2.1 课时2+无理数 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“实数”章节中平方根与无理数核心知识，以面积为2的正方形边长问题导入，通过逐步计算缩小√2范围，引导学生发现无限不循环小数特征，进而抽象出无理数概念，再延伸至平方根、算术平方根的定义与性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“√2范围估计”培养抽象能力与推理意识，“议一议”辨析无理数特征发展批判性思维，例题结合计算器操作与近似值应用强化应用意识。学生能建立数系扩展认知，教师可依托结构化流程与互动素材提升教学效率。

第二章 实数 共2课时 第一节 平方根 问题导入 问题：一个面积为2的正方形的边长为____________. 思考： 是一个什么样的数呢？你能求出它的一个大致范围吗？ 你能找出它在哪两个整数之间吗? 已知， ∵ 12<2，2<22， ∴1<<2. 1<<2表示介于1与2之间。 12 = 1， 22 = 4； 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164 1 .414²=1.999396， 1.415²=2.002225; 1.4142²=1.99996164， 1.4143²=2.00024449; … … 问题1：观察下列结果，估计 2 的算术平方根 的大致范围. 都比2小 都比2大 解：由于12<2，2<22，所以1<<2. 由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5. 同理可得，1.41<<1.42，1.414<<1.415，1.4142<<1.4143. 1<<2表示 介于 1 与 2 之间. 问题2：若将写成一个小数，则它是一个怎样的小数？ 是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数. 若将写成一个小数，则由（1）可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. = 1.414213562… 像这样，若一个数是无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数. = 1.414213562… π = 3.141592653… = 1.732050807… = 2.236067977… 无理数 正无理数 如： 负无理数 如： 沿虚线对折 再沿虚线对折 展开铺平 剪开拼图 拼接起来的正方形的面积是多少？边长是多少？ 拼接起来的正方形的面积是2，但边长不会求！ 小明将一个长为2，宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 小明将一个长为2，宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 沿虚线对折 再沿虚线对折 展开铺平 剪开拼图 这个问题的实质就是找一个数，使它的平方等于给定的数. 拼接起来的正方形的面积是多少？边长是多少？ 如果有一个数r，使得r²=a，那么把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根. 若 r2= a，则 r 是 a 的一个平方根. 例如，由于2²=4，因此2是4的一个平方根 . 又因为(-2)²=4，因此-2是4的一个平方根 . 新知探究 思考 观察下列结果： 12 = 1， 22 = 4； 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164 1 .4142=1.999396， 1.4152=2.002225; 1.41422=1.99996164， 1.41432=2.00024449; … … (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数? 新知探究 解：由于12<2，2<22， 所以1<<2. 由于1.42<2<1.52， 所以1.4<<1.5. 同理可得，1.41<<1.42，1.414<<1.415，1.4142<<1.4143. (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围; 新知探究 (2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数? 解：若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. 事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数. 议一议： 下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由. （1）无限小数都是有理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是带根号的小数. 解：（1）不正确，无限不循环小数是无理数； （2）正确； （3）不正确，根号内的数无法开尽的才是无理数， 如 =2，是有理数； （4）不正确，π也是无理数. 我们常见的无理数的有以下三种形式： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数； (3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0） 4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗? 边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以比2大的数都不是4的平方根. 类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，从而比2小的正数都不是4的平方根. 又由于(-b)²=b²，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根，0显然不是4的平方根； 所以4的平方根有且只有两个:2与-2. 即：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 如：因为0.32=0.09， 所以±0.3是0.09的平方根. 因为22=4， 所以±2是4的平方根. 如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r. 我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”； 把a的负平方根记作 ，读作“负根号a”. 这样，正数a的平方根可以用 “ ”来表示. 如：4的平方根是2与-2，记作： 新知探究 定义 若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数部分的数字不循环. π=3.141 592 653… ， =1.732 050 807… ， =2.236 067 977… ， =2. 645 751 311…，它们都是无理数. 新知探究 无理数的分类：无理数分为正无理数和负无理数. 例如， ，，π是正无理数，，，π是负无理数. 无理数 正无理数 负无理数 把下列各数分别填入相应的集合内： 有理数集合 无理数集合 (每两个3之间依次增加一个7) (每两个3之间依次增加一个7) π = 3.1415926··· 精确到小数点后面第二位 ___________. 精确到小数点后面第三位 ___________. π ≈ 3.14 π ≈ 3.142 3.14，3.142，3.1416，··· 都是 π 的近似值，称它们为近似数. 根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数. (-4)2算术平方根记作什么？2的平方根记作什么？ 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，一个正数只有一个算术平方根. 零的平方根是多少？负数有平方根吗？ 由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根. 新知探究 议一议：下面的说法正确吗? 如果不正确，请说明理由. (1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数； (3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数. 解：(1) 不正确. 如π，是一个无限不循环小数，属于无理数； (2)正确.无理数都是无限不循环小数，无限循环小数是有理数； (3)不正确.如=2 属于有理数. (4)不正确.如π是无理数，它不带根号. 新知探究 无理数的三种常见形式 1.开方开不尽的数，如，，，。 2.含有π的一类数，如2π，π+1，。 3.以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如0.1010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 例1 用计算器求下列各式的值. (1) ; 解：(1) 依次按键： 显示：32. 所以=32. 1 2 0 4 = 因为322=1024，所以32是的精确值. 不同型号的计算器，操作可能不同. (2 (结果精确到小数点后面第三位). 解：(2) 依次按键： 显示：2.828427125. 所以≈2.828. 8 = “精确到小数点后面第三位”也可以说成“精确到0.001”或“精确到千分位”或“保留三位小数”. 注意：用计算器验证可知，2.8284271252=8.000000001435765625,它也不是的精确值，而是近似值，是一个无理数. 成立吗？若不成立，请举例说明. 解：不成立. 例如：因为 所以. 总结： 由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a. 正数的平方根： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 “0”的平方根： “0”的平方根是0。 负数的平方根： 负数没有平方根。 正数的算术平方根： 一个正数只有一个算术平方根 “0”的算术平方根： 0的算术平方根是0。 负数的算术平方根： 负数没有平方根。 归纳 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非负数叫作被开方数。 新知探究 思考：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？ 例如π=3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是π的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值. 3.14，3.142，3.1416，...都是π的近似值，称它们为近似数. 例题精讲 例2 用计算器求下列各式的值. (1) ; (2) （精确到小数点后面第三位） 解：(1) 依次按键： 显示：32 所以=32 1 0 2 4 = (2) 依次按键： 显示：2.828427125 所以≈2.828. 8 = 不同型号的计算器，操作可能不同. 无理数 无理数的概念： 无理数分类: 无理数的表现形式: 无限不循环小数叫做无理数. ①小数形式：无限不循环小数； 正无理数 负无理数 ②根式形式：开不尽方的根式； ③混合形式：化简后含有无限不循环小数或开不尽方的根式. $