得，则，进而可得，，则，再根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴；（4分） （2）略（8分） 25．（8分） 【答案】(1)， (2) ①如图， ②的值随着的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】根据关系式解答即可求解； ①根据表格数值列表、描点、连线即可；②根据函数图象解答即可； 画出一次函数的图象，求出交点横坐标，再根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得， 经检验符合题意， ∴；（2分） （2）解：①略；（4分） ②由图象可知，的值随着的增大而减小；（6分） （3）解：画一次函数函数的图象如下： 解得，, 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为．（8分） 26．（8分） 【答案】(1)，； (2)16； (3)存在，； (4)，，，． 【分析】(1)将点代入反比例函数可求，再利用及点在反比例函数图象上求出点坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． (2)求出直线与轴的交点，利用求解． (3)由正方形可知且，将点绕点旋转得到点，结合点、均在反比例函数上建立方程求解． (4)由轴对称性质可知直线是线段的垂直平分线，又直线过原点，故，据此求出点的坐标．再由在上得，从而为等腰三角形，利用等腰三角形性质与三角形内角和可判定直角顶点只能为，最后用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为． ，且， 设点，则， ， 设，则， ， 解得或， 或（均取正值）， 对应点， 点的坐标为． 一次函数的图象过点和， ， 解得， 一次函数的关系式为．（2分） （2）解：设直线与轴交于点， 在中，令，得， ，即， ， ， ， ．（4分） （3）解：设点，其中， 四边形为正方形， 且， 点可由点绕点顺时针旋转得到， 点，点， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得（舍去）或， ，． 正方形对角线互相平分， 对角线与的中点重合， 的中点坐标为， ，， 解得，， 存在点，其坐标为．（6分） （4）解：点是点关于直线的对称点， 直线是线段的垂直平分线， 直线经过原点， ， ， ， 设，其中， 由勾股定理得， ， 设，则， ， 解得或， 或， 或（均满足）． 当时，，设， 点在直线上， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 是等腰三角形， ， 若，则， 此时，与三角形内角和为矛盾， ，， ， 在中，由勾股定理得， ，且， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 当时，，设， 同理，由得， ， 同理，为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 综上所述，符合条件的点的坐标为，，，．（8分） 27．（8分） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用菱形的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算即可； （2）①先求得，在上取一点E，使，连接，进而可证，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形是正方形，设，，再得到的坐标，结合都在反比例函数的图象上，进而得到，再代入求即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，，，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ， ， ， 即该菱形的“相近度”为；（4分） （2）①， ，， 如图，在上取一点E，使，连接， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，即该矩形的“相近度”为；         （6分）      ②如图，连接交于点E，延长交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ， ∴四边形是正方形， ， 设，， 轴， ． 都在反比例函数的图象上， ， 解得． ， ， ． 在反比例函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ， ．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵ ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限 2．反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点 ∴ 将代入函数解析式得 3．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】反比例函数中，根据点在函数图象上的判定，反比例函数的象限分布和增减性，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵反比例函数， ∴当时，，故A错误； B、∵， ∴反比例函数图象位于第一、第三象限，故B错误； C、∴在每一象限内，随的增大而减小， ∵，两点都在第三象限， ∴，故C正确； D、若，，满足， 此时，， ∴，不符合，故D错误． 5．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 6．如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义，的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意可知， ∴，即， 又∵反比例函数的图像在二、四象限， ∴，即． ∴反比例函数的解析式是． 7．若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，将各点横坐标代入函数解析式求出对应y值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在的图像上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于点，作轴于点，容易证明四边形是矩形，则，，，结合题干可证明，则，，因此四边形是正方形．利用正方形的性质和、的值可计算出，则点，代入求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， 又∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．若点在的图象上，则______． 【答案】 【分析】将点代入解析式变形即可得到的值． 【详解】点在的图象上， 将代入函数解析式得，得． 10．已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，再结合反比例函数的性质得到函数值随自变量的变化规律，最后根据自变量的大小关系比较函数值大小. 【详解】解：∵，， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点，都在第一象限，且， . 11．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 12．一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图象如图所示，则_________ 【答案】 【分析】由图象可得，当时，，代入关系式，即可求解． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴， ∴． 13．如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，得到，然后利用反比例函数系数k的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵轴，轴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵轴于点A， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 15．已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出与，代入已知等式化简计算，即可求出的值． 【详解】解：点，是反比例函数图象上的点， ，， 变形得，， 将上述结果代入得， ， ， 解得， 经检验符合题意． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据轴，，得出四边形是矩形，根据矩形的性质及，设，则，，根据点在反比例函数的图象上得出，，根据列方程求出的值即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 17．已知过原点的直线与一个反比例函数的图象交于点，，且，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性，可知过原点的直线与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，由此得到点坐标与点坐标的关系，再代入已知等式，结合反比例函数系数的意义求出的值，即可得到反比例函数表达式． 【详解】解：设该反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象关于原点中心对称， 过原点的直线与反比例函数图象的交点关于原点对称， 已知交点为，， 可得，， 点在反比例函数图象上， 满足，整理得， 将，代入， 可得， 整理得， 解得， ， 该反比例函数的表达式为． 18．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 【答案】 【分析】延长，交于点，设，则，把、、的面积用含的代数式表示出来，根据列方程求出的值． 【详解】解：如下图所示，延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 得：， ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在函数图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：把代入， ∴， ∴解析式为.（3分） （2）解：当时，， ∴点在图象上.（6分） 20．（6分）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时， 求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设，依题意得 ，解得． （3分） （2）解：当时，（6分） 21．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为．（3分） （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ．（6分） 22．（7分）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为；（3分） （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为．（7分） 23．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出，得到反比例函数的解析式为，继而求出，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，即可解答； （2）根据图象进行求解即可； （3）先求出，设，得到，再根据的面积为3，得到，求出或，则将点的坐标为或，即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为． 把点代入，得 ， ． 把，代入，得 ，解得． ∴一次函数的解析式为．（2分） （2）解：由图象可知，当时，不等式的解集为或；（4分） （3）解：在直线中，令，则， ， 设， ， ∵， ∴点A到x轴的距离为2， 的面积为3， ． ． 或． ∴点的坐标为或．（7分） 24．（8分）如图，的顶点A，B分别落在y轴正半轴，x轴正半轴上，轴，轴，反比例函数的图象经过点C． (1)若，，求k的值； (2)若， ①请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） ②若①中所作的垂直平分线分别与，交于P，Q两点，求证：． 【答案】(1) (2)①线段的垂直平分线如图所示： ②证明：连接， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据题意， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据已知可得点C的坐标为，再根据反比例函数的图象经过点C，即可求k的值； （2）①分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为线段的垂直平分线； ②连接，根据垂直平分线的性质得，则，进而可得，，则，再根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴；（4分） （2）略（8分） 25．（8分）【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下表格的数据： … … … … (1)填写：______，______； 【探究观察】 (2)根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息， ①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象； ②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) ①如图， ②的值随着的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】根据关系式解答即可求解； ①根据表格数值列表、描点、连线即可；②根据函数图象解答即可； 画出一次函数的图象，求出交点横坐标，再根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得， 经检验符合题意， ∴；（2分） （2）解：①略；（4分） ②由图象可知，的值随着的增大而减小；（6分） （3）解：画一次函数函数的图象如下： 解得，, 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为．（8分） 26．（8分）如图①，一次函数与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． (1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； (2)的面积为 ； (3)点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； (4)直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 【答案】(1)，； (2)16； (3)存在，； (4)，，，． 【分析】(1)将点代入反比例函数可求，再利用及点在反比例函数图象上求出点坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． (2)求出直线与轴的交点，利用求解． (3)由正方形可知且，将点绕点旋转得到点，结合点、均在反比例函数上建立方程求解． (4)由轴对称性质可知直线是线段的垂直平分线，又直线过原点，故，据此求出点的坐标．再由在上得，从而为等腰三角形，利用等腰三角形性质与三角形内角和可判定直角顶点只能为，最后用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为． ，且， 设点，则， ， 设，则， ， 解得或， 或（均取正值）， 对应点， 点的坐标为． 一次函数的图象过点和， ， 解得， 一次函数的关系式为．（2分） （2）解：设直线与轴交于点， 在中，令，得， ，即， ， ， ， ．（4分） （3）解：设点，其中， 四边形为正方形， 且， 点可由点绕点顺时针旋转得到， 点，点， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得（舍去）或， ，． 正方形对角线互相平分， 对角线与的中点重合， 的中点坐标为， ，， 解得，， 存在点，其坐标为．（6分） （4）解：点是点关于直线的对称点， 直线是线段的垂直平分线， 直线经过原点， ， ， ， 设，其中， 由勾股定理得， ， 设，则， ， 解得或， 或， 或（均满足）． 当时，，设， 点在直线上， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 是等腰三角形， ， 若，则， 此时，与三角形内角和为矛盾， ，， ， 在中，由勾股定理得， ，且， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 当时，，设， 同理，由得， ， 同理，为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 综上所述，符合条件的点的坐标为，，，．（8分） 27．（8分）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形的对角线的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用表示，即“相近度”，若，求该菱形的“相近度”； (2)如图2，已知矩形的对角线相交于点O，设的长分别为m，n（），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形的顶点分别在反比例函数和的图象上，轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用菱形的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算即可； （2）①先求得，在上取一点E，使，连接，进而可证，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形是正方形，设，，再得到的坐标，结合都在反比例函数的图象上，进而得到，再代入求即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，，，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ， ， ， 即该菱形的“相近度”为；（4分） （2）①， ，， 如图，在上取一点E，使，连接， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，即该矩形的“相近度”为；         （6分）      ②如图，连接交于点E，延长交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ， ∴四边形是正方形， ， 设，， 轴， ． 都在反比例函数的图象上， ， 解得． ， ， ． 在反比例函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ， ．（8分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 2．反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 3．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 5．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 7．若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．若点在的图象上，则______． 10．已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 11．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 12．一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图象如图所示，则_________ 13．如图，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点，交轴于点.若四边形的面积是12，那么反比例函数表达式中的值为_____． 14．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 15．已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为______． 17．已知过原点的直线与一个反比例函数的图象交于点，，且，则该反比例函数的表达式为________． 18．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 20．（6分）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时， 求y的值． 21．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 22．（7分）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 23．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 24．（8分）如图，的顶点A，B分别落在y轴正半轴，x轴正半轴上，轴，轴，反比例函数的图象经过点C． (1)若，，求k的值； (2)若， ①请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） ②若①中所作的垂直平分线分别与，交于P，Q两点，求证：． 25．（8分）【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下表格的数据： … … … … (1)填写：______，______； 【探究观察】 (2)根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息， ①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象； ②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 26．（8分）如图①，一次函数与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． (1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； (2)的面积为 ； (3)点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； (4)直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 27．（8分）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形的对角线的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用表示，即“相近度”，若，求该菱形的“相近度”； (2)如图2，已知矩形的对角线相交于点O，设的长分别为m，n（），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形的顶点分别在反比例函数和的图象上，轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $