精品解析：广东惠州市惠城区八校2025-2026学年第二学期期中综合素质训练 八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期期中综合素质训练 八 年 级 数 学 试 卷 注意事项： 1．全卷共6页，五大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置，写在试卷上无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 3. 在中，的度数比值可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是(　　) A. ＝﹣3 B. (﹣)2＝2 C. ÷＝2 D. ＝±4 5. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形 6. 如图所示，在数轴上点 所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形纸片中， ， ，把纸片沿直线折叠，点B落在E处，交于点F，若 ，则 的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 9. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则（　　） A. 15° B. 28° C. 30° D. 45° 10. 如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线 ，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12. 一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 13. 如图，中，，中线，则的长度是______． 14. 若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为__________． 15. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 18. 如图，在中，，． （1）用尺规作图法作边上的垂直平分线，交于点，交于点 ，连接保留作图痕迹，不写作法； （2）在（1）的条件下，若 ，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 20. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； （2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 21. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接 ，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽， 村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且 、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥 ，使得从 到 ，过桥 ，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下梯形且，取 、的中点M、N，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系． 写出结论 ，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，M、N分别是 、的中点，，求梯形的面积． 23. 正方形中，点E，F分别为 ， 上的动点，连接 ， ． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若F为的中点，过D作，垂足为N，交于M，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点C作于H，交 于点G，若正方形的边长为4，直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中综合素质训练 八 年 级 数 学 试 卷 注意事项： 1．全卷共6页，五大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置，写在试卷上无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式需满足两个条件1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数含分母，不是最简二次根式； B．的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C．同时满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； D．，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项：三边长为，，， ，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 在中，的度数比值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质． 根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，判断角度比值是否符合． 【详解】解：平行四边形中，，即对角相等． A、，不满足，不符合； B、，不满足，不符合； C、，不满足，不符合； D、，满足，符合平行四边形角的性质，是可能的度数比值． 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是(　　) A. ＝﹣3 B. (﹣)2＝2 C. ÷＝2 D. ＝±4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算进行解答得到答案． 【详解】A. ，错误； B. （﹣）2=2，正确； C. ，错误； D. ，错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，仔细检查是关键. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不正确； 选项B，矩形的对角线相等但不一定垂直，故不正确； 选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不正确； 选项D，四边相等的四边形是菱形． 故选D． 6. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 7. 如图，矩形纸片中， ， ，把纸片沿直线折叠，点B落在E处，交于点F，若 ，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在 中，利用勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， 在 中，， ∴． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 9. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则（　　） A. 15° B. 28° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】由于四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到 ，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ， 是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题 10. 如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示： ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 12. 一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 【答案】##九 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，解题思路为先根据邻补角的性质求出正多边形的一个外角度数，再利用多边形外角和定理计算边数． 【详解】解：正多边形的一个内角是， 它的一个外角是：， 多边形的外角和为 ， 这个正多边形的边数是：． 13. 如图，中，，中线，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求出，再由勾股定理可得． 【详解】解：∵中，中线， ∴， ∴． 14. 若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 18. 如图，在中，，． （1）用尺规作图法作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接保留作图痕迹，不写作法； （2）在（1）的条件下，若 ，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作 的垂直平分线即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，则，再计算出，然后根据含 度的直角三角形三边的关系计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分 ， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交 于点，先证明四边形是平行四边形，即可得的值，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，延长交 于点， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得． 20. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； （2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作 于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：； 【小问2详解】 解：如图，过点A作 于D， 设，则， 在中， 在中，， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：（m）， ∴， ∴该实验基地的面积为． 21. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥 ，使得从到 ，过桥 ，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC， 于D，，设 ，则，，易证 ；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造， 于D，， 设 ，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下梯形且，取、的中点M、N，连接 ，则 叫梯形的中位线，探索 与和的关系． 写出结论 ，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，M、N分别是、的中点，，求梯形的面积． 【答案】[探究学习]：且，证明见解析；[学以致用] 【解析】 【分析】[探究学习] 连接并延长交延长线于F，易证，则可得，因此 是的中位线．根据三角形的中位线的性质可得且 由此可得且． [学以致用] 由梯形的中位线的性质可得，过点D作于点G，根据三角函数的定义求出的长，最后再根据梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】[探究学习] 连接并延长交延长线于F， 梯形且， ， 是的中点， ， 又， ， ， 又M是的中点， 是的中位线， 且 ， 且． 故结论为：且． [学以致用] 、N分别是、的中点，， ， 过点D作于点G， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及梯形的面积公式，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，灵活运用转化的思想解决问题是解题的关键． 23. 正方形中，点E，F分别为， 上的动点，连接， ． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若F为的中点，过D作，垂足为N，交于M，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点C作于H，交于点G，若正方形的边长为4，直接写出 的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）延长到，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明结论； （3）延长，相交于点 ，延长，相交于点，连接，证明，得出，同理得：，证明，说明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理求出，，证明，求出，最后根据等积法，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，垂足为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长，相交于点 ，延长，相交于点，连接，如图所示： 由是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由是的中点，同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在 中， ，， ∴根据勾股定理得：， ， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $