1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.A　因为＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向向量. 2.B　由点P在直线上的充要条件可得，B符合题意. 3.C　由题可得＝（4，1，0），因为平面α的一个法向量为n＝（6，a，6），所以n⊥，所以n·＝（6，a，6）·（4，1，0）＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. 4.B　对于选项A，＝（1，0，1），则·n＝（1，0，1）·（3，1，2）＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝（1，－4，），则·n＝（1，－4，）·（3，1，2）＝0，故B正确；同理可排除C、D. 5.B　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）.又＝（0，－1，1），＝（－1，1，0），则∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确. 6.ABC　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确. 7.BCD　＝（2，1，0），＝（－1，2，1），＝（－3，1，1），若与共线，设＝λ，则方程组无解，故与不共线，A错误；与同向的单位向量是＝＝（，，0），B正确；在方向上的投影向量是·＝·＝（－2，－1，0），C正确；设平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），则令y＝－2，则n＝（1，－2，5），D正确. 8.（，1，－2）（答案不唯一）　解析：设直线l的方向向量为d＝（x，y，z），则所以令y＝1，则z＝－2，x＝，所以直线l的一个方向向量为d＝（，1，－2）. 9.2　解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设AA1＝h，由题意可知C（0，0，0），A1（1，0，h），所以＝（1，0，h），因为n＝（－2，－2，1），所以根据法向量的定义可得，n·＝（－2，－2，1）·（1，0，h）＝－2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2. 10.解：（1）由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）. （2）设P（x，y，z），则＝（x，y，z）， 因为点P在以为方向向量的直线上， 所以∥，设＝λ，即有（x，y，z）＝λ（1，1，1）， 所以x＝y＝z＝λ，又因为｜｜＝1， 所以＝1， 即＝1， 所以＝1，所以λ＝±， 所以点P的坐标是（，，）或（－，－，－）. 11.D　因为n·＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D. 12.（2，1，0）（答案不唯一）　解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y－1，z－1），则满足即可取x＝2，y＝1，z＝0，故终点坐标为（2，1，0）. 13.　解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）.∵A（－1，0，2），B（0，1，－1），∴＝（1，y，－2），＝（x，－1，1）.∵AD⊥BC，∴·＝x－y－2＝0，即x＝y＋2.∵＝（－x，y，0），∴｜｜＝＝＝＝≥（当y＝－1时取等号）.故｜｜的最小值为. 14.解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）. （1）因为SA⊥平面ABCD， 所以＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. （2）因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以＝（，0，0）是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z）， 则n⊥，n⊥， 所以 得方程组 所以令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝（2，－1，1）. 所以n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. 15.解：（1）证明：因为·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. （2）因为｜｜＝＝， ｜｜＝＝2， ·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以cos＜，＞＝＝， 故sin＜，＞＝， S▱ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A.（1，2，3） B.（1，3，2） C.（2，1，3） D.（3，2，1） 2.下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　　） A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 3.已知平面α内有两点M（－2，3，1），N（2，4，1），若平面α的一个法向量为n＝（6，a，6），则a＝（　　） A.－ B. C.－24 D.24 4.已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　） A.（1，－1，1） B.（1，3，） C.（1，－3，） D.（－1，3，－） 5.已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个单位法向量是（　　） A.（1，1，1） B.（，，） C.（，，） D.（，，－） 6.〔多选〕若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是（　　） A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 7.〔多选〕已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1）三点，则下列说法正确的是（　　） A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是（，，0） C.在方向上的投影向量是（－2，－1，0） D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） 8.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝（2，1，1）与n2＝（0，2，1）为其法向量，α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为　　　　.（写出一个方向向量的坐标） 9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝（－2，－2，1），则棱AA1的长为　　　　. 10.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示. （1）求直线DB1的一个方向向量； （2）点P是过D点且以为方向向量的直线上的一点，且｜｜＝1，求点P的坐标. 11.（2025·莆田质检）已知＝（－3，1，2），平面α的一个法向量为n＝（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为（　　） A.AB⊥α B.AB⊂α C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥α 12.已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为　　　　. 13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么｜｜的最小值是　　　　. 14.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求： （1）平面ABCD的一个法向量； （2）平面SAB的一个法向量； （3）平面SCD的一个法向量. 15.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）. （1）求证：是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $