精品解析：广东佛山市三水区2025-2026学年第二学期八年级中段知识素养检测数学试题

三水区2025—2026学年第二学期八年级中段知识素养检测 数学科试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在 中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 2. 某长方形草地中需修建一条等宽的小路（阴影），下列四种设计方案中，剩余草坪面积最小的方案是（ ） A. B. C. D. 3. 不等关系在生活中广泛存在．如图是两位同学分别站在地面、台阶上的情形．两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变 B. 不等式两边都减同一个整式，不等号的方向不变 C. 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变 D. 不等式两边都除以同一个正数，不等号的方向不变 4. 在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（ ） A. 顺时针旋转，向右平移至最右侧 B. 逆时针旋转，向右平移至最右侧 C. 顺时针旋转，向左平移至最左侧 D. 逆时针旋转，向左平移至最左侧 5. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 一个等腰三角形中，其中一个角的度数是另一个角的4倍，它的顶角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（ ） A. 横、纵坐标分别乘 B. 横坐标不变，纵坐标分别加 C. 横坐标分别乘，纵坐标分别乘 D. 横坐标加 ，纵坐标分别乘 8. 如图， 中， ，，将 折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（ ） ① ； ② 垂直平分； ③ 是等边三角形； ④ ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在课堂上，陈老师发给每人一张印有 （如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（ ） A. 小赵同学作图判定的依据是 B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C. 小刘同学作图判定的依据是 D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 10. 已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图在网格中，由 旋转得到，其旋转中心是点_________． 12. 如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是_______． 13. 点与点关于原点成中心对称，则_________． 14. 小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积（单位：）的范围是________． 15. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 16. 如图，在 中，，点 是 上一点，，，且，则点 到 的距离为__________． 三、解答题（17-20题每题6分，21-23每题8分，24-25每题12分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 18. 如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 19. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 20. “三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，求 度数． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上．完成以下问题： （1）画出 关于x轴对称的，并写出的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出的坐标． 22. 小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量n（单位：个）与叠放在一起的凳子的总高度h（单位：）的关系如表： 凳子的数量n 1 2 3 4 … 叠放的凳子总高度h 45 50 55 60 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）判断叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合什么函数关系？请用待定系数法求h与n的函数关系式； （2）若将该种凳子竖直叠放在层高不超过超市货架上，最多能叠放多少个？ 23. 如图，在 中，点E在上，， ，垂足为点D， 的周长为52，． （1）过点E作 于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若点F是边 的中点，求线段的长度． 24. 下表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费） （1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需______元，按方式二计费需________元； （2）王华某月按方式二计费需100元，求王华该月主叫通话时间． （3）请分析选取哪种方式更合算． 25. 综合与实践．情境： 是等边三角形，点D是直线 上一点（不与A，C重合），点E在射线上（不与B，C重合），且，连接． “兴趣小组”提出的问题是：探究 与的数量关系． 特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边 的中点时，请你直接写出线段 与的数量关系； 数学思考： （2）如图2，当点D是边 上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明： 类比延伸： （3）进一步猜想：当点D在 或 的延长线上时，仍存在使得线段 与的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明． （4）如图，点M在等边 的边上， ，与等边三角形外角平分线 所在的直线相交于点N，过N作 于D，请写出， ，的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三水区2025—2026学年第二学期八年级中段知识素养检测 数学科试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解： 与 的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“ 不小于 ”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 2. 某长方形草地中需修建一条等宽的小路（阴影），下列四种设计方案中，剩余草坪面积最小的方案是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积-小路的面积解答． 【详解】解：A、C、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长-小路的宽）×长方形的宽，而B方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等；本题判断出阴影部分的面积与梯形的面积相等是解题的关键． 3. 不等关系在生活中广泛存在．如图是两位同学分别站在地面、台阶上的情形．两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变 B. 不等式两边都减同一个整式，不等号的方向不变 C. 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变 D. 不等式两边都除以同一个正数，不等号的方向不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键． 根据题意得两位同学站在地面时，男生高于女生，则两位同学站在台阶上时，男生仍然高于女生，且结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：当两位同学站在地面时，男生高于女生， ∴当两位同学站在台阶上时，男生仍然高于女生， 不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变， 故选：A 4. 在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（ ） A. 顺时针旋转，向右平移至最右侧 B. 逆时针旋转，向右平移至最右侧 C. 顺时针旋转，向左平移至最左侧 D. 逆时针旋转，向左平移至最左侧 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查学生的观察能力，首先要知道平移和旋转的性质：平移和旋转的图形的大小和形状不变，可以以某个部分为观察点. 【详解】解：因为方块图形比矩形缺的部分靠左，所以要向右平移；方块图形中的下面突出的一个正方形在下面，而缺的图形的这个正方形在左，所以需要顺时针旋转90°. 故选:A. 5. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，三角板中的角度问题，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 首先求出，然后得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 6. 一个等腰三角形中，其中一个角的度数是另一个角的4倍，它的顶角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 利用分类讨论的思想，根据顶角和底角所占比值进行求解即可． 【详解】解：当较大的角为顶角时， 此时顶角度数为：； 当较大的角为底角时， 此时顶角度数为：； 所以，顶角为 或 ， 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（ ） A. 横、纵坐标分别乘 B. 横坐标不变，纵坐标分别加 C. 横坐标分别乘，纵坐标分别乘 D. 横坐标加 ，纵坐标分别乘 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移后的图形的大小和形状不发生改变是解题关键． 在平面直角坐标系中，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 个单位长度，若把各个点的纵坐标都加上（或减去）一个整数 ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 个单位长度，据此，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、横、纵坐标分别乘 ，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的 倍，则五边形的大小会改变，此选项不符合题意； B、横坐标不变，纵坐标分别加 ，这表示五边形在垂直方向向上平移了 个单位长度，这个过程中，五边形的大小和形状都不发生改变，此选项符合题意； C、横坐标分别乘，纵坐标分别乘 ，这种变换会使五边形在横纵方向都发生了变形，大小改变，此选项不符合题意； D、横坐标加 是五边形在水平方向向右平移 个单位长度，纵坐标分别乘 是五边形在垂直方向拉伸为原来的 倍，五边形的大小改变，此选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，中， ，，将折叠，使点B落在点A处， 为折痕，在下列结论中，正确的结论有（ ） ① ； ② 垂直平分； ③ 是等边三角形； ④ ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质可得， ，结合，证明 是等边三角形，即可判断③；证明 是 的平分线，进一步即可判断②；④易得 ，， ，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：①∵由 翻折而成， ∴ ，故结论①正确； ③∵ ， ∴， ， ∵， ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形，故结论③正确； ②∵ ，， ∴， ∴ ， ∴ 是 的平分线． ∵， ∴， ∴ 垂直平分，故结论②正确； ④∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故结论④正确． 9. 在课堂上，陈老师发给每人一张印有 （如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（ ） A. 小赵同学作图判定的依据是 B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C. 小刘同学作图判定的依据是 D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是 ，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 10. 已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是点_________． 【答案】P 【解析】 【分析】利用旋转的性质，即旋转中心到对应点的距离相等，其交点即为旋转中心． 【详解】解：连接 、、、、、，如图， 记网格长度为1， ， ， ， 又， 则 ， ， ， 绕点 顺时针旋转得到， 旋转中心是点 ． 经验证，点Q，点M，点N均不满足到对应点的距离相等． 12. 如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是_______． 【答案】R 【解析】 【分析】此题考查了杠杆和不等式的有关知识．根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可． 【详解】解：由图1可知：， 由图2可知：， ∴，， ∴， 由图3可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以 最重， 故答案为： ． 13. 点与点关于原点成中心对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，求出 和 的值，再代入计算即可 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ， ， 14. 小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积 （单位：）的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不超过 ，5个球排开水的体积超过 列出不等式组求解即可． 【详解】解：设一个球的体积为，根据题意，得： ，解得． 所以 的范围是． 15. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【解析】 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 16. 如图，在中， ，点 是上一点，，，且，则点 到的距离为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由 ，，可得，由，可求，如图，作 于，则点D到的距离为 ，由角平分线的性质可得． 【详解】解： ，， ∴，即， 又∵， ∴， 如图，作 于，则点D到的距离为 ， ∵，， ， ∴． 三、解答题（17-20题每题6分，21-23每题8分，24-25每题12分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤． （1）移项，合并同类项，两边都除以2即可求解． （2）移项，合并同类项，两边都除以即可求解． 【小问1详解】 解： 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得． 【小问2详解】 解： 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 18. 如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的定义求解即可； （2）利用中心对称图形的定义及轴对称图形的定义求解即可． 【小问1详解】 解：选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如图所示： 【小问2详解】 解：选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形且不轴对称，如图所示． 19. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】 ，见解析 【解析】 【分析】题目主要考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式的解集，先求出各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可，熟练掌握求不等式组的解集的方法解题关键． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组解集为： ． 解集在数轴上表示如图： 20. “三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，求 度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上．完成以下问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称变换作图： （1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接，并写出的坐标； （2）分别作出点关于原点O对称的点，然后顺次连接，并写出的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 的坐标分别为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 的坐标分别为． 22. 小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量n（单位：个）与叠放在一起的凳子的总高度h（单位：）的关系如表： 凳子的数量n 1 2 3 4 … 叠放的凳子总高度h 45 50 55 60 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）判断叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合什么函数关系？请用待定系数法求h与n的函数关系式； （2）若将该种凳子竖直叠放在层高不超过超市货架上，最多能叠放多少个？ 【答案】（1）符合一次函数关系， （2）11个 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）由每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，可得叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系；用待定系数法可得； （2）根据层高为得：，而n为整数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的， ∴叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系， 设，把，代入得：， 解得， ∴h与n的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， ∵n为整数， ∴n最大值为11， ∴最多能叠放11个． 23. 如图，在中，点E在上，， ，垂足为点D，的周长为52，． （1）过点E作 于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若点F是边的中点，求线段的长度． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图（过直线外一点作已知直线的垂线）和等腰三角形的性质；解题的关键是得到线段之间的等量关系，结合等腰三角形三线合一的性质求解线段长度． （1）根据尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法作图： （2）利用垂直平分线的性质，得出等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得出点 为 的中点，再利用条件三角形的周长进行求解即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：连接 ， 设，在（1）的条件下，点F是边的中点， ， ， ， ， 为 的中点， 的周长为52，， ， ， ． 24. 下表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费） （1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需______元，按方式二计费需________元； （2）王华某月按方式二计费需100元，求王华该月主叫通话时间． （3）请分析选取哪种方式更合算． 【答案】（1）60，80 （2） （3）当或时，选择方式一更合算；时，选择方式二更合算；当或 时，一样合算． 【解析】 【分析】（1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按“方式二”计费时主叫通话时间为 分钟， （2）根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元； 【小问2详解】 解：设王华该月主叫通话时间为 分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴； 【小问3详解】 解：当时，方式一费用为50元，方式二费用为80元，因此方式一省钱； 当时， ∵方式一计费方式二计费， ∴， ∴； 当时，一样合算； 当时， ∵方式一计费方式二计费， ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 当时，一样合算． 综上，当或时，选择方式一更合算；时，选择方式二更合算；当或 时，一样合算． 25. 综合与实践．情境：是等边三角形，点D是直线上一点（不与A，C重合），点E在射线上（不与B，C重合），且，连接 ． “兴趣小组”提出的问题是：探究与 的数量关系． 特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边的中点时，请你直接写出线段与 的数量关系； 数学思考： （2）如图2，当点D是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明： 类比延伸： （3）进一步猜想：当点D在 或的延长线上时，仍存在使得线段与 的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明． （4）如图，点M在等边的边上， ，与等边三角形外角平分线所在的直线相交于点N，过N作 于D，请写出， ，的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）证明：如图2，过点 作 ，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 在 和中， ， ， ； （3）证明：①当点D在 的延长线上时， 如图3，过点 作的平行线，交的延长线于点， 由（2）得 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ； ②当点D在的延长线上时， 如图4，过点 作的平行线，交的延长线于点， 由（2）得 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ； （4） 证明：如图，过作 交于， 由（2）得 是等边三角形， 也是等边三角形， ， ， ， ， 又 ， ， 是外角平分线， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ； ， ， ， ； ． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与 的数量关系； （2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明 和全等，由此可证明 ； （3）分当点D在 的延长线上与当点D在的延长线上这两种情况，添加辅助线得到等边 ，结合全等三角形的判定与性质即可得到与 的数量关系； （4）添加辅助线，证明 与 全等，由此可得 ，再由边的关系证明即可． 【小问1详解】 解： ， ∵是等边三角形，点D在边的中点， ∴ ， ，且平分， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $