2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末基础巩固卷 (假期复习使用)

**基本信息** 立足苏科版八年级下册核心知识，以防诈调查、头盔质检等现实情境和折叠对称等几何变换为载体，分层考查统计概率、四边形、分式等知识，适配假期复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计调查（第1题）、概率事件（第2题）、平行四边形判定（第3题）|结合生活场景考查数学眼光，如用“歼20战机零部件质量”辨析普查与抽查| |填空题|8/24|分式方程（第9题）、菱形性质（第16题）、数据估计（第13题灰鹤数量监测）|通过折线统计图考查数据意识，体现用数学语言描述现实世界| |解答题|10/76|几何作图与证明（第20题中线性质）、实际应用（第24题玩偶进货利润）、综合探究（第26题矩形折叠）|分层设计，基础题（因式分解）、提升题（折叠求长度）、创新题（基本不等式应用），培养推理能力与应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 思危光乡笔 2025-2026学年苏科版八年级下册期末基础巩固卷 (假期复习使用) (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上.考试时间为100分钟. 试卷满分120分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试 证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑.如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答， 写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效： 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚， 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果. 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1.下列事件中，最适宜采用抽查方式的是() A,调查某市居民的防诈意识 B.调查本班同学对“苏超”的知晓率 C.调查“歼20战机各零部件的质量 D.订购校服，了解学生的尺寸 2.下列说法正确的是（) A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 试卷第1页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 供危光乡笔 C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为2，连续抛此硬币2次必有1次正面朝 上 3.如图，口ABCD中，EFIAD,GHAB,则图中的平行四边形的个数共有() E B A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高 DH的长是() D A.4.8 B.2.4 C.5 D.以上都不对 5,两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方 式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出() ② ⑤ ① ④ ③ ⑥ ① ② A,图形②与③的面积差 B. 图形②与③的周长差 C.图形②与③的面积和 D.图形②与③的周长和 6.已知分式M满足下列表格中的信息： 试卷第2页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 供危光乡笔 X的取值 0 1 2 3 分式的取值 无意义 0 则分式M有可能是(). x-1 x-2 x-3 A. +1 B.x-2 C.x-1 D x X-1 7.若多项式+1+△能直接用完全平方公式进行因式分解，则“△”所代表的单项式不可 以是() A.2a B.-2a c. 8.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关 于BE的对称点为F,若∠DFC=90°，则EF的长为() B A.1 B v C.1.5 D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） x+5≥5x-1 23 9.若关于x的一元一次不等式组 x+a<8的解集为x≤3，且关于y的分式方程 a+y =-1 2-yy-2 的解是正数，则所有满足条件的整数α的值之和是」 10.若mn=2,m-n=1,则代数式mn-mn的值是 11.如图，D,E分别是△ABC边AB,AC的中点，连接BE,DE,若 试卷第3页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 思危光乡笔 ∠AED=∠BEC,DE=2 ,则BE的长为 D 12.元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋 子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张.已知有300人参加这个游 戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是一个。 13.近年来，太湖区域环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为监测太湖某湿地 过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤， 戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率， 绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤。 只 个频率 0.4 0.3 0.2 0.1 0 102030405060708090100数量 2x+1<3 3 14,若关于x的一元一次不等式组4x-2<3x+a的解集为x≤4'且关于y的分式方程 a-8 y =1 y+2y+2的解均为负整数，则所有满足条件的整数Q的值之和是 15.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC,交AD边于E,若BC=9, CD=5,则DE的长度为 试卷第4页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日赛。 巴危光乡笔 B 16.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线ACBD相交于点M.过点D作 AC的平行线交BC的延长线于点N,连接MN.则MN的长为 D M 三、解答题（本大题共10小题，满分76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17.(4分)解分式方程：X+1X0. 18.(4分)计算题： 1 a)8-4-25 -20.5) a2ixV7+(42-2V6+2N2 19.(4分)因式分解 13a+3a-6a (2)-18r2+81 20.(8分)如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD交AD的延长线于点E. D 试卷第5页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 巴危光乡笔 (I)请用尺规作图：过点C作CF⊥AE于点F,连接BF.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：四边形BECF是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证明：BE⊥AD,CF⊥AE ∴.∠BED=∠CFD=90 :AD是△ABC的中线 …① 在△BED和△CFD中 '∠BED=∠CFD ② BD=CD ,∴.△BED≌△CFD ③ :∠BED=∠CFD=90 ④ ∴四边形BECF是平行四边形. 21.(8分)已知：如图，矩形ABCD B (I)尺规作图：在CD边上找一点E,将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不 写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作图形中，若AB=3,BC=5,求CE的长 22.(8分)“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生 产的一批头盔质量检测的情况。 抽取的头盔 500 1000 1500 2000 3000 4000 数 合格品数 986 1470 1964 2949 3932 试卷第6页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 供危光乡笔 合格品频率 0.982 0.986 0.980 0.983 0.983 (1)求出表中a b= (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 23.(8分)植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该 种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 n 成活的棵 37 77 a 316 640 800 数m 成活的频 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b m 率n (1)完成上述表格： q= b= (2)这种树苗成活的概率估计值为 (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 24.(8分)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.小洋在网上开设相关周边专 卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒 玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同， (1)问：A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打 算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据 计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 25.(10分)【阅读下列材料】 若>0b>0,则a=a,6=(,6-=a+6-2历（注：a6=西）. .(Wa-Vb)2≥0，a+b-2Vab≥0，∴.a+b≥2Vab “a+b≥2ab”称为“基本不等式”， 利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题.(a、b为正数；积定和最小：和定积 试卷第7页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 思危光乡笔 最大：当a=b时，取等号.) 【例】：若a>0,b>0,ab=16,求a+b的最小值. 解：a>0,b>0ab=16a+h-2b≥0 ∴.a+b≥2Vab=8 ∴.a=b=4时，a+b的最小值为8. 【解决问题】 (1)若m>0,n>0,m+n=24,求mn的最大值： (2)用篱笆围成一个面积为144m的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆 最短？最短篱笆的长是多少： (3)用一段长为80m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积 最大？最大面积是多少 26.(12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在边AD, BC上，且AE=CP.将该纸片沿EF折叠，点A,B分别落在点G,H处，H与边AD 相交于点M,连接E. (1)△EFM面积的最小值为()： (2)求证：DM=M; (3)若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长. H A M D 试卷第8页，共26页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年苏科版八年级下册期末基础巩固卷 （假期复习使用） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．下列事件中，最适宜采用抽查方式的是（     ） A．调查某市居民的防诈意识 B．调查本班同学对“苏超”的知晓率 C．调查“歼20”战机各零部件的质量 D．订购校服，了解学生的尺寸 【答案】A 【来源】上海市虹口区2025-2026学年六年级下学期期末学习能力诊断练习六数学试卷 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】根据适用场景判断：当调查范围大，不需要获取每一个个体的精准结果时，适宜采用抽查；当调查范围小，要求结果精准或事关重大安全时，适宜采用普查． 【详解】解：逐一判断选项： ∵选项A调查某市居民的防诈意识，调查范围大，涉及人数多，不需要得到每个居民的结果，∴适宜抽查； ∵选项B调查对象仅为本班同学，范围小人数少，∴适宜普查，不符合要求； ∵选项C“歼20”战机零部件质量事关飞行安全，每个零件都必须检验合格，∴适宜普查，不符合要求； ∵选项D订购校服需要获取每个学生的准确尺寸，∴适宜普查，不符合要求． 2．下列说法正确的是（    ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【来源】2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷 【知识点】概率的意义理解、判断事件发生的可能性的大小、事件的分类 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【来源】人教版八年级下 第十八章 平行四边形 综合练习（1） 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 4．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【来源】山东省东营市胜利第六十二中学2025-2026学年第一学期八年级期末质量检测数学试题 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 5．两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（    ） A．图形②与③的面积差 B．图形②与③的周长差 C．图形②与③的面积和 D．图形②与③的周长和 【答案】B 【来源】专题19 特殊平行四边形-备战2022年中考数学母题题源解密（浙江专用） 【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解、整式加减的应用 【分析】根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形①、④的面积，根据题意得到（x-y）为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a， 图形④的面积=（2x-a）（2y-a）=（4xy-2ax-2ay+a2）， 图形①的面积=（x+y-a）（x+y-a）=（x2+y2+2xy+a2-2ax-2ay）， ∴图形①与图形④的面积差=（x2+y2+2xy+a2-2ax-2ay）-（4xy-2ax-2ay+a2）=（x2+y2-2xy）=（x-y）2， 图形②的面积=（a-y）2=a2-2ay+y2， 图形③的面积=（a-x）2=a2-2ax+x2， ∴图形②与图形③的面积差=a2-2ay+y2-（a2-2ax+x2）=-2ay+y2+2ax-x2， 故A选项不符合题意； 图形②与图形③的面积和=a2-2ay+y2+（a2-2ax+x2）=2a2-2ay+y2-2ax+x2， 故C选项不符合题意； 图形②的周长=4（a-x）， 图形③的周长=4（a-y）， ∴图形②与图形③的周长和=4（a-x）+4（a-y）=8a-4y-4x， 故D选项不符合题意； ∴图形②与图形③的周长差=4（a-x）-4（a-y）=4（y-x）， 又∵图形①与图形④的面积差=（x-y）2，为已知，即（x-y）为已知， 故B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质、全等图形和正方形的性质，解题的关键是根据用字母根据矩形和正方形的性质表示出各条线段． 6．已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市南开中学2024——2025学年下学期八年级数学半期考试 【知识点】分式的求值、分式无意义的条件 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式有可能是． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式的分子可能为， ∴分式有可能是， 故选：． 7．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省西安市长安区杨庄街道初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 8．如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市巴川中学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，通过，于是得到．由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，于是求得，得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． 故答案为：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是_________________． 【答案】 【来源】重庆市璧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．先解不等式组，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正数解，确定出的值且，把所有满足条件的整数的值相加即可得到答案． 【详解】， 由①得: ， 由②得 ， ∵一元一次不等式组的解集为 ， ， ， 分式方程去分母得： ， ∵分式方程的解是正数， ∴且， 或 或 或 或， ∴所有满足条件的整数的值之和为 故答案为：． 10．若，，则代数式的值是________． 【答案】2 【来源】2024年江苏省徐州市中考数学试题 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 11．如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________    【答案】4 【来源】2024年浙江省中考数学试卷 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 12．元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是______个． 【答案】24 【来源】初三数学第一学期3.2.1用频率估计概率同步练习 【知识点】由频率估计概率、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率， 由题意得，， 解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 估计袋子中白球的数量是24个． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了利用样本估计总体和频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 13．近年来，太湖区域环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为监测太湖某湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤________只．    【答案】200 【来源】江苏省苏州市苏州工业园区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】折线统计图、根据数据描述求频数 【分析】用“频数÷频率=总数”可得答案． 【详解】解：（只）， 即估计该湿地约有灰鹤200只． 故答案为：200． 【点睛】本题考查了频数分布折线图，频数与频率，掌握“频数÷频率=总数”是解答本题的关键． 14．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】 【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 15．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【来源】北京师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期统练一数学试题 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 16．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 【答案】 【来源】2025年江苏省无锡市中考数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）解分式方程：． 【答案】 【来源】2025年浙江省中考数学试卷 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 18．（4分）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】专题16.16 二次根式的运算100题（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版） 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】（1）先进行二次根式的化简，再去掉括号合并即可； （2）根据二次根式的运算顺序，先进行乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）原式 =； （2）原式 =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 19．（4分）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】上海市进才中学北校2025--2026学年七年级数学上学期期中考试卷 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（8分）如图，是的中线，交的延长线于点． (1)请用尺规作图：过点作于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证明： 是的中线 ①_____ 在和中 ③_____ ④_____ 四边形是平行四边形． 【答案】(1) 如图即为所求； (2)；；； 【来源】2026年重庆一中初2026年九年级下学期期第一次模拟测试数学试题卷 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是平行四边形、根据三角形中线求长度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）通过证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．（8分）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【来源】2025年江苏省淮安市中考数学试题 【知识点】矩形与折叠问题、作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 22．（8分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中______，______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)， (2)； (3)该厂估计要生产5000顶头盔 【来源】辽宁省阜新市实验中学2024-2025学年七年级下学期限时作业（期中）数学试卷 【知识点】由频率估计概率、根据数据填写频数、频率统计表、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 23．（8分）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下至少需要买棵树苗 【来源】江苏省南京市联合体2024-2025学年下学期期中学情分析样题八年级数学试卷 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 24．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【来源】2025年山东省青岛大学附属中学九年级中考模拟数学试题 【知识点】分式方程的其它实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 25．（10分）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【来源】宁夏回族自治区石嘴山市惠农区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】二次根式的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 26．（12分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．将该纸片沿EF折叠，点A，B分别落在点G，H处，FH与边AD相交于点M，连接EH． （1）△EFM面积的最小值为（） ； （2）求证：DM＝HM； （3）若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长． 【分析】（1）利用折叠的性质和矩形的性质得到ME＝MF，利用三角形的面积公式和垂线段最短的性质得到当ME最小时，△EFM面积取得最小值； （2）连接FD，利用折叠的性质和矩形的性质得到CF＝GE，利用全等三角形的判定与性质得到EH＝DF，∠EHG＝∠FDC，通过证明△HME≌△DMF即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，利用折叠的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质BN＝NF＝CF，则结论可求；②当EH＝HF时，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得到点H落在AD上，连接BE，由折叠的性质可得：BE＝HE，设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：∠BFE＝∠MFE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠MEF＝∠BFE， ∴∠MEF＝∠MFE， ∴ME＝MF， ∵，CD＝AB＝4， ∴当ME最小时，△EFM面积取得最小值， ∴当MF⊥AD时，MF取得最小值4， ∴△EFM面积的最小值为8． 故答案为：8； （2）证明：连接FD，如图， 由折叠的性质可得：∠G＝∠A＝∠GHF＝∠B＝90°，AE＝GE，AB＝GH， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴CD＝GH，∠G＝∠C＝90°， ∵AE＝CF， ∴CF＝GE． 在△HGE和△DCF中， ， ∴△HGE≌△DCF（SAS）， ∴EH＝DF，∠EHG＝∠FDC， ∴∠EHM＝∠FDM． 在△HME和△DMF中， ， ∴△HME≌△DMF（AAS）， ∴DM＝HM； （3）解：若△EFH是以EH为腰的等腰三角形， ①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，如图， 由折叠的性质可得：BE＝HE， ∵EH＝EF， ∴BE＝EF， ∵EN⊥BC， ∴BN＝NF， ∵∠A＝∠ABC＝90°，EN⊥BC， ∴四边形ABNE为矩形， ∴AE＝BN， ∵AE＝CF， ∴BN＝NF＝CF， ∵BC＝8， ∴BN＝NF＝CF， ∴AE＝CF； ②当EH＝HF时， ∵EH＝HF， ∴∠HEF＝∠HFE， 由折叠的性质可得：∠BFE＝∠HFE， ∴∠BFE＝∠HEF， ∴HE∥BF， ∴此时点H落在AD上，连接BE，如图， 由折叠的性质可得：BE＝HE， 设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3． ∴AE＝3． 综上，若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，AE的长为或3． 试卷第26页，共26页 试卷第25页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $