辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下学期6月练习数学试卷

2025—2026学年度（下）高一 数学练习试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．（ ） A． B． C． D． 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 3．已知向量，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，若，，，则角（ ） A．或 B． C． D． 5．将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．如图扇形，圆心角，D为半径中点，，把扇形分成三部分，这三部分绕旋转一周，所得三部分旋转体的体积，，之比是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若方程的解为，（），则（ ） A． B． C． D． 8．已知，是单位向量，且，的夹角为，若（），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A． B． C． D． 10．两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的有（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递减 D．图象的对称轴为直线（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知A，B，C三点在球O的球面上，，，，球心O到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是________． 13．如图，在河岸上测量河对面A，B两点间的距离，测得，，，，，则________． 14．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若的面积，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台的表面积； （2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求和c的值； 17．已知函数（）． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期． 18．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为； ①已知E为的中点，且，求底边上中线的长； ②求内角A的角平分线长的最大值． 19．由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量，分别为数轴，正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”． （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由； （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数． ①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围； ②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度（下）高一数学练习试题答案 题号1 、2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D AC BCD ABC 13、2√5 14、8 15.(1)如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取RG,BC中点M,N,连接OM,ON,MN, 过点M作MH⊥ON,交ON于点H. 0=MI =15cm,OM 5cm,ON =10cm,HN =5cm. 所以MN=VMH2+HN2=V52+53=5Ocm·-4分 所以四棱台的表面积S=102+202+4×,×10+20)×50=500+300W0(cm2)-一6分 B (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台OO的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高。 则圆台O0,上底面圆半径为O,Q=5cn,下底面圆半径为OP=10cm,-8分 高00=15cm,则圆台0，的体积为K=兮x+102+5x10)x15=875xcm.-10分 又正四棱台的体积y=102+202+102x20]x15=3500(cm) ，-11分 3 所以削去部分的体积，=3500-875x(cm), -12分 所以削去部分与圆台的体积之比为3500-8751_4-元 -13分 875元 16.【详解】(1)已知a=4,b=6,c=8,由余弦定理得： c054-6+c2-a2.36+64-16.847 -2分 2bc 2×6×8968 因为Ae(0,)所以山同角三角函数关系得：$inA=-cosA= 图4分 AABC的而积5-be sin=×6x8x5-35…6分 2 8 (2)由正孩定理 m4sn日且B=2M,sinB=sh2A=2sin4cas. b 代入得4 si加A2 sin Acos'约去sin才(si加A≠0)，解得cosA= 6 d ，一9分 则cosB=cos2A=2cos2A-1=2× 1 10分 由余弦定理g=的+d2-2ac6eos4,代入g=4,b=6,cosA=月 得：16=36+c2-2×6xc×子整理得c2-90+20=0.解得c=5或c=4.-13分 当c=4时，a=c=4,则4=C,B=2A=44C,即8= 时m80r开福，合当=5时m8.2-精合是 2ac 意：故c=5.15分 1.【详解1a)因为/a儿)-小cof2as2snr-lcos子o2ar+s血i手n2 ac2as 2 ，3分 当0=时.间=m(-引则0=m（引-方4分 令-+2a≤x-s+2akeZ,解得-于+2axs行+2ke 所以刊的单调递增区间为[行2点子2ke工：一7分 所以2ar-名[2引 6L636 因为在区同 上单调递增，且w>0,y=sin1在区问 上单调递增 2anππ 所以 3 62 解得0<ms1 -10分 又0+/（得）-0，儿)在区间[0引上单调递增 所以曲线/)关于（侣0对称。 -12分 且点（合在曲线的适增部分上则合）-引-0 义)在x=音处单调端增。所以0-名=2，=工，解得0=+12k,ke乙， 又0c@51,所以四=1，则/)=动2x-引： --14分 所以厂()的最小正周期为 2 =元-15分 B【详解】D由正弦定理0a--即c+6日-。bc,-2分 c 2 故c0sA= 4-a2c 1 -3分 2bc 因为cosA>0,所以A0,,4分 所以油4w29 3 5分 2)@由)知血A=2号，因为ABC的面积为5反。 所以之bcsm5反，解得6c=16,且b+c=8,解得h-c=4,-一-7分 由于正=丽+C列，所以 正=丽+C+2西网-：+8+2cs-司+8+号的 -616+16-16=号所以网号.网-45 -10分 ②因为AD为角A的角平分线，所以sm∠BMD=血∠CMD=im2 由于5e+5c=5k,得到时h0 ei子+h0b血子cm=cmo子 22 由于s含0，所40(c+创-2cos子-13分 由二倍角公式得c0sA=2c0s2-1,则2c0S2-1= 2 解得ca子6， 3 又bc=16,-15分 所以40G+0)=w号=2x6s5路5，由于0eG-,当且仅当b-6=4时. 等号取得到， 放y5-hte+bj22瓜ka-a,放40s4S -17分 19.【详解】(1)不正确 证明：因为G,马分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以1gH51,5-os60- 因为ā16，所以a6=0,即(9+)(x+码)=0， 则有5名+46+5g+州气吗=码+%+行+行=0， 所以ā1石”的充要条件是码+%奶+气%+乞%=0， 所以“a⊥"的充要条件是”x书+丛=0”是不正确的.5分 (2)因为向量a,6的完美坐标"分别为[2sinx,,[2cosx,, 由1)知a6=5+X%+与5%*). 所以f(x)=a-6=4 sinxcosx+1+二(2sinx+2cosx) =2sin2x+sinx+cosr+1. 令1=r+eoa,则l=nr+=in（+ 因为引所以x+任)则e啡同， =(sinx+cosx)?=sin'x+2sinxcosx+cos'x=1+sin2x, 即sin2x=2-1, 所以f()=22-)+1+1=2r+1-11e,], 己知(x)ssm2x恒成立，即k(22+1-)s2-1对1∈]恒成立 因为1,2]时，2+4-1>0，所以k≤2+ 品广合二光品啡同m 令0=分宁立1（可0单澜路， 当ie0÷ 所以k≤上巨，即实数k的取值范围是 -11分 F(x)=f(x)+a(sinx+cosx)=2sin2x+sinx+cosr+1+a(sinr+cosr) =2sin2x+(a+1)(sinx+coax)+1, 令u=sinx+cosr, 则u=snr+cosr=sin+) 因为[引所以+[普则反。 =(sinr+cosx)'=sin'x+2sinrcosx+cos'x=1+sin2x, 即sin2x=w2-1, 则G)=22-1+6+1+1=22+6+1-1,“e[-2,2] 因为ur+or-}周引 所以当u=2或-反时，方程u=sinr+cosx有1个根，当ue(-反，-J]时，方程u=sir+cosx 对应2个根，当u∈(-l,)时，方程u=sinx+cox对应1个根，当u∈[l,)时，方程 u=sinr+cosr对应2个根， 令G(u)=0,可得223+(a+1)u-1=0, 因为△=e++8>0,所以方程有2个不等实根，又4%-宁0， 不妨设4(0,4)0，又因为u=0不满足方程， 所以可得a+11-2心。-24+ 1 令m(u)=-2+上.则函数在[-反，0)和0，]上单调递减。 如图， 32 y=ni(u) =a+1 0 -32 2 由题意，可知 ①y=a+1与函数y=m(a)图象两支都相交，且交点横坐标分别在4c(-1,0),4e(0,), 所以-1<a+1<1,解得-2<a<0: @4=-反-豆，满足题意，此时a135。g3柜6 4 2 2 @4=是=，满足题意，此时8+19与839 2 2 9小tao9 分