精品解析：辽宁阜新市细河区2025-2026学年八年级上学期期末教学质量检测数学试卷

2025-2026（上）八年级期末教学质量检测 数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ 　 ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点 B 的横坐标介于 （ ） A. 2 和3 之间 B. 3和4 之间 C. 4 和5 之间 D. 5 和6 之间 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 6. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（ ） 因为 ， ，所以. （依据：__________） A. 平角的定义 B. 同角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 同位角相等 8. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 9. 如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 50° 10. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为_______． 12. 已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为_______． 13. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，70，则该班四项综合得分（满分100）为_______分． 14. 如图，在长方形中， ，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若 ，那么长为_______． 15. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米； ③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号） 三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16题10分、17题7分、18、19、20题各8分，21题10分，22、23每题各12分，共计75分．） 16. 完成下面各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在图中的位置如图所示，点的坐标为． （1）根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； （2）在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标． 18. 某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表： 测试 第一次分数 第二次分数 第三次分数 第四次分数 第五次分数 小王 60 75 100 90 75 小李 70 90 100 80 80 根据上表解答下列问题： （1）完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 小王 80 75 75 190 小李 （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优良，则小王、小李在这五次测试中的优良率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由（从方差和优良率两方面回答）． 19. 如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使 ． （1）求证：； （2）当 ， 时，求的度数． 20. 学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则 ______米， ______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 21. 为了解某新能源汽车的充电速度，数学兴趣小组的同学经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位： ）与充电时间（单位：）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为__________%； （2）当 时，求与的函数关系式； （3）若将该汽车电池电量从 充至 ，快速充电器比普通充电器少用__________小时． 22. 随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． （1）一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 23. 在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） （1）点的关联点的坐标为 ； （2）点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； （3）如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断 的形状并证明； （4）已知 ，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）八年级期末教学质量检测 数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据无理数是无限不循环小数，可得A.是无理数，B．，C．，D．是有理数， 故选A． 考点：无理数 2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、点位于第一象限，不符合题意； B、点位于第四象限，不符合题意； C、点位于第二象限，不符合题意； D、点位于第三象限，符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，求一个数的立方根，根据二次根式的性质，立方根的定义，二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、；原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算错误，不符合题意； D、，原式运算正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点 B 的横坐标介于 （ ） A. 2 和3 之间 B. 3和4 之间 C. 4 和5 之间 D. 5 和6 之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键． 根据勾股定理可得的长，再由作法得：，可得到点 B 的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， 由作法得：， ∴点 B 的横坐标为， ∵， ∴ ， ∴点 B 的横坐标介于3和4 之间． 故选：B 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、三角形的三边关系及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 6. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象得， ，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 【详解】解：由一次函数的图象得：， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：A． 7. 数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（ ） 因为 ， ，所以. （依据：__________） A. 平角的定义 B. 同角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了补角的性质及对顶角相等的推理依据，解题的关键是明确补角定义(和为 的两个角互为补角)，准确识别 和（对顶角）均为 的补角，再依据补角性质确定推理依据． 先根据已知 、，结合补角定义，判断 与、 与 分别互为补角( 和 是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、余角性质、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是 “始边与终边在同一直线且方向相反的角为 ”，本题是通过两个角与 的和为 推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的余角相等的前提是 “角的和为 ”，本题中角的和为 ，属于补角关系，与余角无关，此选项不符合题意； C、同角的补角相等是 “若两个角均为同一个角的补角(和为 ，则这两个角相等”，本题中 、，即 和都是 的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； D、同位角相等需满足 “两直线平行被第三条直线所截” 的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，熟练掌握箱线图的特征以及值与空气质量的关系是解题的关键， 通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区 年月有重度污染天气，故选项正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区 年月的值不如月集中，故选项错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区 年月的值中位数大于月值的中位数，故选项正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项正确． 故选：． 9. 如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可知平分 ，根据平行线的性质，求出 的度数，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分 ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质，基本作图—作角平分线．解题的关键是根据作图方法，得到平分 ． 10. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为x，金价为y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于的x二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意： ，   故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为0列式求出，然后解答即可． 【详解】解：由点在直角坐标系的轴上，可得：， 解得：， ， 点； 故答案为：． 12. 已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出 ，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与的交点的坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为． 13. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，70，则该班四项综合得分（满分100）为_______分． 【答案】 【解析】 【分析】将各项得分乘以对应的权重，求和后即可得到综合得分． 【详解】解：根据题意计算该班的四项综合得分： （分） 14. 如图，在长方形中， ，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若 ，那么长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由折叠的性质，得 ，然后求出 ，则求出的长度，再根据勾股定理建立方程，求出即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质，得 ， ∵ ， ∴， 又， 在 中，， ， 解得 ， ． 15. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米； ③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】由图象，得 ①600÷6=100（米/天），故①正确； ②（500-300）÷4=50（米/天），故②正确； ③由图象得甲队完成600米的时间是6天， 乙队完成600米的时间是：2+300÷50=8天， ∵8-6=2天， ∴甲队比乙队提前2天完成任务，故③错误； ④当x＝2天时，甲队完成200米，乙队完成300米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米． 当x=6天时，甲队完成600米，乙队完成500米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米． 故④正确. 故答案为①②④. 三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16题10分、17题7分、18、19、20题各8分，21题10分，22、23每题各12分，共计75分．） 16. 完成下面各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 由①可得出， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在图中的位置如图所示，点的坐标为． （1）根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； （2）在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形： （1）根据A、B的坐标确定出原点和坐标轴的位置，进而建立坐标系，再描出点C，最后顺次连接A、B、C即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点，然后描出，最后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：坐标系及如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， ． 18. 某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表： 测试 第一次分数 第二次分数 第三次分数 第四次分数 第五次分数 小王 60 75 100 90 75 小李 70 90 100 80 80 根据上表解答下列问题： （1）完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 小王 80 75 75 190 小李 （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优良，则小王、小李在这五次测试中的优良率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由（从方差和优良率两方面回答）． 【答案】（1）补全表格见解析；（2）小李，小王的优秀率为，小李的优秀率为；（3）选择小李，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据结合平均数、中位数、众数、方差的定义填表即可； （2）方差反映了数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定；利用概率公式可分别求出小王、小李的优秀率； （3）根据小李成绩的优秀率高且方差小，即可选择． 【详解】解：（1）小李的平均成绩：（分）； 小李成绩的中位数：80分； 小李成绩的众数是：80分； 小李成绩的方差是：． 故补全表格为： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 小王 80 75 75 190 小李 84 80 80 104 （2）方差反映了数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定， 因此，小李成绩更稳定； 小王的优秀率为，小李的优秀率为． （3）选小李参加比赛，因为小李的优秀率高，并且小李成绩的方差小，成绩比较稳定，获奖机会大． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、以及方差的概念，掌握求平均数和方差的公式是解答本题的关键． 19. 如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使 ． （1）求证：； （2）当 ， 时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于180°和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键． （1）根据平分得到 ，再由 等量代换推出 ，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴ ， 在中， ， ， ∴ ， 又∵平分， ∴ ， ∴ ． 20. 学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则 ______米， ______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 【答案】（1）； （2）17米 【解析】 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：在中， 即 解得： 答：旗杆的值为17米． 21. 为了解某新能源汽车的充电速度，数学兴趣小组的同学经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位： ）与充电时间（单位：）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为__________%； （2）当 时，求与的函数关系式； （3）若将该汽车电池电量从 充至 ，快速充电器比普通充电器少用__________小时． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用 减初始电量，再除以充电时间，即可得到答案； （2）当 时，由题意可知，，利用待定系数法分别求解即可； （3）利用（1）和（2）所得结果，分别求出快速充电器与普通充电器所需的时间，作差即可得到答案． 【小问1详解】 解：普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ， 【小问2详解】 解：当 时，设段的函数解析式为， 将，，代入解析式得： ，解得：， ， 【小问3详解】 解：由（2）可知，快速充电器充电至 ，则 ， 解得：， 即该汽车电池电量从 充至 ，快速充电器所用时间为 ， 由（1）可知，普通充电器对该汽车每小时的充电量为， 即该汽车电池电量从 充至 ，普通充电器所用时间为 ， 快速充电器比普通充电器少用时间为 ， 22. 随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． （1）一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 【答案】（1）A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 （2） （3）购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为14.8万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【小问1详解】 解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； 【小问2详解】 解：根据题意，， 整理得， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数， ∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当 时，，， 当 时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时， ， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 23. 在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） （1）点的关联点的坐标为 ； （2）点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； （3）如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断 的形状并证明； （4）已知 ，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 为等腰直角三角形，详见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证，进而根据三角形的性质即可得出结论； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【小问1详解】 解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解： 为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； 【小问4详解】 解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得 （负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， ∴取值范围为． ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $