1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究空间中直线、平面的垂直关系，通过探究问题引导学生发现方向向量、法向量与垂直关系的联系，结合梳理教材填空、温馨提示等支架，衔接向量概念与空间垂直判定的知识脉络。 特色在于探究式学习与分层训练结合，典例与练习覆盖基向量法、坐标法等方法，探索性问题培养创新意识，帮助学生用数学思维推理垂直关系，用数学语言表达空间逻辑，提升逻辑推理与空间想象素养。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.理解线面的位置关系与向量的联系. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系. 3.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系. 一、利用空间向量证明线线垂直问题 探究1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ ⚪梳理教材 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . ⚪温馨提示　（1）两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直. （2）向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两条直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.（　 　） （2）若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交.（　 　） 【典例1】　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. ⚪解题感悟 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 （1）基向量法：①选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹角为已知的向量）为空间的一个基底；②用基底表示出两直线的方向向量；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直. （2）坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据点的坐标求出两直线的方向向量的坐标；③计算两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直. 【练习1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：（1）BD1⊥AC； （2）BD1⊥EB1. 二、利用空间向量证明线面垂直 探究2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ ⚪梳理教材 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . ⚪温馨提示　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可以. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.（　 　） （2）若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量均垂直.（　 　） 【典例2】　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点. 求证：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE. ⚪解题感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 （1）利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示. ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. ③判定直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. （2）利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示. ②求出平面的法向量. ③判定直线的方向向量与平面的法向量平行. 【练习2】　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC. 三、利用空间向量证明面面垂直 探究3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ ⚪梳理教材 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔ ⇔ . ⚪温馨提示　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直.（　 　） （2）若两平面α，β的法向量分别为u1＝（1，0，1），u2＝（0，2，0），则平面α，β互相垂直.（　 　） （3）若两平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.（　 　） 【典例3】　在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB 的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC. ⚪解题感悟 证明面面垂直的两种方法 （1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. （2）向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 【练习3】　如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （1）求证：AP⊥BC； （2）若M是线段AP上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥平面BMC. 四、平行、垂直关系中的探索性问题 【典例4】　如图①，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图②. （1）求证：A1E⊥平面BCDE. （2）在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ⚪解题感悟 解决立体几何中探索性问题的基本方法 （1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理. （2）探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为（x，y，z）；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy平面内的点为（x，y，0）；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为（0，0，z）；④直线（线段）AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 【练习4】　如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ（0＜λ＜2）. （1）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ. （2）是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由. ⚪课堂达标 1.若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2，0），则α与β的位置关系是 （　 　） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 2.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且⊥平面ABC，则等于（　 　） A.（－，－，－3） B.（，－，－3） C.（－，－，－3） D.（，－，－3） 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D内一点，且CF⊥B1E，则（　 　） A.y－z＝0 B.2y－z－1＝0 C.2y－z－2＝0 D.z－1＝0 4.已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中＝（1，m，2），＝（2，m，n）（m，n∈R），则m＋n＝ . 解析版 ⚪学习目标　1.理解线面的位置关系与向量的联系. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系. 3.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系. 一、利用空间向量证明线线垂直问题 探究1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直. ⚪梳理教材 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔　u1⊥u2　⇔　u1·u2＝0　. ⚪温馨提示　（1）两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直. （2）向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两条直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.（　√　） （2）若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交.（　✕　） 【典例1】　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：取AB的中点为O，作OO1∥AA1，交A1B1于点O1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由已知得A（－，0，0），B（，0，0），C（0，，0），N（0，，），B1（，0，1）， ∵M为BC的中点， ∴M（，，0），∴＝（－，，）. 又＝（1，0，1），∴＝－＋0＋＝0.∴⊥， ∴AB1⊥MN. ⚪解题感悟 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 （1）基向量法：①选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹角为已知的向量）为空间的一个基底；②用基底表示出两直线的方向向量；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直. （2）坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据点的坐标求出两直线的方向向量的坐标；③计算两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直. 【练习1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：（1）BD1⊥AC； （2）BD1⊥EB1. 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 则B（1，1，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（，，0），B1（1，1，1）. （1）＝（－1，－1，1）， ＝（－1，1，0）， ∴＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0， ∴⊥， ∴BD1⊥AC. （2）＝（－1，－1，1）， ＝（，，1）， ∴＝（－1）×＋（－1）×＋1×1＝0， ∴⊥， ∴BD1⊥EB1. 二、利用空间向量证明线面垂直 探究2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行（共线）. ⚪梳理教材 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔　u∥n　⇔∃λ∈R，使得　u＝λn　. ⚪温馨提示　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可以. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.（　✕　） （2）若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量均垂直.（　√　） 【典例2】　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点. 求证：（1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE. 证明：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，2），E（，，1）， 所以＝（－1，，0），＝（，，1）， 所以＝－1×＋×＋0×1＝0， 所以CD⊥AE. （2）由（1），得＝（0，，－2），＝（2，0，0），＝（，，1）， 设向量n＝（x，y，z）是平面ABE的法向量， 由得 取y＝2，则n＝（0，2，－）， 所以＝n，所以PD∥n，所以PD⊥平面ABE. ⚪解题感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 （1）利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示. ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. ③判定直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. （2）利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示. ②求出平面的法向量. ③判定直线的方向向量与平面的法向量平行. 【练习2】　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则C（1，0，0），P（0，0，1），A（0，1，0），B1（1，1，2）， 于是＝（－1，1，0），＝（－1，0，1），＝（1，1，1）， ∴＝（－1，1，0）·（1，1，1）＝0， ＝（－1，0，1）·（1，1，1）＝0. 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC， 所以直线PB1⊥平面PAC. 三、利用空间向量证明面面垂直 探究3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示：垂直. ⚪梳理教材 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔　n1·n2　⇔　n1·n2＝0　. ⚪温馨提示　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直.（　✕　） （2）若两平面α，β的法向量分别为u1＝（1，0，1），u2＝（0，2，0），则平面α，β互相垂直.（　√　） （3）若两平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.（　√　） 【典例3】　在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB 的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明：证法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)， 故＝3，∴PA∥FG. 而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC. 又FG⊂平面EFG， ∴平面EFG⊥平面PBC. 证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0). ∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1). 设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥.∴ 令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0，1，－1). 显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，∴n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC. ⚪解题感悟 证明面面垂直的两种方法 （1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. （2）向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 【练习3】　如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （1）求证：AP⊥BC； （2）若M是线段AP上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥平面BMC. 证明：（1）以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，，的方向分别为y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则O（0，0，0），A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）， 故＝（0，3，4），＝（－8，0，0）， ∴＝0×（－8）＋3×0＋4×0＝0， ∴⊥，即AP⊥BC. （2）∵PO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC， ∴PO⊥AO. 又∵PO＝4，AO＝3，∴AP＝5， ∵M为AP上一点，且AM＝3， ∴＝（0，，），∴M（0，－，）， ＝（－4，－，），＝（4，－，）. 设平面BMC的法向量为n＝（a，b，c）， 则即 令b＝1，则n＝（0，1，）. 设平面AMC的法向量为m＝（x，y，z）， 则即 令x＝5，则m＝（5，4，－3）， 由n·m＝0×5＋1×4＋×（－3）＝0， 得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC. 四、平行、垂直关系中的探索性问题 【典例4】　如图①，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图②. （1）求证：A1E⊥平面BCDE. （2）在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：∵DE⊥AB，AB∥DC， ∴DE⊥DC. ∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，A1D，DE⊂平面A1DE，∴DC⊥平面A1DE，又A1E⊂平面A1DE，∴DC⊥A1E. 又∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，DC，DE⊂平面BCDE， ∴A1E⊥平面BCDE. （2）不存在.理由如下： 以E为坐标原点，EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则DE＝2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴＝（－2，0，2），＝（2，2，0）. 设平面A1BC的法向量为m＝（x，y，z），则 令x＝－，则m＝（－，1，－）. 设P（t，0，0）（0≤t≤2），则＝（t，0，－2），＝（0，2，－2）. 设平面A1DP的法向量为n＝（a，b，c），则 令a＝2，可得n＝（2，，t）. 若平面A1DP⊥平面A1BC，则n·m＝－2＋－t＝0，解得t＝－3， 又∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC. ⚪解题感悟 解决立体几何中探索性问题的基本方法 （1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理. （2）探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为（x，y，z）；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy平面内的点为（x，y，0）；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为（0，0，z）；④直线（线段）AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 【练习4】　如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ（0＜λ＜2）. （1）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ. （2）是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），M（2，1，2），N（1，0，2），＝（－2，0，2），＝（－1，0，λ），＝（1，1，0），＝（－1，－1，0），＝（－1，0，λ－2）. 当λ＝1时，＝（－1，0，1）， 因为＝（－2，0，2），所以＝2， 即∥， 又BC1与FP无公共点，所以BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ. （2）假设存在符合题意的λ.设平面EFPQ的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 于是可取n＝（λ，－λ，1）.同理可得平面PQMN的法向量为m＝（λ－2，2－λ，1）. 故m·n＝（λ－2，2－λ，1）·（λ，－λ，1）＝0， 即λ（λ－2）－λ（2－λ）＋1＝0，解得λ＝1±. 故存在λ＝1±，使平面EFPQ⊥平面PQMN. ⚪课堂达标 1.若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2，0），则α与β的位置关系是 （　B　） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 解析：∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 2.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且⊥平面ABC，则等于（　D　） A.（－，－，－3） B.（，－，－3） C.（－，－，－3） D.（，－，－3） 解析：＝3＋5－2z＝0，∴z＝4.∵⊥平面ABC，∴⊥且⊥，即＝0且＝0， ∴ ∴y＝－，x＝，∴＝（，－，－3）.故选D. 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D内一点，且CF⊥B1E，则（　D　） A.y－z＝0 B.2y－z－1＝0 C.2y－z－2＝0 D.z－1＝0 解析：由题意得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0）， 所以＝（－1，0，－2），＝（－2，y－2，z）， 因为CF⊥B1E，所以＝0，即2－2z＝0，即z－1＝0. 4.已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中＝（1，m，2），＝（2，m，n）（m，n∈R），则m＋n＝　－1　. 解析：由题意得＝0， 且｜｜＝｜｜， 所以 所以 所以m＋n＝－1. 页 学科网（北京）股份有限公司 $