精品解析：河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 40 B. C. D. 2. 已知事件 ， 满足 ，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 4. 某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 10. 2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（ ） A. B. 所调查市民年龄众数的估计值为40 C. 所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D. 所调查市民的平均年龄约为34.5岁 11. 已知一组样本数据，，的方差为3，则（ ） A. ，，不可能都相等 B. ，，的方差也为3 C. 该组样本数据的平均数有最值 D. 的最小值为9 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 13. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为_________． 14. 从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且 ，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证： 平面． 17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数与方差； （3）已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 19. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． （1）当时，求三棱锥 的体积； （2）若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 40 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则. 2. 已知事件，满足 ，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 【答案】B 【解析】 【详解】由 可得 . 所以. 代入，得. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行的充要条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得. 4. 某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该班女生人数为，则，解得， 所以该班女生人数为. 5. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，则底面半径， 可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为. 6. 在中，内角的对边分别为，， ，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以或. 7. 在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥补形成长方体，结合长方体的外接球运算求解即可. 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则，可得， 则球 的半径为，所以球 的表面积为. 8. 如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，作且，得异面直线与 所成角的平面角为 ，过作的垂线，连接，易知过作垂线的垂足必重合，记为 ，再结合已知及余弦定理求异面直线的夹角余弦值. 【详解】如下图，若取，作且， 所以异面直线与 所成角的平面角为 ， 过作于点 ，连接， 因 ,,易得≌ ，则 ， 故的平面角为， 其中，则， 在中，由余弦定理，， 所以异面直线与 所成角的余弦值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：因为，所以，A错误； 选项B：因为，所以对应的点的坐标为在第四象限，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，D正确. 10. 2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（ ） A. B. 所调查市民年龄众数的估计值为40 C. 所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D. 所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题可得，解得 ，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 11. 已知一组样本数据，，的方差为3，则（ ） A. ，，不可能都相等 B. ，，的方差也为3 C. 该组样本数据的平均数有最值 D. 的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，，. 对于A，若，则， 所以，不满足题意， 则，，不可能都相等，故A正确； 对于B，，，的平均数为， 则方差为 ，故B正确； 对于C，由方差的性质可知，样本数据，，的方差为3， ，，的的方差也为3， 由k具有任意性，可知该组样本数据的平均数没有最值，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当时，取得最小值9，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为， 所以向量在单位向量上的投影为， 即，所以. 故答案为：. 13. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为_________． 【答案】 【解析】 【详解】在正三棱台中，设上底面中心为 ，下底面中心为， 连接，过作交于， 因为，，则，， 又易知平面，所以平面，又易得， 所以，则， 在直角三角形中，，则， 所以正三棱台的高为. 14. 从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典型的概率求解法求解即可. 【详解】要使随机取出的3个数的和大于剩下两个数的积， 则取出的3个数分别为：5，4，3；5，4，2；5，4，1；5，3，2；5，3，1；4，3，2；共6种情况； 而总的抽取情况除了上述的6种外，还有：5，2，1；4，3，1；4，2，1；3，2，1，共4种情况， 故从5个数中任取3个数共10种情况； 所以所求概率为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积可计算得出的值； （2）求出、的值，利用平面向量数量积可求得的值. 【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得， 所以，； （2）, ， 因此，. 16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且 ，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证： 平面． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. （2）根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形 为平行四边形， ， 平面， 平面， 平面． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数与方差； （3）已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】（1） （2）77；106 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. 【小问2详解】 用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. 【小问3详解】 在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 19. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． （1）当时，求三棱锥 的体积； （2）若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①过点作交于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，， 且，是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面， 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面； 又平面，则. ② 【解析】 【分析】（1）利用等体积法转换棱锥的底和高进行求解； （2）①利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而得到线线垂直；②利用余弦定理和均值不等式进行求解. 【小问1详解】 根据题意可知， ，且， 所以，且为二面角的平面角，即， . 【小问2详解】 ①略， ②取的中点S，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，由①得，所以， 在中，， 在中，， 在中，，因此， 化简得到， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $