1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量证明空间中直线、平面的平行关系，通过探究问题引导学生观察方向向量、法向量关系，梳理教材明确判定方法，搭建从具体问题到抽象方法的学习支架，衔接空间向量基础与位置关系证明。 以探究问题驱动学生用数学眼光发现空间关系，通过基向量法、坐标法等多种证明方法培养数学思维与推理能力，典例与练习结合强化数学语言表达，解题感悟总结规律，课堂达标检测效果，助力学生形成空间观念与逻辑推理素养。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 一、利用空间向量证明线线平行 探究1　设u1，u2是l1，l2的方向向量，如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？ ⚪梳理教材 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . ⚪温馨提示　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 【典例1】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. ⚪解题感悟 证明两直线平行的方法 方法一：平行直线的传递性. 方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，将m，n分别用基向量表示，进而证明m∥n，即m＝λn. 方法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把两直线的方向向量用坐标表示，如m1＝（x1，y1，z1），m2＝（x2，y2，z2），即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 【练习1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 二、利用空间向量证明线面平行 探究2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ ⚪梳理教材 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔ ⇔ . ⚪温馨提示　（1）证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直. （2）特别强调直线在平面外. 【典例2】　如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成的角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点.求证：DM∥平面PFB. ⚪解题感悟 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示，进而得出线面平行. （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，并说明直线不在平面内，进而得出线面平行. 【练习2】　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 三、利用空间向量证明面面平行 探究3　观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ ⚪梳理教材 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . ⚪温馨提示　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. 【典例3】　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面 ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4.求证：平面BDM∥平面EFC. ⚪解题感悟 证明面面平行的三种方法 （1）通过向量的坐标运算，得到两平面的法向量后，通过证明两法向量共线进而得到面面平行. （2）通过向量的坐标运算，得到某一平面的法向量后，通过证明该法向量与另一平面也垂直进而得到面面平行. （3）通过向量的坐标运算，得到线线或线面平行后，再证明面面平行. 【练习3】　 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN. ⚪课堂达标 1.若A（－1，0，2），B（1，4，10）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　 　） A.（1，2，4） B.（1，4，2） C.（2，1，4） D.（4，2，1） 2.如果直线l的方向向量是a＝（－2，0，1），且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝（2，0，4），则（　 　） A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l与α斜交 3.设平面α的一个法向量为（3，2，－1），平面β的一个法向量为（－2，－，k），若α∥β，则k等于（　 　） A.－ B.－ C. D. 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： （1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 解析版 ⚪学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 一、利用空间向量证明线线平行 探究1　设u1，u2是l1，l2的方向向量，如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？ 提示：l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. ⚪梳理教材 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔　u1∥u2　⇔∃λ∈R，使得　u1＝λu2　. ⚪温馨提示　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 【典例1】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：方法一：由题意可得＝＋＝＋＝＋×（＋）＝＋＋＝＋＝（＋）＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 方法二：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1），E（0，1，），N（0，，），M（，，0），所以＝（－1，0，1），＝（－，0，），所以＝，又因为M∉AP，所以MN∥AP. ⚪解题感悟 证明两直线平行的方法 方法一：平行直线的传递性. 方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，将m，n分别用基向量表示，进而证明m∥n，即m＝λn. 方法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把两直线的方向向量用坐标表示，如m1＝（x1，y1，z1），m2＝（x2，y2，z2），即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 【练习1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），C1（0，1，1），F（1，1，）， ∴＝（－1，0，），＝（－1，0，）， ∴＝， ∴∥，AE＝FC1， 又F∉AE， ∴AE∥FC1， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 二、利用空间向量证明线面平行 探究2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示：垂直. ⚪梳理教材 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔　u⊥n　⇔　u·n＝0　. ⚪温馨提示　（1）证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直. （2）特别强调直线在平面外. 【典例2】　如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成的角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点.求证：DM∥平面PFB. 证明：由PD⊥平面ABCD及PC与平面ABCD所成的角为45°，得∠PCD＝45°，故PD＝DC＝2，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，2），B（2，2，0），F（1，0，0），D（0，0，0），M（0，1，1）， 所以＝（1，2，0），＝（－1，0，2），＝（0，1，1）. 证法一：设平面PFB的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令y＝1，则x＝－2，z＝－1，故平面PFB的一个法向量为n＝（－2，1，－1）. 因为·n＝0，所以⊥n， 又DM⊄平面PFB，所以DM∥平面PFB. 证法二：取PB的中点G，则G（1，1，1）， 所以＝（0，1，1）＝，又F∉DM，所以DM∥FG， 又FG⊂平面PFB，DM⊄平面PFB， 所以DM∥平面PFB. ⚪解题感悟 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示，进而得出线面平行. （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，并说明直线不在平面内，进而得出线面平行. 【练习2】　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 证明：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)， 则A(0，0，0)，B(a，，0)，B1(a，，b)，C1(0，a，b)，D(0，，0)， ∴＝(a，，b)，＝(－a，0，0)，＝(0，，b). 设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 ∴ 不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a). 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 三、利用空间向量证明面面平行 探究3　观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示：平行. ⚪梳理教材 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔　n1∥n2　⇔∃λ∈R，使得　n1＝λn2　. ⚪温馨提示　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. 【典例3】　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面 ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4.求证：平面BDM∥平面EFC. 证明：因为DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以DA，DC，DE两两垂直.以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，4），F（2，2，4），M（1，0，2）. 所以＝（1，0，2），＝（2，2，0），＝（2，2，0），＝（2，0，4）. 设平面BDM的法向量为n1＝（x1，y1，z1），则所以 令z1＝1，得x1＝－2，y＝2， 所以n1＝（－2，2，1）. 设平面EFC的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 则所以 令x2＝1，得y2＝－1，x2＝－， 所以n2＝（1，－1，－）. 因为n2＝－n1，所以n1∥n2. 所以平面BDM∥平面EFC. ⚪解题感悟 证明面面平行的三种方法 （1）通过向量的坐标运算，得到两平面的法向量后，通过证明两法向量共线进而得到面面平行. （2）通过向量的坐标运算，得到某一平面的法向量后，通过证明该法向量与另一平面也垂直进而得到面面平行. （3）通过向量的坐标运算，得到线线或线面平行后，再证明面面平行. 【练习3】　 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN. 证明：如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2， 则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1). ∴＝(0，－1，1)，＝(1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1). 设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量， 由得 令x1＝1，得m＝(1，－1，－1). 由得 令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)， 于是有m＝n, 所以m∥n. 又平面EFG与平面HMN无公共点， 故平面EFG∥平面HMN. ⚪课堂达标 1.若A（－1，0，2），B（1，4，10）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　A　） A.（1，2，4） B.（1，4，2） C.（2，1，4） D.（4，2，1） 解析：由已知得＝（1，4，10）－（－1，0，2）＝（2，4，8）＝2（1，2，4），故选项A中的向量与共线，故选A. 2.如果直线l的方向向量是a＝（－2，0，1），且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝（2，0，4），则（　B　） A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l与α斜交 解析：直线l的方向向量是a＝（－2，0，1），平面α的法向量是b＝（2，0，4）， ∵a·b＝－4＋0＋4＝0， ∴直线l在平面α内或与平面α平行， 又直线l上有一点P不在平面α内，∴l∥α. 3.设平面α的一个法向量为（3，2，－1），平面β的一个法向量为（－2，－，k），若α∥β，则k等于（　C　） A.－ B.－ C. D. 解析：∵α∥β，∴（3，2，－1）＝λ（－2，－，k）， ∴λ＝－，λk＝－1，∴k＝. 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： （1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2）. 所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，0，0）. （1）设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量， 则n1⊥，n⊥， 即 得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝（0，－1，2）. 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. （2）设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量， 则n2⊥，n2⊥， 即 得令z2＝2，得y2＝－1. 所以n2＝（0，－1，2），因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 页 学科网（北京）股份有限公司 $