精品解析：2025年湖南省娄底市涟源市中考三模数学试题

2025年湖南省初中毕业学业考试提分卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：由光的反射定律得：，， ， ， ， ， ． 故选：B． 2. 若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移方式可得出抛物线C2的解析式．再根据点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点（4，n）代入两个解析式求值即可． 【详解】将抛物线C1：向右平移m个单位长度后C2的解析式为：． ∵点（4，n）为“平衡点”， ∴点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ∴， 解得：（舍）或， 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象的平移和二次函数图象上点的坐标特征．理解题意，掌握“平衡点”的定义是解题关键． 3. 在平面直角坐标系 中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点 是点的等和点．已知：点，如、都是点的等和点．若点 在直线 上，点的等和点也是点 的等和点，则点 的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点P（2，－1）的等和点为（m，n），A（t，−t＋3），根据点的等和点也是点 的等和点列式计算即可． 【详解】解：设点P（2，－1）的等和点为（m，n）， ∴2＋m＝n－1， 设A（t，−t＋3），则点A的等和点为（m，n）， ∴t＋m＝−t＋3＋n， 解得：t＝3， ∴A（3，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 5. 定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断抛物线与直线无交点，再根据定义和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴抛物线与直线不相交， 设 ， ∵， ∴当时，w有最小值为， 即抛物线与直线的“完美距离”为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 6. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解． 【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数， ∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2-x+c=0， 由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①， 令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下： 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②， 联立①②并解得： 0＜c＜， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式． 7. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点，， 得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 在数轴上，点 表示的数是4，点 表示的数是0，点表示的数是．定义：点 在线段上，如果线段 的长度有最大值 ，则称 为点 与线段的“闭距离”．例如：，当点 与点 重合时，．若，则 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点 与点重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点 与点重合时，取得最大值， 故选：D． 9. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ） A. 266 B. 270 C. 271 D. 285 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可． 【详解】如图所示， ∵，， ∴， ∵ 上有31个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点， ∴边界上的格点个数， ∵， ∴， ∴解得． ∴内部的格点个数是271． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于 的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于 的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题 11. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 12. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 13. 如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式，连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，求出的长为，结合题意可得，作于，则，求出，由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、、， ， 由题意可得：，，， ∴、均为等边三角形，， ∴的长为， ∵“玫瑰三叶形”的周长为， ∴， ∴， 作于，则， ∴， 由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成， ∴“玫瑰三叶形”的面积为， 故答案为：． 14. 我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为 ，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率　 　．（参考数据：， 【答案】3.12 【解析】 【分析】求出正24边形的周长，再根据计算即可解决问题． 【详解】解：圆内接正二十四边形的周长， 则， 故答案为3.12 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于 的函数的图象上有两个“倍值点”，则 的取值范围是 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了函数的新定义问题，一次函数、反比例函数及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，根据“倍值函数”的定义逐一判断即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①当时，，方程无解， ∴函数不是“倍值函数”，故①错误； ②当时，， 解得或， 经检验，得或是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和，故②正确； ③当时，， 整理得，， ∵关于 的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③错误； 综上，说法不正确的序号为①③， 故答案为：①③． 16. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 17. 图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，木架高．按压点F旋转至点，抛杆EF绕点A旋转至，弹绳 随之拉伸至，测得，则抛杆的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于H，先证明四边形为正方形，然后证明，则，在中，由勾股定理求出 ，则由即可求解，． 【详解】解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18. 如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形 ，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数．如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则小正方形的边长为， ∴， 如图 ，，，，， ∴ ，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 21. 如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢 的宽，．卸货时，货厢绕点 处的转轴旋转．点 处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线 ，的交点 可视为货厢的重心，卸货时发现，当 ， 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故． （1）求 的长． （2）若．请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）该货车不会发生车辆倾覆事故，理由： 如图，过点 作，垂足为 ， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵， ∴该货车不会发生车辆倾覆事故． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形 为矩形，则，，通过所对直角边是斜边是斜边的一半可得，从而求解； （ ）过点 作，垂足为 ，则可求得，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形 为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线 上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线 于点E，作轴交直线 于点F，求E，F两点间距离的最大值； （3）如图2，连接 ，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】（1） （2） （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线 的表达式为，设点，则点，进而可表示出 ，求出 的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在 下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在 上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线 的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故 有最大值，当时， 的最大值为：， 则的最大值为：； 【小问3详解】 解：当点Q在 下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故 ； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在 上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 23. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，延长 到点，使得，点 在的延长线上，点是线段 上一点， 交于、交 于 ． （1）求证：是 的切线； （2）若，求证： （3）若，，，求 的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∴是 的切线； （2） 证明：∵，由（1）得是 的切线， ∴， 又∵， ∴，即， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由 是 的直径得，结合已知，推出 ，即可证明是 的切线； （2）根据，结合是 的切线，推出，根据 是 的直径，得出，结合已知，推出，证明，则，即可证明； （3）根据 是 的直径，得出，结合已知，证明，则，得出，计算求出 ，根据取舍，根据勾股定理计算，再得出 的半径，计算出 的面积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵ 是 的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ 的半径， ∴ 的面积． 24. 已知，正方形 中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． （1）如图1，当点E与点O重合时，求证：； （2）如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接 ，补全图形，并求出在旋转过程中 的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是正方形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）①， 如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形， ， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，取中点G，连接 ， 旋转过程中 的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当M，D重合时， 最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵，则， 又， ∴当取得最小值时 最小， ∴当E与点B重合时，F在上，此时N点与A点重合， ∴， 又， ∴， ∴旋转过程中 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省初中毕业学业考试提分卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 3. 在平面直角坐标系 中，对于点，若，则称点 为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点 是点 的等和点．已知：点，如、都是点 的等和点．若点 在直线上，点 的等和点也是点 的等和点，则点 的坐标（ ） A. B. C. D. 5. 定义：两个不相交的函数图象在平行于 轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 7. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是 的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 在数轴上，点 表示的数是4，点 表示的数是0，点 表示的数是．定义：点 在线段上，如果线段 的长度有最大值 ，则称 为点 与线段的“闭距离”．例如：，当点 与点 重合时，．若，则 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 9. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ） A. 266 B. 270 C. 271 D. 285 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于 的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题 11. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 12. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 13. 如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为_____． 14. 我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为 ，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率　 　．（参考数据：， 15. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于 的函数的图象上有两个“倍值点”，则 的取值范围是 16. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论： 是锐角 的高，则．当时， 的长为___________． 17. 图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，木架高．按压点F旋转至点，抛杆EF绕点A旋转至，弹绳随之拉伸至，测得，则抛杆 的长为______． 18. 如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形 ，连接 ，则_____． 三、解答题 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢 的宽，．卸货时，货厢绕点 处的转轴旋转．点 处的转轴与后车轮转轴（点 处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线， 的交点可视为货厢的重心，卸货时发现，当 ，两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故． （1）求 的长． （2）若．请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：，，） 22. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； （3）如图2，连接 ，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 23. 如图， 是的直径，点 是上一点，延长 到点，使得，点 在的延长线上，点 是线段上一点，交 于 、交 于． （1）求证： 是的切线； （2）若，求证： （3）若，，，求的面积． 24. 已知，正方形 中，点O是对角线 的中点，点E为 上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段 ，过点F作，交延长线于点N，交 延长线于点M． （1）如图1，当点E与点O重合时，求证：； （2）如图2，连接， ①用等式表示线段 与 的数量关系，并证明； ②若，取 中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $