精品解析：广东省东莞市南城区御花苑外国语学校2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分（含卷面5分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 3. 下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各点中，在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 骑摩托车， 骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；② 行驶了用了；③ 比晚出发 ；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①④ D. ①③④ 10. 如图，正方形 的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 二、填空题（11-15每题3分，共15分） 11. 最简二次根式能与合并，则________． 12. 如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么_____ ． 13. 如图，矩形 的对角线， 相交于点O， ，，则矩形的对角线长为_____． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若 ，则菱形的周长是_______． 15. 如图，在四边形 中， ，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 三、解答题（一）（共3小题，16题8分，17，18题每题6分，共20分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形 中，E、F分别是 的中点，求证：四边形是平行四边形． 18. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，下表是小明记录的部分数据： 供水时间t（ ） 0 1 2 3 4 … 水位读数h（） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … （1）水位读数h（）与供水时间t（ ）的关系式为______； （2）若供水时间为，水位读数为______； （3）若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 四、解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分） 19. 如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 20. 如图，在中，D是边 上一点，E是边的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和点A到边的距离． 21. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为 ，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（ ）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米 元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 四、解答题（三）（共2小题，22题12分，23题14分，共26分） 22. 【问题情境】在矩形纸片 中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到 ，并展开铺平． 【操作探究】 （1）如图1，若点M落在边上，则四边形 的形状是_________． （2）若点M落在矩形内部（包含在边上）． ①如图2，过点B作 ，垂足为H，交于点F，连接，证明：四边形 是菱形． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 23. 根据要求解决问题： （1）【新知探究】 对于正数a、b，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： a，b的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的________； ②根据表格，猜想________（比较大小） （2）【理解应用】 ①已知，，当________时，代数式取得最大值是________； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． （3）【拓展提升】 如图2，已知正方形 的边长为4，P为边上的动点，交 于E，过点E作 交边于点F，连交 于点G，求 面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分（含卷面5分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 若二次根式有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴的被开方数满足， 解不等式得 ． 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数是满足的三个正整数，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵勾股数的定义为：三个正整数，若满足，则这组数是勾股数． 选项A中，均为正整数，且，满足定义，故A是勾股数． 选项B中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项C中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项D中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 3. 下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定， ∴不容易变形的是：D． 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：∵函数的定义要求对于自变量 x 的每一个确定的值，函数值 y 都有唯一确定的值与其对应 ， ∴在图象上，作垂直于 x 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象表示y是 x 的函数； A. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； B. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； C. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； D. 对于每一个 x 的值，都有唯一的 y 值与之对应，故 y 是 x 的函数，符合题意． 5. 下列各点中，在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断点是否在函数的图象上，只需将点的横坐标代入解析式，若计算得到的值与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上，否则不在． 【详解】解：选项A，把代入，得，不在函数图象上； 选项B，把代入，得，不在函数图象上； 选项C，把代入，得，与点的纵坐标相等，在函数图象上； 选项D，把代入，得，不在函数图象上． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 7. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由即可得到点A表示的实数． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∵， ∴ ∵点在原点的左边， ∴点表示的实数是． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和 轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点 的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点 的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 9. 骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间 （）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发 ；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点 和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发 ，故③错误； 由图象可知，的图象经过点 和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 10. 如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，得到，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意知， ， ， ， ∴，即菱形的边长为． 二、填空题（11-15每题3分，共15分） 11. 最简二次根式能与合并，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式能与合并， 与是同类二次根式， ， 解得． 12. 如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么 _____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． 根据n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：∵n边形的内角和可以表示成，外角和为，n边形的外角和是内角和的一半， ∴， 解得． 故答案为：6． 13. 如图，矩形的对角线 ，相交于点O， ，，则矩形的对角线长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据矩形的性质推出，，结合已知 ，证明为等边三角形，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若 ，则菱形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．熟练掌握菱形的性质，中位线是解题的关键．由题意可得是的中位线，则 ，根据菱形的周长为，计算求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 点为对角线 的中点． 又点是边的中点， 是的中位线． ． 菱形的周长为． 15. 如图，在四边形中， ，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作于点，判定出四边形为矩形，结合两个图形，利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作于点， ∵ ，， ∴四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 由图形可得，， 由勾股定理得， ∴②的面积为． 三、解答题（一）（共3小题，16题8分，17，18题每题6分，共20分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平行四边形中，E、F分别是 的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵E、F分别是 的中点， ∴ ， ∴， ∵ ，即 ， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质及判定即可证明． 【详解】略． 18. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，下表是小明记录的部分数据： 供水时间t（ ） 0 1 2 3 4 … 水位读数h（） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … （1）水位读数h（）与供水时间t（ ）的关系式为______； （2）若供水时间为，水位读数为______； （3）若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格可知当时，，时间增加 ，水位上涨了，即可得出关系式； （2）将代入关系式可得答案； （3）将代入关系式可得时间，进而得出答案． 【小问1详解】 解：根据表格可知：当时，，时间增加 ，水位上涨了， ∴； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：在中， 令，得， 解得， ∵本次实验开始记录的时间是上午， ∴水位读数为时是． 四、解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分） 19. 如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； 【小问2详解】 解：设， ∴， 在 中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 20. 如图，在中，D是边上一点，E是边 的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和点A到边的距离． 【答案】（1）证明：∵E是边 的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）；点A到边的距离为 【解析】 【分析】（1）由E是边 的中点，，可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）过点A作 于点G，由题意可求得，由勾股定理求得，再利用面积关系即可求得点A到边的距离． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：过点A作 于点G，如图， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴, ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴, 即点A到边的距离为． 21. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为 ，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米 元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 【答案】（1）见解析 （2）元 （3）见解析 【解析】 【分析】（）先算并与比较，依据勾股定理逆定理证为直角三角形，得； （）先用勾股定理逆定理证为直角三角形，再把阴影面积拆为与的面积和计算，最后乘单位造价得总费用； （）方案一直接算边长和求费用；方案二设未知数，借勾股定理求线段长，算得费用后对比，选择费用更低的方案． 【小问1详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴费用为（元）． 【小问3详解】 解：方案一：， （元）， 方案二：设，则， ∴， 解得， ∴， ∴费用为（元）， ， ∴选择方案二． 四、解答题（三）（共2小题，22题12分，23题14分，共26分） 22. 【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到 ，并展开铺平． 【操作探究】 （1）如图1，若点M落在边上，则四边形 的形状是_________． （2）若点M落在矩形内部（包含在边上）． ①如图2，过点B作 ，垂足为H，交于点F，连接，证明：四边形 是菱形． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）①证明：如图，连接， 由折叠的性质 ，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即四边形 是菱形； ② ；理由如下： 由折叠知 ， ， ∵E，F为边的三等分点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ， 即线段与的数量关系为 ； （3）或5 【解析】 【分析】（1）由矩形及折叠的性质得四边形 是矩形，再结合折叠的性质得四边形 是正方形； （2）①连接，由折叠的性质易得 ，由线段垂直平分线的性质得 ，再由等腰三角形的判定证明 即可证明结论； ②由折叠的性质、等腰三角形的性质可得四边形是平行四边形，得 ，即可得线段与的数量关系； （3）分三种情况考虑，利用折叠的性质、等腰三角形的性质及勾股定理即可完成． 【小问1详解】 解：在矩形纸片中， , 由折叠知 ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∵ ， ∴四边形 是正方形； 【小问2详解】 ①略； ②略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴ ，四个内角均为直角， 由折叠知， ， 如图，当 时，过点M作于点G，交于点F， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得：， 解得， 即； 当 时，如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴点M在上， 由（1）知，四边形 是正方形， ∴ ； 当 时， 如图，连接 ， 由勾股定理得， 而 ， ∴ ， ∴不可能等于； 综上，或5． 23. 根据要求解决问题： （1）【新知探究】 对于正数a、b，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： a，b的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的 ________； ②根据表格，猜想________（比较大小） （2）【理解应用】 ①已知，，当________时，代数式取得最大值是________； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． （3）【拓展提升】 如图2，已知正方形的边长为4，P为边上的动点，交于E，过点E作 交边于点F，连交于点G，求 面积的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①，100；② （3） 【解析】 【分析】（1）①根据几何平均数的定义求；②根据表格猜想结论即可； （2）①观察表格发现，当时，；当 时，，据此可得当时，代数式取得最大值，即可得解；②由勾股定理可得，则，当时，最大，最大值为18，即可得解； （3）连接 交于，连接，根据正方形和等腰三角形的性质，推出 ，根据可知，当 时，最小，此时是的垂直平分线，过作于，过作于，根据角平分线的性质，设，则，根据的长列方程得出，即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意可得：； ②根据表格猜想：； 【小问2详解】 解：①观察表格发现，当时，；当 时，； 当时，代数式取得最大值， 时，最大值为100； ②在中，，， ， ， 当最大，则 最大， ，， 当时，最大，最大值为18， 周长的最大值为：； 【小问3详解】 解：如图，连接 交于，连接， 由正方形的对称性可得：，， 正方形的边长为4， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当 时，最小； 此时是的垂直平分线， ，， ∴， ∵， ， ， 过作于，过作于，则， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 面积的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $