精品解析：山东济南市历城第二中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测数学试题

济南历城第二中学高二4月阶段性检测 数学试题 2026年4月 说明：本试题分为第I卷和第II卷两部分，第I卷为第一页至第二页，共11题，第II卷为第三页至第四页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其他位置无效.试题满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种. A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 3. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在 上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 4. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在 处有极大值，则实数c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8 6. 若函数定义在 上且可导，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 当且仅当：方程有且仅有一个实数解 C. D. 存在 ，使得直线与曲线相切 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 14. 已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数若函数在 处取得极小值. （1）求实数a，b的值； （2）求的单调区间和极大值. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设函数，若对于任意，都有，求 的取值范围. 19. 设函数 ． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南历城第二中学高二4月阶段性检测 数学试题 2026年4月 说明：本试题分为第I卷和第II卷两部分，第I卷为第一页至第二页，共11题，第II卷为第三页至第四页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其他位置无效.试题满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种. A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理和排列组合的应用，对特殊元素分类讨论，分别计算不同的情况种类数目，求出结果. 【详解】解法1（特殊元素优先）：若A参加竞赛，则参赛方案有种； 若A不参加竞赛，则参赛方案有种，因此不同的参赛方案有72种. 解法2（特殊位置优先）：先从除了A以外的4名学生中选择2名参加物理、化学竞赛，有种； 再从余下的3名学生中选择2名参加数学、外语竞赛，有种；因此共有种不同的参赛方案. 故选：C. 3. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在 上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 【答案】D 【解析】 【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误. 【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确； B，因时，，则在 上单调递增，故B正确； C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确； D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误. 故选：D 4. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得 ． 故选：A 5. 已知函数在 处有极大值，则实数c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，求出，再检验可得答案. 【详解】由， 得， 因为函数在 处有极大值， 所以，解得 或 ， 当 时，，令，得 或， 当或 时，，当 时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点， 为极小值点，所以 不符合题意， 当 时，，令，得 或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以 为极大值点，为极小值点，所以 符合题意， 综上 故选：B. 6. 若函数定义在 上且可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当 时，，即， 所以可知函数在 上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知对任意的，恒成立，即恒成立，利用二次函数的基本性质可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即恒成立， 因为二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 8. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线 与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全排列计算判断A；每个球有4种放法，利用乘法原理计算判断B；取1个盒子不放球，再将4个球按分成3组放入3个盒子计算判断C；从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒子，另外3个球3个盒子标号不能对应放，列式计算判断D． 【详解】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共 种，A正确； 对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，B错误； 对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，C正确； 对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子， 另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 当且仅当：方程有且仅有一个实数解 C. D. 存在 ，使得直线与曲线相切 【答案】AC 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合函数图象趋势分析方程解的个数，通过设切点列方程即可判断切线是否存在. 【详解】函数的定义域为，求导得：， 对于A：由，得 ， 当或 时， ，单调递减， 当 时， ，单调递增， 所以 是函数的极小值点，故A正确； 对于B：的极小值为， 且当时，，所以； 当 时，；当时，； 当时，，如图所示： 结合图象可知：方程有且仅有一个实数解时，或，故B错误； 对于C：因为当 时，单调递增，又因为，因此， 则，即，因此，故C正确； 对于D：设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得：， 化简得：，即， 令，则， 所以在和上单调递增，所 以当时，，当 时，， 所以当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D错误. 【点睛】先借助导数研究函数单调性与极值，再结合图象趋势分析问题，是解决这类导数综合问题的关键突破口. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题，则，解得. 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】通过令曲线导数等于切线斜率求出切点横坐标，再代入曲线和直线方程即可求解. 【详解】设切点为 ，，则， 由题意得，即，解得 ， 将其代入到，则，即切点为， 将其代入到，即，解得. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令 可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当 时， ，单调递减， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于 ， 当从负半轴趋近于 时，趋近于，当从正半轴趋近于 时，趋近于， 又，简图如下， 由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数若函数在处取得极小值. （1）求实数a，b的值； （2）求的单调区间和极大值. 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性和极大值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当 或 时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取到极小值，符合题意． 所以． 【小问2详解】 由（1）知， ，， ， 令，则或， 当时， 或 ，所以在，上单调递增； 当时，，在单调递减． 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，函数取到极大值，即. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）减区间，增区间 （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【小问1详解】 ，若，则 ，若，则 ， 所以的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【小问1详解】 当时，， ，则 ， 又，∴曲线在点处的切线方程为 ． 【小问2详解】 ，， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设函数，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 若，，函数在上单调递减； 若，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，函数在上单调递减； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 令， 于是恒成立，即恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，，则有， 所以的取值范围是. 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法 (1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题； (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 19. 设函数 ． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； （2）证明：由（1）知，当时，在 处取得最小值， 因此，对任意 ，有 . 只需证明 ，即 令，. 求导得，  ，故 在 上单调递增. 由 知，当时， ，当时， ， 所以 在单调递减，在单调递增. 所以 在处取得最小值 . 因此 ，即成立，等号当且 时取得. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为 ，令，利用导数得到 的最小值为 ， 所以 ，即证得. 【小问1详解】 函数 的导数为 ， 当时， 恒成立，故，所以在 上单调递增； 当时，令 ，得 . 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增. 综上所述：当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $