第1章 整式的乘法【小结与评价】课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 小结与评价 第1章 整式的乘法 湘教版数学七年级下册第1章 整式的乘法综合练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕第1章“整式的乘法”全章节知识点设计，涵盖同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式的乘法、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘及乘法公式的综合运用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们系统梳理章节知识，熟练掌握各类运算技巧，提升综合解题能力，时长建议30分钟。 一、基础巩固题（每题8分，共40分） 1. 直接写出下列各式的结果（考查幂的运算）。 （1）$$a^3 \cdot a^5 = $$________ （2）$$(x^4)^2 = $$________ （3）$$(-2ab)^3 = $$________ （4）$$3x \cdot 2x^2 = $$________ （5）$$(x+2)(x-2) = $$________ 2. 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 （1）$$(a^2)^3 = a^5$$ （ ） 改正：________ （2）$$2x \cdot 3x^3 = 6x^3$$ （ ） 改正：________ （3）$$(x-3)^2 = x^2-6x-9$$ （ ） 改正：________ （4）$$(2x+1)(x-2) = 2x^2-3x-2$$ （ ） 改正：________ 3. 计算下列各式（考查单项式、多项式乘法）。 （1）$$2x^2(3x^3-4x+1)$$ （2）$$(a+3)(a-4)$$ 4. 运用乘法公式计算：$$(2a-3b)^2$$ 和 $$(x+5)(x-5)$$。 5. 填空：若$$3^m \cdot 3^n = 3^8$$，则$$m+n = $$________；若$$(x+m)^2 = x^2-6x+n$$，则$$m = $$________，$$n = $$________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 计算下列各式（综合考查幂的运算与整式乘法）。 （1）$$(-2x^2y)^3 \cdot 3xy^2 + x^3y \cdot (-4x^2y^4)$$ （2）$$(x-2)(x+3) - (x-1)^2$$ 2. 已知$$a+b=4$$，$$ab=2$$，运用乘法公式求下列各式的值： （1）$$a^2 + b^2$$ （2）$$(a-b)^2$$ （3）$$a^2 - b^2$$ 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 运用乘法公式简化计算：$$2026^2 - 2025 \times 2027$$，并说明运算依据。 2. 一个长方形的长为$$(2x+3)$$cm，宽为$$(x-2)$$cm，另一个正方形的边长为$$(x+1)$$cm（$$x>2$$）。 （1）用整式表示长方形和正方形的面积； （2）求长方形与正方形的面积差； （3）当$$x=4$$时，求面积差的实际值。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）$$a^8$$；（2）$$x^8$$；（3）$$-8a^3b^3$$；（4）$$6x^3$$；（5）$$x^2-4$$ 2. （1）×，$$a^6$$；（2）×，$$6x^4$$；（3）×，$$x^2-6x+9$$；（4）√ 3. （1）$$6x^5 - 8x^3 + 2x^2$$；（2）$$a^2 - a - 12$$ 4. $$4a^2 - 12ab + 9b^2$$；$$x^2 - 25$$ 5. 8；-3；9 二、能力提升题 1. （1）$$-28x^7y^5$$；（2）$$3x - 7$$ 2. （1）12（解析：$$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 16 - 4 = 12$$）；（2）8（解析：$$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 16 - 8 = 8$$）；（3）±8（解析：$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 4 \times (\pm 2\sqrt{2}) = \pm 8\sqrt{2}$$） 三、拓展应用题 1. 1（解析：第一步，逆用平方差公式，$$2025 \times 2027 = (2026 - 1)(2026 + 1) = 2026^2 - 1$$（平方差公式逆用）；第二步，代入原式：$$2026^2 - (2026^2 - 1) = 1$$） 2. （1）长方形面积：$$(2x+3)(x-2) = 2x^2 - x - 6$$；正方形面积：$$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$；（2）面积差：$$x^2 - 3x - 7$$；（3）1（解析：当$$x=4$$时，$$16 - 12 - 7 = -3$$，绝对值为3，此处修正：$$4^2 - 3 \times 4 - 7 = 16 - 12 - 7 = -3$$，面积差为$$|x^2 - 3x - 7| = 3$$，实际面积差为3cm²） 温馨提示：本章重点是幂的运算和整式乘法法则、乘法公式的综合运用，解题时需先判断式子特点，选择合适的运算方法；注意符号变化和公式的逆向运用，避免出现漏项、符号错误和公式混淆；计算后可通过展开、代入特殊值等方式验证结果，确保准确性。 数与代数 数与式 方程与不等式 函数 有理数 实数 代数式 幂的运算 单项式的乘法 多项式的乘法 乘法公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 平方差公式 完全平方公式 法则名称 文字表示 式子表示 逆用 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 am·an = am+n (m、n为正整数) am+n = am·an (m、n为正整数) (am)n = amn (m、n为正整数) amn = (am)n (m、n为正整数) (ab)n = anbn (m、n为正整数) anbn = (ab)n (m、n为正整数) 知识回顾 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 1. 幂的运算性质 3 2.整式的乘法： (1)单项式乘单项式： 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2.整式的乘法： (2)单项式乘多项式： m(a + b + c) = ma + mb + mc 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.整式的乘法： (3)多项式乘多项式： (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 公式名称 平方差公式 完全平方公式 文字表示 式子表示 公式的常用变形 两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差。 (a+b)(a-b) = a²- b² 两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)这两数积的2倍。 (a±b)2 =a²±2ab+b² a² = (a+b)(a-b) + b² b² = a² - (a+b)(a-b) a² + b² = (a+b)2 -2ab 或a² + b² = (a-b)2 +2ab (a+b)2 =(a-b)2 +4ab 3. 乘法公式： 例1 计算： (1) (2a)3(b3)2 · 4a3b4； (2) (－8)2025×(0.125)2024. 解：(1) 原式 = 8a3b6 ×4a3b4 = 32a3+3b6+4 = 32a6b10. (2) 原式= (－8)×(－8)2024 ×(0.125)2024 = (－8)[(－8) ×0.125]2024 = (－8)×(－1)2024 = －8. 考点一 幂的乘法运算 例2 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]·3x2y，其中 x = 1，y = 3. 【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中， 一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式= (x3y2－x2y－x2y + x3y2)·3x2y = (2x3y2－2x2y)·3x2y = 6x5y3－6x4y2 . 当 x = 1，y = 3 时，原式 = 6×27－6×9 = 108. 考点二 整式的乘法 例3 先化简，再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]－2x2， 其中 x = 3，y = 1.5. 【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号 内的，再进行整式的加减运算. 解：原式= (x2－2xy + y2 + x2－y2) －2x2 = (2x2－2xy) －2x2 =－2xy. 当 x = 3，y = 1.5 时，原式 = －9. 考点三 整式的乘法公式的运用 转化思想 例4 计算：(1)－2a·3a2b3· (2)(－2x + 5 + x2 ) · (－6x3 ). 【解析】(1)单项式乘单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘单项式可以转化为单项式乘单项式. 解：(1)原式= (2) 原式= (－2x) · (－6x3) + 5 · (－6x3) + x2 · (－6x3) = 12x4－30x3－6x5. 考点四 本章数学思想和解题方法 考点1 幂的运算 1. [2025山西中考] 下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 2. （1）若，，则 ___； （2）计算： ____. 6 3. 已知,,，则,, 的大小关系是 __________. 中考考法 12 4. （1）已知，，求 的值； 【解】因为， ， 所以 . （2）若，求 的值； 因为 ， 所以，解得 . 中考考法 13 （3）已知，，用含，的式子表示 . 因为， ，所以 . 中考考法 14 考点2 整式的运算 5. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 6. 已知,是常数，若化简 的结果中 不含的二次项，则 的值为( ) A A. B. 2 C. 3 D. 4 中考考法 15 7. （1）数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编 题，小圣同学编题如下： .则 内应填写___; 3 （2）若，则 的值为 _______. 2 027 【点拨】因为 ，所以 .所以 . 中考考法 16 8. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 中考考法 17 9. 某同学在计算一个多项式乘 时，因抄错运算符号， 算成了加上，得到的结果是 . （1）求出这个多项式 ； 【解】根据题意，得 . （2）求出正确的计算结果. 正确的计算结果为 . 中考考法 18 考点3 乘法公式 10. [内江中考] 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 19 11. 如图，是线段上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，其面积分别是 和，两正方形的面积和 ，已 知 ，则图中阴影部分的面积为( ) A A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 中考考法 20 【点拨】设,,则 ， ， .所以 ， ，所以 .所以 .所以阴影部分的面积为 .故选A. 中考考法 21 12. 先化简，再求值： ， 其中， . 【解】 . 当， 时，原式 . 中考考法 22 思想1 整体思想 13. 已知，则代数式 的值为( ) B A. 30 B. 36 C. 42 D. 48 中考考法 23 【点拨】因为 ， 所以 . 中考考法 24 思想2 方程思想 14. 在幂的运算中规定：若（且，, 是 正整数），则 . 利用上面的结论解答下列问题： （1）若，求 的值； 【解】因为，所以 . 所以，解得 . 中考考法 25 （2）若，求 的值. 因为 ， 所以 . 所以 . 所以，解得 . 中考考法 26 思想3 数形结合思想 15. 已知正方形和正方形的边长分别为, . 中考考法 27 （1）如图①，将正方形的边, 分别与正方形 的边,重合，点在边上，延长交边 于点 ，连接，请用含,的代数式表示梯形 的面积； 中考考法 28 【解】根据题意，得,, ， 所以 . 所以梯形 的面积为 . 中考考法 29 （2）如图②，将正方形的边与正方形的边 重合，点在的延长线上，延长交边于点,连接 . 中考考法 30 ①用含， 的代数式表示三角形 的面积； 根据题意，得 , , ,所以 , . 所以三角形 的面积为 . 中考考法 31 ②设交于点，记三角形的面积为，三角形 的面积为，用含，的代数式表示 . 中考考法 32 如图，连接 ， 则梯形 的面积为 由①知三角形的面积为，所以三角形 的 . 中考考法 33 面积为 . 即 . 中考考法 又因为三角形 的面积为 , 即 ， 所以 . 中考考法 幂的运算 乘法公式 整式的乘法 积的乘方 平方差公式 多项式与单项式相乘 完全平方公式 整式的乘法 单项式与单项式相乘 多项式与多项式相乘 同底数幂的乘法 幂的乘方 课堂小结 $