1.2 空间向量基本定理 第1课时 空间向量基本定理 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础概念辨析、几何体中向量表示到综合应用的三阶分层设计，强化几何直观与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|基底概念、向量相等|选择1-2直接考查基底判定，填空9通过向量相等深化基底性质，培养抽象能力| |能力提升|向量线性表示|选择3-5结合三棱锥、四棱锥中点的位置关系，填空8-10涉及重心、分点向量分解，发展空间观念| |综合应用|基底线性组合与复杂几何体|选择6-7通过方程组求系数、多选综合判断，解答11-12在平行六面体、四棱锥中综合应用，提升推理意识|

1.2 空间向量基本定理 第1课时 空间向量基本定理 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底的是（　 　） A.{，，} B.{，，} C.{，，} D.{，，} 2.下列说法中，正确的是（　 　） A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 B.空间的基底有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等 3.如图，在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（　 　） A.－a＋b＋c B.－a＋b＋c C.－a－b－c D.－a＋b－c 4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则＝（　 　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a－b＋c 5.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CM＝BM，N是PD的中点，向量＝－＋x＋y，则（　 　） A.x＝，y＝－ B.x＝－，y＝ C.x＝－，y＝ D.x＝，y＝－ 6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为（　 　） A．，－1，－ B．，1， C．－，1，－ D．，1，－ 7.（多选）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则（　 　） A.＝a＋b＋c B.＝a＋b＋c C.＝－a－b＋c D.＝a－b＋c 二、填空题 8.如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为空间的一个基底，则＝　 . 9.已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，p＝xe1＋ye2－e3，q＝－ye1＋2xe2－e3，若p＝q，则x＝　 　，y＝　 　. 10.三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是AB和B1C1上的点，且BM＝3AM，C1N＝2B1N.设＝x＋y＋z（x，y，z∈R），则x＋y＋z的值为. 三、解答题 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. （1）用基底{a，b，c}表示向量，，； （2）化简＋＋，并在图中标出化简结果. 12.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 解析版 一、选择题 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底的是（　C　） A.{，，} B.{，，} C.{，，} D.{，，} 解析：长方体ABCD－A1B1C1D1如图所示. 对于A，因为＝＋，所以，，共面，故{，，}不能作为空间的一个基底，故A错误；对于B，因为＝＋，所以，，共面，故{，，}不能作为空间的一个基底，故B错误；对于C，因为，，不共面，所以{，，}可以作为空间的一个基底，故C正确；对于D，因为，，共面，且＝，所以，，共面，故{，，}不能作为空间的一个基底，故D错误.故选C. 2.下列说法中，正确的是（　C　） A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 B.空间的基底有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等 解析：只有不共面的三个非零向量才能构成空间的一个基底，基底不唯一，因此选项A，B，D均不正确，C正确.故选C. 3.如图，在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（　A　） A.－a＋b＋c B.－a＋b＋c C.－a－b－c D.－a＋b－c 解析：连接ON（图略），＝－＝（＋）－＝－a＋b＋c. 4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则＝（　B　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a－b＋c 解析：连接BD（图略），＝＋＝－＋＝c－b＋a. 5.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CM＝BM，N是PD的中点，向量＝－＋x＋y，则（　B　） A.x＝，y＝－ B.x＝－，y＝ C.x＝－，y＝ D.x＝，y＝－ 解析：因为＝＋＋＝－＋＝－＋＋（－）＝－－＋，所以x＝－，y＝. 6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　A　) A．，－1，－ B．，1， C．－，1，－ D．，1，－ 解析：由题意得d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3， ∵d＝e1＋2e2＋3e3， ∴解得故选A. 7.（多选）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则（　AB　） A.＝a＋b＋c B.＝a＋b＋c C.＝－a－b＋c D.＝a－b＋c 解析：由题意知，{a，b，c}构成空间的一个基底，＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝c＋a＋b，A正确；因为O为A1C1的中点，所以＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝c＋（a＋b）＝c＋a＋b，B正确；连接BD（图略），＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋（－）＝－c＋（b－a），C错误；＝＝－（a＋b＋c），D错误. 二、填空题 8.如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为空间的一个基底，则＝　－－＋　. 9.已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，p＝xe1＋ye2－e3，q＝－ye1＋2xe2－e3，若p＝q，则x＝　0　，y＝　0　. 解析：{e1，e2，e3}为空间的一个基底，要使xe1＋ye2－e3＝－ye1＋2xe2－e3，只有x＝0，y＝0. 10.三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是AB和B1C1上的点，且BM＝3AM，C1N＝2B1N.设＝x＋y＋z（x，y，z∈R），则x＋y＋z的值为　. 解析：由题意可知＝＋＋＝＋＋＋＝－＋＋＋（－）＝＋＋， 又MN＝x＋y＋z（x，y，z∈R）， ∴x＋y＋z＝1＋＋＝. 三、解答题 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. （1）用基底{a，b，c}表示向量，，； （2）化简＋＋，并在图中标出化简结果. 解：（1）＝＋＝＋－＝a－b＋c. ＝＋＋＝－a＋b＋c. ＝＋＝a＋（b＋c）＝a＋b＋c. （2）＋＋＝＋（＋）＝＋＝＋＝. 如图，连接DA1，则即为所求. 12.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 解：如图，取PC的中点为E，连接NE，则＝－. 由题意知＝＝＝－， ＝－＝－＝. 连接AC，则＝＋＝＋－， ∴＝－－＝－－（＋－）＝－－＋， ∴x＝－，y＝－，z＝. 页 学科网（北京）股份有限公司 $