云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷二

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D C D C A D BC BCD ACD 12．． 13． 14． 15．（1） （2）证明见解析 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列，设数列的公差为，则，故，所以，故． （2）因为，所以 ，故原不等式成立． 16．（1）证明：取中点，连接，，如图所示， G为中点，则，又，得， 由，，得，所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2），易知，又，得． 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有． 如图，以为原点，，分别为，轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，， ，，设平面的一个法向量为，则， 令，有，，得，，设点到平面的距离为， ． 17．（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；（2）． 【详解】解：（1）因为函数，所以的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得，所以在上单调递减；在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增． （2）当时，，所以． 设，则， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 故． 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以成立； 当时，，且在上单调递增， 所以成立； 当时，在上单调递减； 则有，不合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 18．（1）0.5 （2）0.1889 （3）分布列见解析，3.49 【详解】（1）记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为， 由两人的进球数相同可以是或， 则． （2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为， ，． 因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况： ①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为． ②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为． ③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为． 故甲、乙两人最终平局的概率为． （3）的所有可能取值为2，3，4． ， ， ． 的分布列为 2 3 4 0.17 0.17 0.66 ． 19．（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）（ⅰ）点绕直线旋转一周所得图形为圆，过作，垂足为； 过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， ，，，平面， 所以平面．因为平面，所以， 即到的距离为． 而，，所以． 所以绕直线旋转一周后所得图形周长为． （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 而为上任意一点，旋转后与平面的交点为， 设旋转过程中到的距离与到的距离相等且垂足相同． 到的距离为，到的距离为， 所以，整理得． （ⅱ）由题意知的斜率存在，设为，则：． 如图，作出符合题意的图形，设，． 联立，整理得． 根据韦达定理，． ，在轴的两侧，即． ，此时恒成立． 可得 ， 代入韦达定理整理得， 而， 当最小时，， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷二 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数是奇函数，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．学校开展活动，要求每位同学从《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为 A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C． D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 10．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递减 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是 D．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则 11．已知椭圆：，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为和．下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 三、填空题 12．若的展开式中的系数为，则实数的值为____________． 13．圆内有一点，为过点的弦．当弦被点平分时，则直线的方程为____________． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则当取最大值时的周长为____________． 四、解答题 15．已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前项和，证明：． 16．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离． 17．已知函数 （1）判断函数的单调性； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8．每轮点球比赛的结果相互独立． （1）求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； （2）求甲、乙最终平局的概率； （3）记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 19．如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线旋转一周，旋转后所得的图形与平面的交线为． （1）为上靠近的三等分点，求绕直线旋转一周后所得图形的周长； （2）在平面内以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （ⅰ）求的轨迹方程； （ⅱ）为平面内且不在上的定点，过的直线与有2个交点、，若、在直线的两侧，求的最小值（用，表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $