2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（十五）（人教B版选择性必修第二册第四章 概率与统计）

**基本信息** 聚焦概率与统计模块，以情境化题型整合古典概型、数据特征、统计图表等核心知识，强化知识应用与逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率|3题（单选1/3/4、填空7）|结合实际情境（科举录取、抽球、赛制）考查古典概型、互斥事件概率|从基本概念（互斥事件）到复杂情境概率计算，构建“定义-公式-应用”逻辑链| |统计|5题（单选2、多选6、填空8、解答9）|通过频率分布直方图、茎叶图考查数据特征（中位数、平均数、方差）及图表应用|从数据收集（抽样）到图表分析（直方图、茎叶图）再到特征计算，形成统计推断完整链条|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十五） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章 概率与统计。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为，则北卷录取人数为(    ) A. B. C. D. 2.名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取名学生的成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是(    ) 频率分布直方图中的值为 估计这名学生竞赛成绩的第百分位数为 估计这名学生竞赛成绩的众数为 估计总体中成绩落在内的学生人数为 A. B. C. D. 3.已知甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，各个球的大小与质地相同．现从甲、乙两袋中依次不放回地各取个球，若从甲袋中取出的个球的颜色不相同与从乙袋中取出的个球的颜色不相同的概率相等，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.在编号分别为的名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以所得的余数如果恰好为，则选编号为的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是 A. 事件与为互斥事件 B. 事件两两相互独立 C. D. 6.数术记遗记述了积算即筹算、珠算、计数等共种算法．某研究学习小组共人，他们搜集整理这种算法的相关资料所花费的时间单位：分别为，，，，，，则这组时间数据(    ) A. 极差为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 方差为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则          ． 8.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球队各名球员某份比赛的得分数据单位：分若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照，，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在内的学生有人． 求频率分布直方图中和的值； 估计样本数据的中位数和平均数求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表． 10.本小题分 第届亚运会共设个竞赛大项与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每支队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两支队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组之前进入到败者组的两支队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为、、、，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为最初分组时同组，同组． 若，在淘汰赛赛制下，、获得冠军的概率分别为多少 分别计算两种赛制下获得冠军的概率用表示，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平” 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十五） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为，则北卷录取人数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查分层随机抽样，属于基础题． 由分层抽样的抽取比例乘以样本容量即可求解． 【解答】 解：会试录取人数为时，根据分层抽样的性质可知， 北卷录取人数为． 故选：． 2.名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取名学生的成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是(    ) 频率分布直方图中的值为 估计这名学生竞赛成绩的第百分位数为 估计这名学生竞赛成绩的众数为 估计总体中成绩落在内的学生人数为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：对于：因为，可得，故正确； 可知每组的频率依次为， 对于：前三组的频率和为， 所以这名学生竞赛成绩的第百分位数为，故正确； 对于：因为的频率最大，所以这名学生竞赛成绩的众数为，故错误； 对于：总体中成绩落在内的学生人数为，故正确． 故选：． 3.已知甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，各个球的大小与质地相同．现从甲、乙两袋中依次不放回地各取个球，若从甲袋中取出的个球的颜色不相同与从乙袋中取出的个球的颜色不相同的概率相等，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了古典概型及其计算，是基础题． 根据古典概型公式得出方程求解即可． 【解答】 解：设事件为“从甲袋中取出的个球的颜色不相同”， 事件为“从乙袋中取出的个球的颜色不相同”， 则，， 所以，解得或． 4.在编号分别为的名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以所得的余数如果恰好为，则选编号为的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查古典概型的计算与应用，属于拔高题． 先计算出抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和的可能取值及其每一个取值的概率，针对选项，求出每种情况下的概率和，若所有的情况的概率都相等，则是公平的，若某两个结果不相等，则不公平，由此逐一判断即可． 【解答】 解：抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和的可能取值为：，，，，，，，，，，． 则，，，，，，，，，，． 对于，时，两位同学编号分别为和， 则点数之和除以得到余数为的分别是，，，，，， 则编号为的同学被选中的概率为； 同理可得，编号为的同学被选中的概率为，所以是公平的； 对于，时，三位同学编号分别为，，， 则点数之和除以得到余数为的分别是，，，，则编号为的同学被选中的概率为； 同理可得，编号为的同学被选中的概率为； 编号为的同学被选中的概率为，所以是公平的； 对于，时，四位同学编号分别为，，，， 则点数之和除以得到余数为的是，，，则编号为的同学被选中的概率为； 点数之和除以得到余数为的是和，则编号为的同学被选中的概率为，由可得是不公平的； 对于，时，六位同学编号分别为，，，，，， 则点数之和除以得到余数为的分别是和，则编号为的同学被选中的概率为； 同理可得，编号为，，，，的同学被选中的概率为，所以是公平的． 故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是 A. 事件与为互斥事件 B. 事件两两相互独立 C. D. 【答案】BC  【解析】解：对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故 A错误； 对于选项B，因为，，， ，又有， 所以可得， 所以，事件两两相互独立，故 B正确； 对于选项C，，故 C正确 对于选项D，交集为 ，则，故 D错误． 故选：． 6.数术记遗记述了积算即筹算、珠算、计数等共种算法．某研究学习小组共人，他们搜集整理这种算法的相关资料所花费的时间单位：分别为，，，，，，则这组时间数据(    ) A. 极差为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 方差为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查平均数、中位数，方差、极差，属于基础题． 根据极差、中位数、平均数、方差的定义计算可得． 【解答】 解：这组数据从小到大排列为、、、、、、， 极差为，故 A正确； 中位数为，故 B错误； 平均数为， 故C正确； 方差为 ， 故D错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对立事件的概率公式，同时也涉及了互斥事件的概率，属中档题． 根据对立事件的概率公式与互斥事件的概率公式求解即可． 【解答】 解：由题意事件，它们都不发生的对立事件， 于是可得， 又， 所以， 所以， 答案：． 8.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球队各名球员某份比赛的得分数据单位：分若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查茎叶图，属于基础题． 根据茎叶图进行数据分析，列方程求出、即可求解． 【解答】 解：由题意，甲的中位数为：，故乙的中位数 ， ， 因为平均数相同，所以， 由可得，， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照，，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在内的学生有人． 求频率分布直方图中和的值； 估计样本数据的中位数和平均数求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表． 【答案】解：由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在内的频率为， 则， 由各组频率之和为，可知，解得 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以样本数据的中位数在第组，设为，  所以，解得， 估计样本数据的中位数是分钟． 估计平均数是分钟   【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、中位数，是基础题． 先得出学生每天体育锻炼的时间在内的频率，可得的值，再根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得出的值； 根据中位数和平均数的公式计算可得． 10.本小题分 第届亚运会共设个竞赛大项与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每支队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两支队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组之前进入到败者组的两支队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为、、、，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为最初分组时同组，同组． 若，在淘汰赛赛制下，、获得冠军的概率分别为多少 分别计算两种赛制下获得冠军的概率用表示，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平” 【答案】解：要获得冠军，必须先战胜，然后在总决赛中战胜对决的胜者， 战胜的概率为，战胜的概率为，战胜的概率为， 若战胜，在总决赛战胜的概率为； 若战胜，在总决赛战胜的概率也为，根据独立事件概率的乘法公式， 要获得冠军的概率为：， 要获得冠军，必须先战胜，然后在总决赛中战胜对决的胜者， 战胜的概率为，战胜的概率为， 若战胜，在总决赛战胜的概率为； 若战胜，在总决赛战胜的概率为，根据独立事件概率的乘法公式， 要获得冠军的概率为：． 记两种赛制下获得冠军的概率分别为、， 在淘汰赛制下，获得冠军的概率为， 在双败赛制之下，讨论进入胜者组、败者组两种情况， 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可获得冠军； 若在胜者组胜利，后一局与败者组胜者比赛胜，方可获得冠军； 当进入败者组，后三局都胜，方可获得冠军， 综上，获得冠军的概率为， 令， 若为强者，则，，即， 双败赛制之下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小， 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率更大，弱者拿到冠军概率变低， 更有利于筛选出强者，很多人质疑的“对强者不公平”是不对的． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十四） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第三章 排列、组合与二项式定理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 2.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为(    ) A. B. C. D. 3.现有语文数学英语物理各本书，把这本书分别放入个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为(    ) A. B. C. D. 4.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为 C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为 6.下列说法正确的是(    ) A. 集合的子集共有个 B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种 C. 封信投入个信箱，不同方法数有种 D. 个三好学生名额分给个班，每个班至少一个名额，不同方法数有种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.的展开式中的常数项为            ． 8.某市的个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有          种． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某社团共有学生名，其中有名男生和名女生，现从中选出人去参加一项创新大赛列式表明计算过程，结果用数字表示 如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法 如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法 10.本小题分 已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是． 求的值 求其二项式系数之和与各项系数之和的差． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $