2025-2026学年下学期高二数学期末限时小卷（十四）（人教B版选择性必修第二册第三章 排列 组合与二项式定理）

**基本信息** 聚焦排列组合与二项式定理，以分类分步计数原理为核心，通过实际应用问题培养抽象能力与推理意识，实现概念生成到综合应用的逻辑闭环。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合|5题（如单选3抽屉放书、解答9人员选拔）|有限制条件的分配/分组、实际情境应用|以分类分步计数原理为基础，从简单排列组合到含特殊元素/相邻不相邻问题的拓展| |二项式定理|5题（如单选2二项式系数、解答10展开式计算）|展开式系数/常数项、二项式系数性质|从二项式系数定义到展开式通项公式，结合赋值法求系数和，体现概念推导与应用的统一|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十四） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第三章 排列、组合与二项式定理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 2.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为(    ) A. B. C. D. 3.现有语文数学英语物理各本书，把这本书分别放入个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为(    ) A. B. C. D. 4.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为 C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为 6.下列说法正确的是(    ) A. 集合的子集共有个 B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种 C. 封信投入个信箱，不同方法数有种 D. 个三好学生名额分给个班，每个班至少一个名额，不同方法数有种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.的展开式中的常数项为            ． 8.某市的个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有          种． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某社团共有学生名，其中有名男生和名女生，现从中选出人去参加一项创新大赛列式表明计算过程，结果用数字表示 如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法 如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法 10.本小题分 已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是． 求的值 求其二项式系数之和与各项系数之和的差． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十四） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二项展开式的通项公式，属于基础题． 直接利用二项式的展开式求出结果． 解：根据二项式展开式：，， 故当时，展开式中的系数为， 故故选：． 2.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题． 由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数． 【解答】 解：由题设， ， 当时， ． 含项的二项式系数为 ． 故选：． 3.现有语文数学英语物理各本书，把这本书分别放入个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：本书放入三个不同的抽屉， 先在本书中任取本作为一组，再将其与其他本书对应三个抽屉， 共有种情况， 若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉， 有种情况， 则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种； 故选：． 4.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将甲、乙、丙、丁、戊五名老师安排到所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况， 第一种：按照“”分组，有种方法； 第二种：按照“”分组，有种方法； 而每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有种； 故不同的分配方法总数为种 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为 C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了二项式定理的应用，属于基础题． 利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得． 【解答】 解：因为展开式的通项公式为， 对，由，得舍去，所以展开式不存在常数项，故A正确； 对，二项式系数和为，故B错误； 对，展开式共有项，所以第项和第项二项式系数最大，故C正确； 对，令，得所有项的系数和为，故D错误． 故选：． 6.下列说法正确的是(    ) A. 集合的子集共有个 B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种 C. 封信投入个信箱，不同方法数有种 D. 个三好学生名额分给个班，每个班至少一个名额，不同方法数有种 【答案】ABD  【解析】解：集合，共有个元素，子集共有个，A正确； 英文“”，由个字母组成， 因为含个重复的，所以总排列数为种， 又正确排列仅种，故错误排列数为种， B正确； 封信投入个信箱，不同方法数有种，C错误； 相同元素分组问题隔板法得： 将个三好学生的名额全部分配到个不同班里，每个班至少一个名额， 则共有种不同的分法，D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.的展开式中的常数项为            ． 【答案】  【解析】【分析】本题考查二项式的展开式，组合数的计算，属于基础题． 求出二项式展开式的通项公式，令的指数为，可得二项式展开式中的常数项． 【解答】解：的展开式的通项公式为，，，， 令，解得， 故展开式中的常数项为故答案为：． 8.某市的个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有          种． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查两个计数原理的综合应用，属于基础题． 利用分步计数原理与分类计数原理可得结论． 【解答】 解：第一步：从种颜色中选种颜色对三个区域着色有种方法， 第二步：对着色分两类， 当与同色有种方法，对着色有种方法， 当与不同色时有种方法，对着色有种方法， 故不同的染色方案共有种． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某社团共有学生名，其中有名男生和名女生，现从中选出人去参加一项创新大赛列式表明计算过程，结果用数字表示 如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法 如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法 【答案】解：如果人中男生和女生各选人， 有种选法； 如果男生中的甲与女生中的乙必须在内， 则再从剩下的人中任选人，有种选法； 如果男生中的甲与女生中的乙至少要有人在内， 包含两种情况， 第一种男生中的甲与女生中的乙必须在内有种， 第二种情况，甲乙仅有一人人在内， 有种选法， 故有种选法； 如果人中必须既有男生又有女生， 利用间接法，全选后，去掉只有男生和只有女生， 故有种选法． 10.本小题分 已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是． 求的值 求其二项式系数之和与各项系数之和的差． 【答案】解：因为二项式展开式中，前三项的二项式系数和是，所以， 得到，解得． 由二项式性质得二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十四） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第三章 排列、组合与二项式定理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 2.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为(    ) A. B. C. D. 3.现有语文数学英语物理各本书，把这本书分别放入个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为(    ) A. B. C. D. 4.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为 C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为 6.下列说法正确的是(    ) A. 集合的子集共有个 B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种 C. 封信投入个信箱，不同方法数有种 D. 个三好学生名额分给个班，每个班至少一个名额，不同方法数有种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.的展开式中的常数项为            ． 8.某市的个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有          种． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某社团共有学生名，其中有名男生和名女生，现从中选出人去参加一项创新大赛列式表明计算过程，结果用数字表示 如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法 如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法 10.本小题分 已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是． 求的值 求其二项式系数之和与各项系数之和的差． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $