1.4 培优课 立体几何中的综合问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　立体几何中的综合问题 1.已知点A（n，n－1，2n），B（1，－n，n），则｜｜的最小值为（　　） A.　　　　　 　　B.　　　 C.2　　　　 　　　D.不存在 2.如图1，将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，则直线AC与BD所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC，AB⊥BC，若棱C1C上存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，则＝（　　） A. B.1 C. D.2 4.已知点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则·的取值范围是（　　） A.［－1，－］ B.［－1，－］ C.[－1，0] D.［－，0］ 5.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点（包括端点），则（　　） A.对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1 B.当且仅当a＝b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 C.当且仅当a≥b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 D.当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 6.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是（　　） A. B. C. D. 7.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD夹角的余弦值可能为（　　） A.0 B. C. D.2 8.〔多选〕如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'，且平面A'DE⊥平面BCDE，连接A'B，A'C，则下列结论中正确的是（　　） A.BD⊥A'C B.BE到平面A'CD的距离为 C.BC与A'D所成角的余弦值为 D.直线A'B与平面A'CD所成角的正弦值为 9.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为　　　　. 10.如图，已知△ABC与△BCD所在平面垂直，且∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合.则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为　　　　. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点.要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F长的最大值为　　　　. 12.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CP＝λCC1（0＜λ＜1）. （1）当λ＝时，求直线AP与平面BB1C1C所成的角的正弦值； （2）是否存在λ，使平面APD1与平面ABCD的夹角的余弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 13.如图1，☉O的直径AB＝4，点C，D为☉O上的两点，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F为弧BC的中点.将圆沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直，如图2. （1）求证：OF∥平面ACD； （2）求平面ACD与平面ABD夹角的余弦值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　立体几何中的综合问题 1.B　因为点A（n，n－1，2n），B（1，－n，n），所以＝（1－n，－2n＋1，－n），所以｜｜＝＝＝.当n＝时，｜｜有最小值，为. 2.C　由平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面BCD，又DC⊂平面BCD，所以AB⊥DC，又DB⊥DC，过点D作z轴∥AB，建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝1，所以BD＝1，DC＝1，BC＝，则A（0，1，1），B（0，1，0），C（1，0，0），D（0，0，0），所以＝（1，－1，－1），＝（0，－1，0），所以｜cos＜，＞｜＝＝＝. 3.D　以点B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝1，BB1＝a（a＞0），则B（0，0，0），A1（1，0，a），P（0，1，λa），0≤λ≤1，所以＝（1，－1，（1－λ）a），＝（0，1，λa），又存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，所以·＝λ（1－λ）a2－1＝0，则λ2－λ＋＝0，故Δ＝1－＝0，可得a＝2，此时λ＝，所以＝2. 4.D　如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设P（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），·＝（－x，－y，1）·（1－x，1－y，0）＝x2－x＋y2－y＝（x－）2＋（y－）2－，因为0≤x≤1，0≤y≤1，所以当x＝，y＝时，·有最小值－，当x＝1，y＝1或x＝0，y＝0时，·取得最大值0，因此·的取值范围为［－，0］，故选D. 5.D　以D1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1（a，a，0），D（0，0，b），C1（0，a，0），设E（a，a，t）（0≤t≤b），所以＝（－a，－a，b），＝（－a，0，－t），所以·＝a2－bt，令a2－bt＝0，t＝，由0≤≤b得a≤b，所以当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1，故选项D正确. 6.D　如图，取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1E⊥A1B1，由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，取BE的中点F，连接AF，DF.∵D为BC1的中点，∴DF∥C1E，∴DF⊥平面ABB1A1，∴∠DAF即为直线AD与侧面ABB1A1所成的角.在Rt△AFD中，DF＝C1E＝a，AF＝＝，∴tan∠DAF＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立，∴直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为. 7.AB　设平面EFB与底面ABCD的夹角为θ，如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，AE＝m，FC1＝n，0≤m≤1，0≤n≤1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），E（1，0，m），F（n，1，1），＝（0，－1，m），＝（n－1，0，1），设平面EFB的一个法向量为n＝（x，y，z），则取x＝－1，则平面EFB的法向量为n＝（－1，m（n－1），n－1），而底面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），则cos θ＝，结合选项，当n＝1时，cos θ＝0，当n≠1时，cos θ＝∈（0，］，故cos θ∈［0，］.故选A、B. 8.BC　由题意知EB，ED，EA'两两垂直，以E为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略）.易知B（1，0，0），D（0，，0），A'（0，0，1），C（2，，0），可得＝（－1，，0），＝（2，，－1），因为·＝－2＋3＝1≠0，所以BD与A'C不垂直，所以A错误；过点E作EM⊥A'D于点M，因为BE⊥ED，BE⊥A'E，且ED∩A'E＝E，ED，A'E⊂平面A'ED，所以BE⊥平面A'ED，又BE∥CD，所以CD⊥平面A'ED，又因为EM⊂平面A'ED，所以EM⊥CD，又EM⊥A'D且A'D∩CD＝D，A'D，CD⊂平面A'CD，所以EM⊥平面A'CD，即EM的长为点E到平面A'CD的距离，在Rt△A'ED中，A'E＝1，ED＝，A'D＝2，可得EM＝＝，易知BE∥平面A'CD，所以BE到平面A'CD的距离为，所以B正确；易知＝（1，，0），＝（0，，－1），设BC与A'D所成的角为θ，可得cos θ＝＝＝，即BC与A'D所成角的余弦值为，所以C正确；易知＝（1，0，－1），＝（2，，－1），＝（0，，－1），设平面A'CD的法向量为n＝（x，y，z），则取y＝1，可得x＝0，z＝，即平面A'CD的一个法向量为n＝（0，1，），设直线A'B与平面A'CD所成角为α，sin α＝＝＝，即直线A'B与平面A'CD所成角的正弦值为，所以D不正确. 9.　解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系（图略），不妨设AB＝2，则F（2，1，0），E（1，0，0），设M（0，m，2），m∈[0，2]，故＝（2，1，0），＝（－1，m，2），故cos θ＝＝＝f（m），观察分子、分母的变化，可知当m∈[0，2]时，f（m）单调递减，f（m）max＝f（0）＝，当m＝2时，f（2）＝0，故cos θ的最大值为. 10.　解析：取BC的中点O，BD的中点E，连接OA，OE，如图，以OB所在直线为x轴，以OE所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BC＝2，则A（0，0，1），D（－1，2，0），B（1，0，0），C（－1，0，0），P（x，1－x，0），由AP＝DP，得x2＋（1－x）2＋1＝（x＋1）2＋（x＋1）2，解得x＝0，所以P（0，1，0），故＝（0，1，－1）.设n＝（x，y，z）为平面ACQ的一个法向量，因为＝（－1，0，－1），＝λ＝λ（0，1，0），由得令x＝1，所以n＝（1，0，－1）.设直线AP与平面ACQ所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝｜｜＝. 11.　解析：取BB1上靠近B1的四等分点为E，连接DE，当点F在DE上时，AB1⊥平面C1DF，证明如下：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，所以C1D⊥平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略）.所以A（1，0，2），B1（0，1，0），D（，，0），E（0，1，），即＝（－1，1，－2），＝（－，，），此时·＝0，即AB1⊥DE，所以AB1⊥平面C1DE，故当F在DE上时，AB1⊥平面C1DF，很明显，当E，F重合时，线段C1F最长，此时C1F＝. 12.解：（1）以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略）， 因为λ＝，则A（4，0，0），P（0，4，1），则＝（－4，4，1）， 易知平面BB1C1C的一个法向量为u＝（0，1，0）， 所以cos＜，u＞＝＝＝， 因此，当λ＝时，直线AP与平面BB1C1C所成的角的正弦值为. （2）因为A（4，0，0），D1（0，0，4），P（0，4，4λ）， 设平面APD1的法向量为m＝（x，y，z），＝（4，0，－4），＝（0，4，4λ－4）， 由 得取z＝1， 可得m＝（1，1－λ，1）， 易知平面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1）， 由题意可得｜cos＜m，n＞｜＝＝＝， 因为0＜λ＜1，解得λ＝. 所以当λ＝时，平面APD1与平面ABCD的夹角的余弦值为. 13.解：（1）证明：连接CO， ∵∠CAB＝45°， ∴∠COB＝90°， ∵F为的中点， ∴∠FOB＝45°， 又∠CAB＝45°， ∴OF∥AC. ∵OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD， ∴OF∥平面ACD. （2）连接BC，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊥AB，∴CO⊥平面ABD. 以O为原点，AB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A（0，－2，0），C（0，0，2）. ∵∠DAB＝60°，∴D（，－1，0）， ∴＝（，1，0），＝（0，2，2）. 设n1＝（x，y，z）为平面ACD的法向量. 由得 令x＝1，则y＝－，z＝，∴n1＝（1，－，）. 易知平面ABD的一个法向量为n2＝（0，0，1）， 设平面ACD与平面ABD的夹角为θ， ∴cos θ＝ ＝＝， 即平面ACD与平面ABD夹角的余弦值为. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $