2.1平方根第一课时 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦平方根与算术平方根的概念、性质及开平方运算，通过铺地垫求边长和剪拼长方形为正方形的实际问题导入，从具体面积计算过渡到平方逆运算，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动，通过剪拼活动培养几何直观和抽象能力，结合4的平方根探究过程发展推理意识。用对比表清晰呈现平方根与算术平方根的区别联系，符号表达规范。助力学生提升符号意识与逻辑推理，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

2.1 平方根 课时1 平方根和算术平方根 学 习 目 标 1 2 3 理解平方根、算术平方根的概念，明确平方根的性质及开平方与平方的逆运算关系。 能正确求非负数的平方根与算术平方根，会判断数是否存在平方根。 通过剪拼活动感受数形结合，提升符号意识与逻辑推理能力。 某家庭在装修儿童房时需铺地垫 10.8 m2，刚好用去正方形的地垫 30 块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？ 解：每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2)， 即边长×边长 = 0.36. 由于 0.62 = 0.36， 因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m. 说一说 小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按下面方法剪拼成一个正方形.由此你能发现这个正方形的面积是多少？它的边长呢？ 展开铺平 剪开拼图 沿虚线对折 再沿虚线对折 1 1 1 1 1 1 1 1 正方形的面积是2，但不知道边长. 由 S正方形 = 边长2, S正方形 = 2, ( ？ )2 = 2. 这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数. 又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根. 0 显然不是 4 的平方根. 所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2. 互为相反数 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r. 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ， 读作“根号 a”； 正数 a 的负平方根记作 ， 这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”. 新知探究 抽象 如果有一个数r，使得r2=a，那么r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根. 若r2=a，则r是a的一个平方根. 注意 平方根的定义中a是非负数，即a≥0. 新知探究 思考： 4的平方根是什么？ 4的平方根是， 由于22=4， 因此2是4的一个平方根. 又因为(2)2=4， 所以2也是4的一个平方根. 新知探究 ∵边长大于2的正方形的面积一定大于4， ∴比2大的数都不是4的平方根. ∵边长小于2的正方形的面积一定小于4， ∴比2小的正数都不是4的平方根. 又∵(b)2=b2 ∴大于2或小于2的负数都不是4的平方根. 又∵0显然不是4的平方根. ∴4的平方根有且只有两个：2与2. 探究：4的平方根除了2和2以外，还有其他的数吗？ 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根. 如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说， 例如，22 = ( ) 因为( -2 )2 = ( ) 是 的一个平方根. 4 4 4 4 -2 2 是 的一个平方根. 思考：4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？ 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根. 边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根. 0 显然不是 4 的平方根，所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2. 互为相反数 由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. x2 = a （x ≥ 0，a ≥ 0） 根号 被开方数 （a 是非负数） 读作“正、负根号 a” 开平方 平方 互为逆运算 根据这种关系，可以求一个数的平方根. 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根. 4 的平方根是________， 4 的算术平方根是________， 2 的算术平方根是________. 2 的平方根是________， 新知探究 性质 如果是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：与. 正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”； 正数a的负平方根记作，读作“负根号a”. 这样，正数a的两个平方根可以用“±”来表示，读作“正、负根号a”. 新知探究 1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数 . 一个正数只有一个算术平方根. 2.算术平方根具有双重非负性： ①根号内的数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根是非负数，即 ≥0. 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r. 正数a的正平方根叫作a的算术平方根， 记作： ,读作： 根号a. 正数a 正的平方根表示为： ,读作：根号a. 负的平方根表示为： ,读作：负根号a. 即 a的平方根表示为： ,读作：正、负根号 a. ｛ 思考：0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 因为02 = 0，所以0的平方根就是0本身. 由于任何一个数的平方都不会是负数，因此，负数没有平方根. 0的平方根也叫作0的算术平方根. 记作： ， 正数平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非负数叫作被开方数. 根号“ ”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根. a 开平方 平方 例如，9 的平方根是±3，±3 的平方是 9. 思 考 0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 0 有一个平方根，就是 0； 负数没有平方根. 例 1 分别求下列各数的平方根： （1）36；（2） ；（3）1.21. 解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 . （2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ， 即 . 例 1 分别求下列各数的平方根： （3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 . （1）36；（2） ；（3）1.21. 新知探究 说一说：小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 沿虚线对折 再沿虚线对折 新知探究 展开铺平 剪开铺平 面积：2 边长： 例 2 分别求下列各数的算术平方根： （1）100；（2）1.96；（3） . 解：（1）因为 102 = 100， 所以 . （2）因为 1.42 = 1.96，所以 . （3）因为 ( )2 = ，所以 . 说说你发现了什么规律？ 正数越大，它的算术平方根也越大. 平方根与算术平方根的区别与联系： 类别 名称 平方根 算术平方根 区别 定义不同 个数不同 表示方法不同 结果不同 联系 具有包含关系 存在条件相同 一般地，如果一个数 r的平方等于 a，即 r2 = a，那么这个数 r 就叫作 a 的平方根. 一般地，如果一个正数 r 的平方等于 a，即 r2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根. 两个，且互为相反数 一个 一正一负 正数 平方根包含了算术平方根 被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0. 课堂小结 平方根的定义：如果有一个数r，使得r2=a，那么r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，若r2=a，则r 是a 的一个平方根. 平方根的性质： (1)正数有两个平方根，且它们互为相反数； (2) 0 的平方根就是0 本身； (3)负数没有平方根. 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 课堂小结 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根. 1. 平方根的定义 2. 平方根的性质 （1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数； （2）0 有一个平方根，就是 0； （3）负数没有平方根. $