1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　空间中直线、平面的平行 1.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 2.已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A.2　　　B.－4 C.4　　　D.－2 3.（2025·驻马店月考）已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的（　　） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知a＝（λ＋1，0，2），b＝（6，2μ－1，2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　） A.2， B.－， C.－3， D.－3，2 7.〔多选〕已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中正确的是（　　） A.若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量为b＝（2，－2，4），则l∥m B.若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1，－1，－1），则l∥α C.若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α∥β D.若平面α经过三个点A（1，0，－1），B（0，－1，0），C（－1，2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的一个法向量，则u＋t＝ 8.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝（2，m，1），A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），则实数m＝　　　　. 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是　　　　；设＝λ，若平面D1BQ∥平面PAO，则λ＝　　　　. 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点.求证：MN∥B1C. 11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A.（1，1，1） B.（，，1） C.（，，1） D.（，，1） 12.〔多选〕已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法中正确的是（　　） A.平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B.直线AE∥平面PCD C.直线EF∥平面PAD D.直线DF∥平面PAB 13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是平面AA1D1D内的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE长度的最小值为　　　　　. 14.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB∥平面EFG； （2）平面EFG∥平面PBC. 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC的中点.在线段BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　空间中直线、平面的平行 1.B　由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 2.C　因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4. 3.D　若m·n＝0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m·n＝0.因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D. 4.B　根据题意建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（2，2，2），A1（2，2，0），C（0，0，2），B（2，0，2），∴M（2，1，1），N（1，1，2），∴＝（－1，0，1）.又平面BB1C1C的一个法向量为n＝（0，1，0），∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴⊥n，又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 5.B　如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝a（a＞0），AP＝b（0＜b＜1），则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，b），B1（a，0，1），E（，1，0）.于是＝（a，0，1），＝（，1，0），＝（0，－1，b）.设平面B1AE的法向量为n＝（x，y，z），则得取x＝2，得y＝－a，z＝－2a，∴n＝（2，－a，－2a）是平面B1AE的一个法向量.∵DP∥平面B1AE，∴·n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝. 6.AC　由a∥b，可设b＝ka，即（6，2μ－1，2λ）＝k（λ＋1，0，2），得解得μ＝，λ＝－3或2，故A、C都符合选项.故选A、C. 7.AD　对于A，b＝2a，则a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B中说法错误；对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1，3）＝λ（1，0，2），得此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，＝（－1，－1，1），＝（－1，3，0），∵n＝（1，u，t）是平面α的法向量， ∴解得∴u＋t＝，故D中说法正确.故选A、D. 8.－3　解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），∴（2，m，1）＝x（1，0，－1）＋y（0，1，－1）＝（x，y，－x－y），∴∴m＝－3. 9.平行　 解析：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则O（，，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），P（0，0，），A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1）.则＝（－，－，），＝（－1，－1，1），所以＝，∥，所以OP∥BD1.设Q（0，1，z），则＝（－1，0，z）.由于OP∥BD1.故要使平面D1BQ∥平面PAO，只需∥，又＝（－1，0，），故z＝，则Q（0，1，），由＝（0，0，），＝（0，0，1）及＝λ，得λ＝. 10.证明：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以＝（－1，0，－1），＝（－2，0，－2）. 所以＝2.所以∥，所以MN∥B1C. 11.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即所以取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M（，，1）.故选C. 12.AC　由题图得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，），F（0，，），所以＝（1，0，0），＝（，，），设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），则令z＝1，得y＝－1，x＝0，所以n＝（0，－1，1），故A正确；易知平面PCD的一个法向量为＝（1，0，0）.又因为＝（－，，），·＝－≠0，所以与不垂直，即AE与平面PCD不平行，故B不正确；易知平面PAD的一个法向量为＝（0，1，0），又＝（－，0，0），·＝0，所以EF⊥DC，又EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确；设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），又＝（0，1，0），＝（1，0，－1），则令x1＝1，得m＝（1，0，1），又＝（0，，），所以·m＝≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，故D不正确.故选A、C. 13.　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD＝AA1＝2，AB＝4，E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点，所以B1（2，4，2），M（2，2，0），N（1，4，0），E（0，2，2），因为点P是平面AA1D1D内的动点，所以设P（x，0，z），设平面B1MN的法向量为m＝（a，b，c），＝（0，－2，－2），＝（－1，0，－2），＝（x，－2，z－2），所以有⇒⇒m＝（－2，－1，1），因为PE∥平面B1MN，所以·m＝－2x＋2＋z－2＝0⇒z＝2x，即＝（x，－2，2x－2），｜｜＝＝＝，所以当x＝，z＝时，线段PE长度有最小值＝. 14.证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）. 法一　＝（0，1，0），＝（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）， 则即令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面EFG的一个法向量， ∵＝（2，0，－2），·n＝0，∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 法二　＝（2，0，－2），＝（0，－1，0），＝（1，1，－1）. 设＝s＋t， 即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴解得s＝t＝2. ∴＝2＋2，又与不共线，∴，与共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. （2）由（1）知＝（0，1，0），＝（0，2，0）， ∴＝2，∴BC∥EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 15.解：连接OA1，因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC. 连接OB，由AB＝BC，得OB⊥AC， 以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，所以OB＝AC＝1， 所以O（0，0，0），A（0，－1，0），A1（0，0，），C1（0，2，），B（1，0，0）， 则＝（0，1，），＝（1，1，0）， 设平面A1AB的法向量为n＝（x，y，z），则有即 令y＝1，得x＝－1，z＝－， 所以n＝（－1，1，－）. 设E（x0，y0，z0），＝λ（0≤λ≤1）， 由＝（－1，2，），得（x0－1，y0，z0）＝λ（－1，2，），所以 所以E（1－λ，2λ，λ）， 所以＝（1－λ，2λ，λ）， 由OE∥平面A1AB，得·n＝0，即－1＋λ＋2λ－λ＝0得λ＝. 所以存在这样的点E，且E为BC1的中点. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $