2025-2026学年北师大版八年级数学下学期综合练习卷（1）

**基本信息** 八年级数学下学期期末综合练习卷，以150分120分钟全面考查几何与代数核心知识，通过新能源汽车车标识别、充电桩购买等真实情境，融合抽象能力、推理意识与应用意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|轴对称与中心对称、不等式性质、因式分解|第1题结合新能源汽车车标，考查几何直观与空间观念| |填空题|5/20|分式方程、平行四边形性质、旋转最值|第15题等边三角形旋转问题，培养创新意识与空间观念| |解答题|10/90|待定系数法、函数综合、平行四边形探究|第21题充电桩购买问题，体现模型意识与应用意识；第25题阅读材料探究，发展推理能力与创新意识|

八年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重 合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【解答】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：C. 2.若，则下列不等式成立的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可得到正确答案. 【解答】 解： a>b，根据不等式性质：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变， ∴ a+3>b+3，A选项错误； ∵ a-3>b-3，C选项错误； 根据不等式性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，B选项正确； 根据不等式性质：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ -3b，D选项错误.  故选：B. 3.下列因式分解中，结果正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，因式分解要分解到每个因式不能再分解为止，逐一判断选项即可. 【解答】 选项A，，原式分解不彻底，错误，不符合题意； 选项B，，与右边不相等，错误，不符合题意； 选项C，，正确，符合题意； 选项D，，与右边不相等，错误，不符合题意.  故选：C. 4.如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查折叠的性质和三角形内角和是180°，熟练掌握三角形内角和是180°是解题的关键. 先根据折叠的性质，得到 ，，从而求出 的度数，再根据三角形内角和是180°，分别求出 、 度数，最后计算即可求解. 【解答】 解：由折叠可得， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， . 故选：D.   5.已知，下列结论正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【解答】 解： ， ，且，故A，B错误； ，，故C正确， D错误.  故选：C. 6.如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（       ） A.10 B.5 C.2.5 D.20 【答案】 A 【解析】 根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可. 【解答】 的对角线AC，BD相交于点O， ，点O是BD的中点， 是BC的中点， 是 的中位线，  故选：A. 7.如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（        ） A.方程的解集是 B.方程的解是 C.关于，的方程组的解是 D.不等式的解集是 【答案】 D 【解析】 两条直线交点的横坐标是对应一元一次方程的解，交点横、纵坐标是对应二元一次方程组的解；直线在 x轴上方部分对应 kx+b>0的解集，一条直线在另一条直线上方部分对应 kx+b>-x-2的解集，结合图像交点 与直线 和 x轴交点(1,0)，即可逐一判断选项正误. 【解答】 解：不等式 的几何意义：直线 位于x轴上方时，对应的x的取值范围，由图象可知，直线 呈下降趋势（y随x增大而减小），与x轴交于(1,0)，因此当 x<1时，函数图象在x轴上方，即 的解集是 x<1，A错误； 方程 的解，对应两条直线交点的横坐标，已知两直线交于点 ，因此方程的解为 x=2，B错误； 二元一次方程组 的解，对应两条直线交点的横、纵坐标，两直线交点为 ，因此方程组的解为 ，C错误； 不等式 的几何意义：直线 的图象位于直线 上方时，对应的x的取值范围，由图象可知，在交点P（横坐标x=2）的左侧，直线 在y=-x-2的上方，因此解集为 x<2，D正确.  故选：D. 8.如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点. 如图所示，过点 作 轴于点C，根据题意证明出 ，得到OB=AC=1， ，进而求解即可. 【解答】 如图所示，过点 作 轴于点C B(0,1) OB=1 将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段 AB=AB' 又 （AAS） 故选：B. 9.若关于的方程无解，则的值为（       ） A.或 B.或 C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了分式方程的无解问题，注意方程无解的情况有两种：一是化简后得到矛盾等式；二是解出的根为增根（使分母为零）．将分式方程先化简，得到，分和 两种情况进行讨论求解即可． 【解答】 解：移项得：，即， 情况一：当 时，方程变为 ， 分子为，分母不为零时值不可能为零， 方程无解； 情况二：当 时， 方程两边同乘以 得，， 整理得， ， 若此解为增根，则增根为， 令，即，解得； 综上，方程无解时 或 ． 故选：A.  10.如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（       ） A.①②③④ B.①④ C.①③④ D.①②④ 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的边角关系，全等三角形的判定与性质，综合性强．根据题目已知条件，结合所给结论，逐一判断即可． 【解答】 解：对于结论①：于点E，BF CD于点F， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ． 故①正确； 对于结论②：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故②错误； 对于结论③：， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，且，， ， ． 故③错误； 对于结论④：， 又， ， ， ， ． 于点E，于点F$， ， 由①可知，， 在和中， ， （AAS）， ， ， ， ． 故④正确； 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.已知：，则的值为____________． 【答案】 ． 【解析】 此题暂无解析 【解答】 根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变）解答． 解：， 可设、、， ， 故答案为：． 12.把多项式分解因式的结果是________ 【答案】 【解析】 本题考查综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是先提公因式y，再利用完全平方公式作进一步的分解即可. 【解答】 解： 故答案为：. 13.关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为___3_____． 【答案】 3 【解析】 先求解不等式组，根据不等式组有解求出a的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有整数解以及a的取值范围确定满足条件的a的值，据此求解即可. 【解答】 解：不等式组 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：； 方程 ， 方程两边同乘得：， 整理得：， 分式方程有解， ，即时， ，即， ， ， ， 方程有整数解， 是2的因数， 2的因数有、， 当，即时，，是分式方程的增根，不符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，， 此情况不符合题意， 综上所述，满足条件的所有整数a的和为．  故答案为：． 14.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为____（6,4）____． 【答案】 （6,4） 【解析】 根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点C在y轴上及BD x轴，利用中点坐标公式确定点A的横坐标．过点A作x轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点A的纵坐标即可求解． 【解答】 解：设点A的坐标为(x,y) 四边形ABCD是平行四边形 对角线AC与BD互相平分 点D的坐标为(3,0)，BD x轴 点B的横坐标为3 点C在y轴上 点C的横坐标为0 设AC与BD的交点为M，则点M为BD的中点 点M的横坐标为 又 点M为AC的中点 点M的横坐标为 解得x=6 过点A作AH x轴于点H 点H的坐标为(6,0) 在Rt 中，AD=5，DH=3 由勾股定理得： 点A在第一象限 点A的坐标为(6,4). 故答案为：.  15.如图，在边长为的等边中，点是边的对称轴上（点在边上）的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则在点运动的过程中，的最小值是____2____． 【答案】 2 【解析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质.连接BF，通过证明 ，得出 ，从而确定点F的运动轨迹为过点B且与BC成 角的射线，依据垂线段最短，当DF BF时，DF最短，利用含 角的直角三角形的性质即可求解. 【解答】 解：如图，连接BF. 由旋转的性质可得， ， ， 是等边三角形， 即 在 和 中， 是等边 的对称轴 平分 ， 即点 F在过点 B且与 BC成 30°角的射线上运动，根据垂线段最短可知，当 DF BF时，DF的值最小，在Rt 中，BD=4 的最小值为2. 故答案为：2. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】 ，画数轴见解析 【解析】 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤． 根据不等式的性质，分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，写出不等式组的解集，画出数轴即可． 【解答】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以不等式组的解集为． 17.（6分）分解因式； （2）解方程： 【答案】 ; (2) 原方程无解 【解析】 本题主要考查了因式分解和解分式方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意解分式方程最后一定要对方程的解进行检验. (1) 提公因式分解因式即可; (2) 方程整理后，两边同乘 去分母，变为整式方程，解整式方程，得出方程的解，最后进行检验即可. 【解答】 解： (2) 解：原方程可变形为： 方程两边同乘以 ，得 解得 检验：当 ，原方程中分式 和 的分母的值为零， 所以 是原方程的增根，应舍去， 因此，原方程无解. 18.(10分) 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． （1）图中B点的坐标是__(-2,3)____． （2）点B关于原点对称的点C的坐标是___(2,-3) ___；点A关于x轴对称的点D的坐标是___ (0,-4)___． （3）的面积是__8____． （4）如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是_（2,0）或（-2,0）_____． 【答案】 (-2,3) ; (2,-3) ; (0,-4) ; 8; （2,0）或（-2,0）. 【解析】 （1）根据坐标的定义，判定即可； （2）根据关于原点对称点的特点和关于 轴对称的点的坐标特点求解即可； （3）用四边形PQCK的面积减去 的面积得到 的面积； （4）设点E的横坐标为 ，则点E到AD的距离为 ，根据三角形面积相等求出 的值，根据x轴上点的特点得出点E的坐标即可. 【解答】 （1） （2）与C关于原点对称， 与D关于x轴对称， （3）如图所示： （4） , D(0,-4), 或（-2，0）. 19.(8分) 如图，在中， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则____4____． 【答案】 作图见详解 4 【解析】 （1）分别以点A，C为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于两点，连接两点，此时与AC交点E，与BC交点D，AC垂直平分线DE即为所求； （2）利用线段垂直平分线的性质得到 AD=CD，则 ，利用三角形外角的性质得到 ，从而证得 是等边三角形，进而得到结果. 【解答】 （1）解：如图所示，DE即为所求： （2）解：如图，连接 DE是AC的垂直平分线， 又 是等边三角形， 故答案为：4.  20.(9分) 如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据角平分线的定义和垂直的定义证出 , 利用全等三角形的性质和三角形中位线的判定得出DE是 的中位线，最后利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得出结果; （2）结合(1)的结论，得到 , 利用三角形的中位线定理和线段的和差即可得出结果. 【解答】 （1）证明: 平分 又 (ASA) 即点D是线段BG的中点, 为BC的中点, 是 的中位线, 又 四边形CEDF是平行四边形; （2）解:由(1)得 , 由(1)得DE是 的中位线, , 又 , . 21.(10分) 随着电车的普及，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型号充电桩比B型号充电桩的单价少万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． （1）求A，B两种型号充电桩的单价． （2）若该停车场需要购买A，B两种型号的充电桩共20台（两种都要购买），且购买A型号充电桩的数量不超过B型号充电桩数量的，则购买A，B两种型号的充电桩的总费用最少为多少万元？ 【答案】 A型号充电桩的单价为0.8万元，B型号充电桩的单价为1.0万元； 总费用最少为18.4万元. 【解析】 （1）设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据数量相等列出分式方程求解; （2）设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台，根据条件列出不等式确定范围，再根据总费用表达式求最小值. 【解答】 （1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元， 由题意得： ， 化为整式方程： ， ， ， ， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ， 答：$A型号充电桩的单价为0.8万元，B型号充电桩的单价为1.0万元； （2）解：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台， 由题意得：且，（因为两种都要购买）， 解不等式得， 解不等式得， 结合条件，的取值范围为的整数， 总费用， ， 总费用随增大而减小， 当时，总费用最小，最小值为（万元）， 答：购买A、B两种型号充电桩的总费用最少为18.4万元.  22.(10分) 如图，是等腰三角形，，，是的中点，DE ，DF ，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】 证明见解析； 【解析】 （1）由三线合一定理可得 是 的角平分线，再由角平分线的性质可得 ，最后结合多边形内角和定理求出 即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得 BD=CD AD BC，再由含 的直角三角形性质得AB=2AD，结合勾股定理可得 ，则 AB 进而由勾股定理求得AE、DE，最后根据等边三角形的性质即可得解. 【解答】 （1）证明：连接 AD， ，D是BC的中点， 是 的角平分线， 四边形AEDF的内角和为 是等边三角形； （2）解： 是等腰三角形， ，AB=AC，D是BC的中点，BC=8， Rt 中， 将 BD=4代入可得 AD ，则 AB 设 ，则 根据勾股定理可得 解得 即 是等边三角形， ∴EF=2. 23.(10分) 【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为______16（或19、49均可）______（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 【答案】 16（或19、49均可）； 【解析】 （1） ,则 ,再由 是正整数确定 的值； （2）设多项式 的另一个因式为 , 则 , 展开左边得 ，再对比左右两边多项式的系数求解即可； （3）设 (A, B, C为常数) 则 那么得到 ，对比左右两边多项式的系数，得 ，即可求解. 【解答】 （1）解： 即 是正整数 取 ; 或 或 则 或 或 , 的值为16或49或19； （2）解: 设多项式 的另一个因式为 , 则 展开左边得 对比左右两边多项式的系数，得 解得 （3）解: 设 （A，B，C为常数） 对比左右两边多项式的系数，得 解得 24.(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求点的坐标； （3）若直线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标． （4）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】 或 【解析】 （1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 本题考查了待定系数法，解方程组，图形的面积，函数的性质，熟练掌握待定系数法，函数的性质是解题的关键． 【解答】 （1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得： 直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得： 点的坐标为． （3）解：连接，如图所示． 由直线的表达式为，得， 故， 点的坐标为． ， 直线的表达式为，令，则． 直线与轴交于点 ， 设， 的面积是面积的倍， ， ， 解得：或， 点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于得每一个值，函数的值大于一次函数的值， 故答案为．   25.(12分) 阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①____平行四边形的对边相等_______；②___________． （2）问题解决： ①将图中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图中画出变换后的图形； ②如图，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 【答案】 ①平行四边形的对边相等；② ①见解析；②见解析 或 【解析】 （1）根据平行四边形及，即可解答； （2）如图；将绕点顺时针旋转，可得是等腰三角形，即可证； （3）设 ，根据图形不同，分类讨论分析即可解答. 【解答】 （1）解：证明：四边形为平行四边形， （依据：①平行四边形的对边相等） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②． 故答案为：①平行四边形的对边相等；②； （2）① 如图；将绕点顺时针旋转， 是等腰三角形 ②如图，为直径，交于点；则 （3）设 平分 ，则 同理，平分 有两种情况： ①若在的右边，如图； ，解得：， ； ②若在的左边，如图； ，解得：， ； 综上所述：的值为或 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2.若，则下列不等式成立的是（        ） A. B. C. D. 3.下列因式分解中，结果正确的是（        ） A. B. C. D. 4.如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A. B. C. D.  5.已知，下列结论正确的是（     ） A. B. C. D. 6.如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（       ） A.10 B.5 C.2.5 D.20 7.如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（        ） A.方程的解集是 B.方程的解是 C.关于，的方程组的解是 D.不等式的解集是 8.如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9.若关于的方程无解，则的值为（       ） A.或 B.或 C. D. 10.如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（       ） A.①②③④ B.①④ C.①③④ D.①②④ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.已知：，则的值为__________． 12.把多项式分解因式的结果是________ 13.关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 14.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为________．   15.如图，在边长为的等边中，点是边的对称轴上（点在边上）的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则在点运动的过程中，的最小值是________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 17.（6分）分解因式； （2）解方程： 18.(10分) 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． （1）图中B点的坐标是______． （2）点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于x轴对称的点D的坐标是______． （3）的面积是______． （4）如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 19.(8分) 如图，在中， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则_____． 20.(9分) 如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 21.(10分) 随着电车的普及，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型号充电桩比B型号充电桩的单价少万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． （1）求A，B两种型号充电桩的单价． （2）若该停车场需要购买A，B两种型号的充电桩共20台（两种都要购买），且购买A型号充电桩的数量不超过B型号充电桩数量的，则购买A，B两种型号的充电桩的总费用最少为多少万元？ 22.(10分) 如图，是等腰三角形，，，是的中点，DE ，DF ，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 23.(10分) 【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为____________（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 24.(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求点的坐标； （3）若直线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标． （4）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 25.(12分) 阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①___________；②_________． （2）问题解决： ①将图中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图中画出变换后的图形； ②如图，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 1、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C A D B A B   卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.． 12.. 13.． 14..  15.2. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16. （5分）解：， 解不等式①得：；………………………………………………2 分 解不等式②得：；………………………………………………4 分 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ………………………………………………4.5 分 所以不等式组的解集为．………………………………………………5 分 17.（6分）解： ………………………………………………1 分 ………………………………………………2 分 ………………………………………………3 分 (2) 解：原方程可变形为： 方程两边同乘以 ，得 ………………………………………………1 分 解得 检验：当 ，原方程中分式 和 的分母的值为零，………………………………………………2 分 所以 是原方程的增根，应舍去， 因此，原方程无解.………………………………………………3 分 18.(10分)（1）………………………………………………2 分 （2）与C关于原点对称， ………………………………………………4 分 与D关于x轴对称， ………………………………………………6 分 （3）如图所示： ………………………………………………8 分 （4） , D(0,-4), 或（-2，0）.………………………………………………10 分 19.(8分) （1）解：如图所示，DE即为所求： ………………………………………………4 分 （2）解：如图，连接 DE是AC的垂直平分线， ………………………………………………5 分 ………………………………………………6 分 又 是等边三角形，………………………………………………7 分 故答案为：4. ………………………………………………8 分 20.(9分) （1）证明: 平分 又 (ASA)………………………………………………2 分 即点D是线段BG的中点, 为BC的中点, 是 的中位线,………………………………………………3 分 ………………………………………………4 分 又 四边形CEDF是平行四边形;………………………………………………5 分 （2）解:由(1)得 ,………………………………………………6 分 由(1)得DE是 的中位线, ,………………………………………………7 分 又 ,………………………………………………8 分 .………………………………………………9 分 21.(10分)（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，………………………………………………1 分 由题意得： ，………………………………………………3 分 化为整式方程： ， ， ， ，………………………………………………4 分 经检验，是所列方程的解且符合题意， ， 答：A型号充电桩的单价为0.8万元，B型号充电桩的单价为1.0万元；………………………………………………5 分 （2）解：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台，……………………………………6 分 由题意得：且，（因为两种都要购买）， 解不等式得， 解不等式得， 结合条件，的取值范围为的整数，………………………………………………8 分 总费用， ， 总费用随增大而减小， 当时，总费用最小，最小值为（万元），…………………………………………9 分 答：购买A、B两种型号充电桩的总费用最少为18.4万元. ………………………………………………10 分 22.(10分) （1）证明：连接 AD， ，D是BC的中点， 是 的角平分线，………………………………………………1 分 ………………………………………………3 分 四边形AEDF的内角和为 ………………………………………………4 分 是等边三角形；………………………………………………5 分 （2）解： 是等腰三角形， ，AB=AC，D是BC的中点，BC=8， ………………………………………………6 分 Rt 中， 将 BD=4代入可得 AD ，则 AB ………………………………………………8 分 设 ，则 根据勾股定理可得 解得 即 是等边三角形， ∴EF=2.………………………………………………10 分 23.(10分) （1）解： 即 是正整数 取 ; 或 或 则 或 或 , 的值为16或49或19；………………………………………………2 分 （2）解: 设多项式 的另一个因式为 , 则 ………………………………………………3 分 展开左边得 对比左右两边多项式的系数，得 ………………………………………………5 分 解得 ………………………………………………6 分 （3）解: 设 （A，B，C为常数）………………………………………………7 分 对比左右两边多项式的系数，得 ………………………………………………9 分 解得 ………………………………………………10 分 24.(10分) （1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得，………………………………………………1 分 解得： 直线的表达式为．………………………………………………2 分 （2）解：根据题意，联立得方程组，………………………………………………3 分 解得： 点的坐标为．………………………………………………4 分 （3）解：连接，如图所示． 由直线的表达式为，得， 故， 点的坐标为． ，………………………………………………5 分 直线的表达式为，令，则． 直线与轴交于点 ， 设， 的面积是面积的倍， ， ，………………………………………………6 分 解得：或， 点的坐标是或．………………………………………………7 分 （4）解：当时，， 把代入得，，，………………………………………………8 分 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件；………………………………………………9 分 根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于得每一个值，函数的值大于一次函数的值， 故答案为．………………………………………………10 分 25.(12分) （1）解：证明：四边形为平行四边形， （依据：①平行四边形的对边相等） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②． 故答案为：①平行四边形的对边相等；②；………………………………………………2 分 （2）① 如图；将绕点顺时针旋转，使 AE 与 BE 重合，得到△BED′，此时△CDD′为等腰三角形。………………………………………………4 分 ………………………………………………5 分 是等腰三角形 ②如图，为直径，交于点；则 ………………………………………………7 分 （3）设 平分 ，则 同理，平分 有两种情况： ①若在的右边，如图； ，解得：， ；………………………………………………9 分 ②若在的左边，如图； ，解得：， ；………………………………………………11 分 综上所述：的值为或………………………………………………12 分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2.若，则下列不等式成立的是（        ） A. B. C. D. 3.下列因式分解中，结果正确的是（        ） A. B. C. D. 4.如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A. B. C. D.  5.已知，下列结论正确的是（     ） A. B. C. D. 6.如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（       ） A.10 B.5 C.2.5 D.20 7.如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（        ） A.方程的解集是 B.方程的解是 C.关于，的方程组的解是 D.不等式的解集是 8.如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9.若关于的方程无解，则的值为（       ） A.或 B.或 C. D. 10.如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（       ） A.①②③④ B.①④ C.①③④ D.①②④ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.已知：，则的值为__________． 12.把多项式分解因式的结果是________ 13.关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 14.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为________．   15.如图，在边长为的等边中，点是边的对称轴上（点在边上）的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则在点运动的过程中，的最小值是________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 17.（6分）分解因式； （2）解方程： 18.(10分) 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． （1）图中B点的坐标是______． （2）点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于x轴对称的点D的坐标是______． （3）的面积是______． （4）如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 19.(8分) 如图，在中， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则_____． 20.(9分) 如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 21.(10分) 随着电车的普及，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型号充电桩比B型号充电桩的单价少万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． （1）求A，B两种型号充电桩的单价． （2）若该停车场需要购买A，B两种型号的充电桩共20台（两种都要购买），且购买A型号充电桩的数量不超过B型号充电桩数量的，则购买A，B两种型号的充电桩的总费用最少为多少万元？ 22.(10分) 如图，是等腰三角形，，，是的中点，DE ，DF ，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 23.(10分) 【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为____________（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 24.(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求点的坐标； （3）若直线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标． （4）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 25.(12分) 阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①___________；②_________． （2）问题解决： ①将图中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图中画出变换后的图形； ②如图，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $