1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

⚪学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.

一、利用空间向量证明线线平行

探究1　设u1，u2是l1，l2的方向向量，如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？

 

 

 

 

 

 

 

 

⚪梳理教材

两直线平行的判定方法

设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔               ⇔∃λ∈R，使得               .

⚪温馨提示　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.

【典例1】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.

 

 

 

 

 

⚪解题感悟

证明两直线平行的方法

方法一：平行直线的传递性.

方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，将m，n分别用基向量表示，进而证明m∥n，即m＝λn.

方法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把两直线的方向向量用坐标表示，如m1＝（x1，y1，z1），m2＝（x2，y2，z2），即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.

【练习1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.

 

 

 

 

二、利用空间向量证明线面平行

探究2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？

 

 

 

 

 

⚪梳理教材

直线和平面平行的判定方法

设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔               ⇔               .

⚪温馨提示　（1）证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直.

（2）特别强调直线在平面外.

【典例2】　如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成的角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点.求证：DM∥平面PFB.

 

 

 

⚪解题感悟

利用空间向量证明线面平行的三种方法

（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示，进而得出线面平行.

（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.

（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，并说明直线不在平面内，进而得出线面平行.

【练习2】　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.

 

 

 

 

 

三、利用空间向量证明面面平行

探究3　观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？

⚪梳理教材

平面和平面平行的判定方法

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔               ⇔∃λ∈R，使得               .

⚪温馨提示　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.

【典例3】　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面 ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4.求证：平面BDM∥平面EFC.

 

 

 

⚪解题感悟

证明面面平行的三种方法

（1）通过向量的坐标运算，得到两平面的法向量后，通过证明两法向量共线进而得到面面平行.

（2）通过向量的坐标运算，得到某一平面的法向量后，通过证明该法向量与另一平面也垂直进而得到面面平行.

（3）通过向量的坐标运算，得到线线或线面平行后，再证明面面平行.

【练习3】　

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.

              

 

 

 

 

 

 

 

⚪课堂达标

1.若A（－1，0，2），B（1，4，10）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　 　）

A.（1，2，4） B.（1，4，2） C.（2，1，4） D.（4，2，1）

2.如果直线l的方向向量是a＝（－2，0，1），且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝（2，0，4），则（　 　）

A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l与α斜交

3.设平面α的一个法向量为（3，2，－1），平面β的一个法向量为（－2，－，k），若α∥β，则k等于（　 　）

A.－ B.－ C. D.

4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：

（1）FC1∥平面ADE；

（2）平面ADE∥平面B1C1F.

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

解析版

⚪学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.

一、利用空间向量证明线线平行

探究1　设u1，u2是l1，l2的方向向量，如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？

提示：l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.

⚪梳理教材

两直线平行的判定方法

设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔　u1∥u2　⇔∃λ∈R，使得　u1＝λu2　.

⚪温馨提示　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.

【典例1】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.

证明：方法一：由题意可得＝＋＝＋＝＋×（＋）＝＋＋＝＋＝（＋）＝，又M∉AP，所以MN∥AP.

方法二：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1），E（0，1，），N（0，，），M（，，0），所以＝（－1，0，1），＝（－，0，），所以＝，又因为M∉AP，所以MN∥AP.

⚪解题感悟

证明两直线平行的方法

方法一：平行直线的传递性.

方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，将m，n分别用基向量表示，进而证明m∥n，即m＝λn.

方法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把两直线的方向向量用坐标表示，如m1＝（x1，y1，z1），m2＝（x2，y2，z2），即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.

【练习1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.

证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），C1（0，1，1），F（1，1，），

∴＝（－1，0，），＝（－1，0，），

∴＝，

∴∥，AE＝FC1，

又F∉AE，

∴AE∥FC1，

∴四边形AEC1F是平行四边形.

二、利用空间向量证明线面平行

探究2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？

提示：垂直.

⚪梳理教材

直线和平面平行的判定方法