1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“运用乘法公式进行计算和推理”，核心知识点为平方差公式与完全平方公式。课堂导入通过回顾公式并强调字母可代表单项式或多项式，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生思考计算方法选择。 其亮点在于例题设计层次递进，融入交换律、整体思想等，如将三项式转化为平方差公式结构，结合实际问题（如正方形边长计算）培养运算能力与推理意识。课堂小结用“三招”及口诀总结，帮助学生形成模型意识，既提升学生解题能力，也为教师教学提供清晰思路。

1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 第1章 整式的乘法 新知导入 回顾： 什么是平方差公式和完全平方公式？ 平方差公式： (x+y)(xy)=x2y2 完全平方公式2： (xy)2=x22xy+y2 完全平方公式1： (x+y)2=x2+2xy+y2 注意 x,y可以是单项式，也可以是多项式。 怎样计算下列各题？ （3）(x + y + 4)(x + y - 4). （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； （2）(a + 3)2 (a - 3)2； 运用乘法公式进行计算 讨论：选择什么 方法呢？ 1 运用乘法公式进行计算和推理 教学过程 第1页：复习导入（3分钟） 1. 提问回顾：多项式乘多项式法则是什么？请用字母表示。（学生回答：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn） 2. 引出问题：当多项式特殊时，是否有简便算法？计算：(x+1)(x-1)、(2a+b)(2a+b)，引导学生观察结果特点，导入乘法公式主题。 第2页：平方差公式推导与理解（8分钟） 1. 推导：引导学生计算(a+b)(a-b)，结合多项式乘法法则展开得a²-ab+ab-b²，合并同类项后得出平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。 2. 解读：强调公式结构特征——两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差；明确“a、b可表示数、单项式或多项式”。 第3页：完全平方公式推导与理解（8分钟） 1. 推导：计算(a+b)²和(a-b)²，展开后分别得到a²+2ab+b²和a²-2ab+b²，总结完全平方公式。 2. 解读：对比两个公式，强调“积的2倍项符号”差异；通过图形面积（正方形边长增减）辅助理解公式几何意义。 第4页：公式应用例题（12分钟） 1. 基础计算：例1：(3x+2y)(3x-2y)（平方差公式）；例2：(2m-3n)²（完全平方公式），分步演示代入过程，规范书写步骤。 2. 变式推理：例3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值（引导学生逆用完全平方公式：a²+b²=(a+b)²-2ab），讲解公式逆用思路。 第5页：巩固练习与课堂小结（4分钟） 1. 快速练习：口算(5+a)(5-a)、(x+4)²，抽查学生回答，纠正常见错误（如完全平方公式漏写2ab项）。 2. 小结：回顾平方差、完全平方公式的结构与特征；强调“正用、逆用”的关键——找准公式中的“a、b”，灵活匹配表达式结构。 平方差公式 = x4 - 1. （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； 交换律 （2）(a + 3)2 (a - 3)2. = a4 - 18a2 + 81. 逆用积的乘方 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) = (x2 - 1)( x2 + 1 ) 解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2 = (a2 - 9)2 （3）(x + y + 4)(x + y - 4) . = (x + y)2 - 16 = x2 + 2xy + y2 - 16. 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y) - 4] 例1 用乘法公式计算下列各题 = x4 - 81. = 16x4 - 72x2 + 81. 运用什么运算律？ 积的乘方的逆用 (2) (2x + 3)2(2x - 3)2 总结： 要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）. 交换律 典例精析 例2 怎样才能用完全平方公式呢？ 运用乘法公式计算： （1）(a + b + c)2； （2）(a + b - c)2. 根据计算结果，你能发现什么规律？ (a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc. = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a + b + c)2 新知探究 做一做：运用乘法公式计算： (x+1)(x2+1)(x1). 先观察式子特征，看能否运用乘法公式。 = x4 1. 解：原式 = (x+1)(x1)(x2 +1) = (x21)(x2+1) 交换律 = [(x+1)(x1)](x2 +1) 结合律 运用交换律和结合律改变运算顺序，再连续运用平方差公式. 新知探究 举一反三：运用乘法公式计算： (3x1)(9x2+1)(3x+1). = 81x4 1. 解：原式 = [(3x1)(3x+1)](9x2+1) = (9x21)(9x2+1) 例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c). 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 例4 运用乘法公式计算: (x + y)3 解：(x + y) = (x + y)( x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y2) = x³+ 2x²y + xy2 + yx² + 2xy² + y3 = x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21， 化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21， 即 4x = 20， 解得 x = 5. 答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m. 例题精讲 将其中几项看成一个整体 ，从而构造出特殊的结构，利 用乘法公式简化计算 . 例6 运用乘法公式计算： （1） (a+b+c)2 ； （2） (a–b+c)(a+b–c). =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 解：(1) (a+b+c)2 x,y可以是单项式，也可以是多项式。 把a+b看成一个整体 例题精讲 （2） (a–b+c)(a+b–c). 解：原式=[a–(b–c)][a+(b–c)] =a2–(b–c)2 =a2–(b2–2bc+c2) =a2–b2+2bc–c2. 找符号相同的项和符号相反的项，符号相同的项作为“x”，符号相反的项作为“y”. 例题精讲 例8 运用乘法公式计算： (1) (a+b)2+(ab)2； (2) (a+b)2(ab)2。 解：(a+b)2+(ab)2 =a2+2ab+b2+a22ab+b2 =2a2+2b2 已知a+b和ab，求a2+b2： a2+b2= 例题精讲 (2) (a+b)2(ab)2。 解：(a+b)2(ab)2 =[(a+b)+(ab)][(a+b)(ab)] =2a·2b =4ab 解：(a+b)2(ab)2 = a2+2ab+b2a2+2abb2 = 4ab 法一 法二 已知a+b和ab，求ab： ab= 1. 运用乘法公式计算 ,下列结果正确 的是( ) A A. B. C. D. 2. 已知 ，则代数式 的值为( ) A A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 17 3. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 18 4. 一个正方形的边长增加 2 cm，它的面积就增加 16 cm2， 求这个正方形原来的边长。 答：这个正方形原来的边长为 3 cm. 解 设正方形原来的边长为 x cm. 列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ， 解得 x = 3. x2+4x+4 = x2+16 4x = 12 5. 两个连续奇数的平方差是( ) B A. 6的倍数 B. 8的倍数 C. 12的倍数 D. 16的倍数 20 新知探究 思考： 先填空：(1) 152=100×1×___＋25； (2) 252=100×2× ＋25； (3) 352=100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是a、个位数字是5的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ . 2 3 3 4 25 a (a＋1) 25 10a+5 课堂小结 三招利用乘法公式简化计算 : 1. 移位置 : 有时交换位置，改变运算顺序，可利用乘法公式简化计算 . 2. 整体 : 有时将其中几项看成一个整体 ，从而构造出特殊的结构，利 用 乘法公式简化计算 . 3. 转化 : 将较复杂的未知问题，经过变形，转化为可轻易解决或已解决的问题 . 课堂小结 完全平方公式 (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 (a-b)2 = a2-2ab + b2 公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减. (a + b )( a - b) = a2-b2 平方差公式 注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式. $