精品解析：河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则的虚部为 . 2. 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，则， 由于，因此. 3. 已知一组数据的极差为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【详解】因为数据的极差为，且， 所以的最大值为，最小值为 ． 4. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案. 【详解】由于 分别是 中点，所以 ， 可得 是异面直线 与 所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为，则， ， 所以. 5. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 【答案】C 【解析】 【详解】事件，相互独立，， ，; . 6. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ， ，则 边上的中线长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理用表示 边上的中线，再根据单调性求解. 【详解】设 边上的中点为 ，连接，设，，则 由余弦定理，，， 而，所以， 化简得：，即， 解得：，即， 又因为，所以，将 ， 代入得： ，关于单调递减， 在 中，，所以， ，所以的取值范围是. 7. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】 如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点 ， 设球的半径为 ，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 8. 已知O是 所在平面内一点，且，， 的面积S满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用向量运算化简两个向量等式得，即点O是 的外心，所以 ，再由结合三角形面积公式和向量数量积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 即，所以，故， 因为，所以， 即，所以， 即，所以，故， 所以，即点O是 的外心，所以 ， 因为，所以， 所以，因为，所以， 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，因为，所以，故A正确； B选项，若，则，得，故B正确； C选项，因为，所以，得，故C正确； D选项，若，则，得，故D错误. 10. 已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B. 对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误. B选项，如图所示，过上一点，作，则 确定一个平面，设这个平面为 ， 对任意一点，都可以作平面 的一条垂线，设垂线为 ，则, 所以 ，所以B选项正确. C选项，假设平面，由，得；由，得， 推得 ，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确. D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误. 11. 在长方体中，底面为正方形， ，，，分别为棱，的中点，设过点 的平面为， ，则（ ） A. B. 截长方体所得截面为五边形 C. 截长方体所得截面的周长不超过12 D. 与平面所成的锐二面角的正切值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：通过延长线构建辅助点，利用相似三角形的对应边成比例关系计算即可；选项B：利用辅助线确定所有顶点的位置，顺次连接得到截面多边形；选项C：利用勾股定理计算的长度和即可；选项D：结合图形确定二面角的平面角. 利用等面积法求出点到交线的距离 ，结合已知高度在直角三角形中利用正切公式求解. 【详解】对于A ：如图，连接并延长交的延长线于点，则，， 连接交于点 ，则，所以. 又，所以，，故A正确. 对于 B ：延长交的延长线于点，则， 所以.连接交于点 ，则， 则，则. 所以以截长方体 所得截面为五边形，故B正确. 对于C ：五边形的周长为. 其中：，， ，，， 所以五边形的周长为，故C错误. 对于 D ：过点作于点，由等面积法可得. 连接，由平面，平面，可得, 且，平面，故平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角，即与平面所成的锐二面角， 且. 即与平面所成的锐二面角的正切值为 5，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________． 【答案】4 【解析】 【详解】某新能源科技公司研发团队男性成员有人， 则男性成员 女性成员， 被选中的男性成员人数人. 13. 已知复数z满足，则的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】几何法思路： 根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、 为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为 ，用圆心距减去半径即可得到最小值． 代数法思路： 设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值． 【详解】方法一：几何法 复数在复平面内对应的点为， 表示点在以为圆心、半径的圆上， 表示点到原点的距离． 圆心 到原点的距离为， 因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径， 即． 方法二：代数法 设， 由得，即， 所以， 由圆的范围，得， 当时，． 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或 的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且， ． （1）求证： ； （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1）因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即， 因为垂直于圆O所在的平面， 平面，所以， 又，平面，平面，所以 平面， 又平面，所以 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得 平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知 平面，又 平面，所以， 又，平面， 平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离． 在 中，， 由，即， 解得，即点A到平面的距离为． 方法二：由题可得． 设点A到平面的距离为h， 由题意知，即， 即，解得， 即点A到平面的距离为． 16. 在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”． （1）求； （2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）事件 ："3个小球颜色均不相同"，即必须取到红、黄、白各一个.红球有3种取法，黄球有2种，白球1种，故 ，.事件 ："取出的小球上的数字分别为 "，即取到的三个数字恰好是1、2、3各一个.数字1的球有3个（），数字2的球有2个（），数字3的球有1个（），故 ，.事件 ：既满足颜色均不相同，又满足数字分别为1,2,3.在 的6种取法中，只有 符合条件，故 ，.计算，而，两者不相等.因此 ，故事件A，B不相互独立． 【解析】 【分析】（1）列举所有等可能的取法，统计数字和大于5的取法数，利用古典概型求概率； （2）分别计算 、 、 ，利用独立事件的定义 判断. 【小问1详解】 设3个红球分别为（对应数字1，2，3），2个黄球分别为（对应数字1，2）， 白球为（数字1）.从中任取3个球， 取法有：，，， ，，，共个. 其中数字和大于5的有：，，，，，，，共7种. 故. 【小问2详解】 略 17. 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取 名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中 ． （1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是 ，求落在中的样本数据的平均数和方差． 【答案】（1），众数为 （2）分． （3）； 【解析】 【分析】（1）由概率之和为 以及 即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可； （2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可. 【小问1详解】 依题意可知，， 又 ，解得， 由图可知样本数据的众数落在区间内， 所以估计样本数据的众数为125． 【小问2详解】 由（1）可知，即成绩落在中的频率为， 成绩落在中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在中． 设获得一等奖学生的最低分为x，则有， 解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分． 【小问3详解】 ， . 18. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可； （2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于 的方程并求解，再结合面积公式求解 ； （ⅱ）通过向量运算建立和 的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围. 【小问1详解】 ，即 ， 由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以 ，即， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 的周长为，所以， 由余弦定理可得，即 ， 即 ，得， 所以 的面积为， 则， 所以． （ⅱ）因为，所以E是 的中点，所以， 则， 又 ，所以 ， 由正弦定理可得 ， 所以 ，， 所以 ． 因为 为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以，则 的取值范围是． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点 所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【小问1详解】 ，，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接 ，，如图1所示： 为等边三角形，. 平面平面 ，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 （ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接. ，； ，， ，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知 平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由 平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据的极差为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 4. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 6. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ， ，则 边上的中线长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知O是 所在平面内一点，且，， 的面积S满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B. 对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C. 若，，则 D. 若，则 11. 在长方体中，底面为正方形， ，， ， 分别为棱，的中点，设过点 的平面为， ，则（ ） A. B. 截长方体所得截面为五边形 C. 截长方体所得截面的周长不超过12 D. 与平面所成的锐二面角的正切值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________． 13. 已知复数z满足，则的最小值为_____． 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且， ． （1）求证： ； （2）求点A到平面的距离． 16. 在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”． （1）求； （2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 17. 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取 名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中 ． （1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是 ，求落在中的样本数据的平均数和方差． 18. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $