精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市兴庆区银川景博学校中考前模拟数学试题

银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级三模考试 （试卷满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 五个有理数在数轴上的对应点E、F、G、H、M的位置如图所示，点F表示的数的相反数所对应的点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4. 不等式组的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到．则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 若a，b是方程的两个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 二、填空题（共8题，每小题3分，共24分） 9. 如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ___________． 10. 如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2=___度． 11. 根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入，时，则输出y的值是_______． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 如图，点B是反比例函数（）图象上一点，过点B作x轴的平行线，交轴于点A，点C是轴上一点，△ABC的面积是2，则=______． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，则 的周长为______． 15. 如图，， 是的切线，切点分别是A，B．若，则__________． 16. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为 ，则之间的距离是_________m．（取） 三、解答题 17. 计算．． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．（两题都要保留作图痕迹）． （1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； （2）图②中找出的外接圆的圆心O；并在圆上找点，使得最小． 20. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______， 的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 21. 水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 水量 17 32 47 77 （1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②，③，你认为选用函数_______（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的值； （2）应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 22. 如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，求的长； （3）通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 23. 如图，为直径， 是的切线，连接交于点，点为上一点，连接并延长交切线 于点，且 ． （1）求证：为的中点； （2）若 ，，求阴影部分面积． 24. 综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是_____． （2）作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． （4）拓展应用 若一次函数 的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 25. 如图，抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为． （1）求抛物线的表达式． （2）将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象． （3）过x轴上一动点作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N． ①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围； ②t取何值时，的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）． 26. 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A的对应点落在边上点D处，折痕为，若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接 ，交于点P，若，，求的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若，折痕，点A到折痕的距离为2，求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级三模考试 （试卷满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 五个有理数在数轴上的对应点E、F、G、H、M的位置如图所示，点F表示的数的相反数所对应的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由数轴可知，点F表示的数为 ，点H表示的数为，且和 是相反数， 则点F表示的数的相反数所对应的点是． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和完全平方公式分别计算得出答案即可． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项正确； D. ，故此选项错误. 故选：C． 【点睛】本题主要考查合并同类项以及积的乘方运算和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】Rt△ABC中，∠C=90°， ∴cosA=， ∵AC=4，cosA=， ∴， ∴AB=， 故选D. 4. 不等式组的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法． 【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1， 由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2， ∴数轴表示的正确方法为C． 故选：C． 【点睛】考核知识点：解不等式组. 5. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：B． 6. 二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出 的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即 ，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以 ，即 ，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 7. 如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到．则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，作、的中垂线，交于点，写出点坐标，即可解题． 【详解】如图，连接、，作、的中垂线，、的中垂线交于点， 由图知，点的坐标为． 8. 若a，b是方程的两个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共8题，每小题3分，共24分） 9. 如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ___________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据两点确定一条直线解答． 【详解】解：准星与目标是两点， 利用的数学知识是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 10. 如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2=___度． 【答案】30 【解析】 【详解】试题分析：∵AB∥CD，∴∠EFD=∠1=60°． 又∵FG平分∠EFD．∴∠2=∠EFD=30°． 11. 根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入，时，则输出y的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了程序运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握程序规则． 根据程序规则进行选择运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．根据方程根的情况可得，又进而可求解； 【详解】解∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 如图，点B是反比例函数（）图象上一点，过点B作x轴的平行线，交轴于点A，点C是轴上一点，△ABC的面积是2，则=______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|=2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值． 【详解】连接OB． ∵AB∥x轴，∴S△AOB=S△ACB=2，根据题意可知：S△AOB|k|=2，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交 于D，交于E，则 的周长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出的周长．先根据线段垂直平分线的性质求出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 故答案为：13． 15. 如图，， 是的切线，切点分别是A，B．若，则__________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据切线的性质得出和 为直角，最后利用四边形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接、， ， ， ， 是的切线， 、 ， ， 在四边形 中，， ． 16. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为 ，则之间的距离是_________m．（取） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算．． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是掌握分式的混合运算法则和因式分解．先将括号内的式子通分化简，然后将除法转化为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 当时，原式， ， ． 19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．（两题都要保留作图痕迹）． （1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； （2）图②中找出的外接圆的圆心O；并在圆上找点，使得最小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取格点D，连接，由网格的特点可得 ，则； （2）取格点E、F、G，连接 交于点O，连接交圆于点D，由网格的特点可得 ，则 为圆的直径，则点O为圆心，则点D即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】（1）①80；3；②180； （2）①92.2；②91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以， ；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； 【小问2详解】 解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案为：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 水量 17 32 47 77 （1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②，③，你认为选用函数_______（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的值； （2）应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 【答案】（1）②；； （2）①没有滴满；②2.7天 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练用待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，根据待定系数法求得解析式即可解答； （2）①将 代入函数解析式，即可解答； ②计算水龙头一天的漏水量，再除以成年人每天需要的饮水量即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，故选函数②， 把代入函数解析式可得， ， 解得， 水量与时间的解析式为， 故漏记的； 【小问2详解】 解：①将 代入函数解析式，可得， 在第30分钟量筒没有滴满； ②由题意知水龙头每分钟滴水为， 水龙头一天的漏水量为， 天， 答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用 天． 22. 如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿 分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，求的长； （3）通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明 ，得到，设 ，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是 的中点， ∴ 分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 设 ，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 23. 如图，为直径，是的切线，连接 交于点，点为上一点，连接并延长交切线于点，且 ． （1）求证：为的中点； （2）若 ，，求阴影部分面积． 【答案】（1）证明：∵为直径，是的切线， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，再证明 ，则由垂径定理可证明为的中点； （2）连接，设的半径为r，则 ，证明 ，得到，即，可求出，则，，解直角三角形得到，则，可得 ；解直角三角形得到，，则，根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 设的半径为r，则 ， ∵为直径，是的切线， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 由（1）得，为的中点， ∴， ， ∴， ∴ ． 24. 综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是_____． （2）作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． （4）拓展应用 若一次函数 的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则 的面积为_____． 【答案】（1） （2）①5，；②函数图象如下： （3）；和； （4） 【解析】 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可； （3）结合图象和平移的性质求解即可； （4）令一次函数 的图象与轴交于点，分别求出、、三点坐标，再利用三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 函数的自变量取值范围是 ； 【小问2详解】 解：①当时， ， 当时， ， 解得：，即； ②图象如答图； 【小问3详解】 解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和． 【小问4详解】 解：如图，令一次函数 的图象与轴交于点， 联立， 解得：，， ，， 令，则 ，解得：， ， ． 25. 如图，抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为． （1）求抛物线的表达式． （2）将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象． （3）过x轴上一动点作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N． ①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围； ②t取何值时，的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）． 【答案】（1） （2）先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；；图见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，根据平移后抛物线的顶点落在原点，确定平移规则即可，描点法画出函数图象即可； （3）①观察图象找到时的两个值，数形结合即可得出结果；②根据题意得到，得到，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； ∵平移后抛物线的顶点坐标为， ∴原抛物线先向左移动1个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可； 此时抛物线的解析式为； 画出图象如图： 【小问3详解】 解：①观察图象可知，当时，， 当 时，， 故当时，的长不大于1； ②由题意，， ∴， ∵的长不大于n（n为大于0的常数）， ∴， ∴， ∴. 26. 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A的对应点落在边上点D处，折痕为，若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P，若，，求的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若，折痕，点A到折痕的距离为2，求边的长． 【答案】 （1）证明：由折叠可知 ∵点E，F分别是的边的中点， ∴， ∴， ∴与均是等腰三角形， ∴折痕是的双等腰折痕； （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），由折叠可知，有，则问题可证； 对于（2），由题意知和均是等腰三角形，可得，然后可得，，过点E作于点M，进而求出，最后根据相似三角形的性质得出答案； 对于（3），由题意得四边形是菱形，连接，交于点H，过点F作于点N，则有，然后可得，进而可得，接下来根据是的双等腰折痕，可得与均是等腰三角形，可得，再说明 ，可得，然后求出，最后根据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的双等腰折痕， ∴和均是等腰三角形， ∵点E为的中点，且， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 由折叠可知：， ∴点F是 的中点， ∴， ∴． ∵， 根据勾股定理，得 ， ∴． 过点E作于点M， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于（3），由折叠可知， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 连接，交于点H，过点F作于点N， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的双等腰折痕， ∴与均是等腰三角形． ∵是的顶角， ∴． 在菱形中，， ∴ ， ∴， ∴． 过点D作于点R， ∴, ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的判定与性质，折叠的性质，三角形的中位线性质等知识，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $