精品解析：江苏省淮安市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

翔宇教育集团江苏省淮安外国语学校2023～2024学年度第二学期期末考试 初一数学 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 2. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫厚度是约毫米，用科学记数法表示为（ ） A 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 4. 已知，那么下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 若，则的结果是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 二、填空题:（每题3分，共24分） 9. 计算：__________ 10. 因式分解：___________． 11. 已知的两条边长分别为2，3，且周长为偶数，则其第三边长等于 _____． 12. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 13. 若一个正多边形的内角和恰好是其外角和的4倍，则该正多边形的每一个外角是_______． 14. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______． 15. 若关于的多项式的一个因式是，则的值为__________. 16. 如图，在中，，，是边上高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是________°． 三、解答题：（本题共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组； （2）解不等式组． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ，，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． （1）根据题意，补全图形； （2）图中和的数量关系是 ； （3）在上画出一点P，使得． 22. 对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 23. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减．例如：，； （1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的等式可表示为______； （2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 24. 淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） （1）求A，B两种规格香肠的销售单价； （2）若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ （3）在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 25. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 26. 已知在中，，为锐角，是边上高，在射线上取一点，使，在平面内取一点F，使，且点E，F在直线的异侧，连接交于点． （1）如图1，当时，补全图形，并证明．； （2）在图1中用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）设当的大小变化时，若，直接写出线段长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 翔宇教育集团江苏省淮安外国语学校2023～2024学年度第二学期期末考试 初一数学 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项正确； B. ，故本选项错误； C ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 2. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 3. 小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约毫米，用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】=毫米． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 已知，那么下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，原不等式错误，不符合题意； B、，原不等式错误，不符合题意； C、，原不等式正确，符合题意； D、当时，，原不等式错误，不符合题意． 故选：C． 5. 若，则的结果是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．先根据多项式乘多项式法则，计算，再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】 ∵解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 8. 已知多项式，当时，该多项式值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，利用因式分解将等式的左边整理成两个整式的乘积是解题的关键．首先根据题意，将x的值分别代入多项式中，得到两个等式，再将两个等式相减，然后利用因式分解将等式整理得，因为，所以得，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，①，②， ①-②得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题:（每题3分，共24分） 9. 计算：__________ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式． 11. 已知的两条边长分别为2，3，且周长为偶数，则其第三边长等于 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．设第三边长为，根据三边关系得出，根据周长为偶数，得出，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和3， 设第三边长为，则，即， ∵周长为偶数，， ∴为奇数， ∴， 即第三边长为， 故答案为：． 12. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但是不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 13. 若一个正多边形的内角和恰好是其外角和的4倍，则该正多边形的每一个外角是_______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和综合．根据多边形内角和的计算方法求出这个正多边形的边数，再根据正多边形的每一个外角都相等且外角和是进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 即这个正多边形是正十边形， 所以它的每一个外角为， 故答案为：． 14. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 15. 若关于的多项式的一个因式是，则的值为__________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意，令，进而整理得到a，b的值即可得解. 【详解】根据题意，令 整理得： ∴，解得：，∴， 故答案为：26. 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的乘法运算方法及技巧是解决本题的关键. 16. 如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是________°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；过点A作，且，连接，证明，推出，得出，可知当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，连接交于点，交于点F，推出，，得出，进而可求出答案． 【详解】解：如图：过点A作，且，连接， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接交于点，交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70． 三、解答题：（本题共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂、零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和不等式组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴不等式组的解集为； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 20. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ，，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）由，得，进一步证得，根据边角边求证； （2）以为底作为高，则，，由，求得；求证，得，所以． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：在中，以为底作为高， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． （1）根据题意，补全图形； （2）图中和的数量关系是 ； （3）在上画出一点P，使得． 【答案】（1）图见解析 （2）互补 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 【小问1详解】 解：如图，，，即为所求作； 小问2详解】 解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； 【小问3详解】 解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 22. 对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，新定义运算，熟练掌握不等式的解法及运算法则是解本题的关键．根据新定义得出关于x的不等式组，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可． 【详解】解：由题意得：．即， ∴， ∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解，8，9， ∴， 解得． 故t的取值范围是． 23. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2022年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减．例如：，； （1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的等式可表示为______； （2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意用含x的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【小问1详解】 解：设日历中所示的方框左上角数字为x， 则其余三个数从小到大依次是：， ∴规律用含x的式子可表示为； 故答案为：； 【小问2详解】 证明： 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则． 24. 淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） （1）求A，B两种规格香肠的销售单价； （2）若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ （3）在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋 （2）B规格香肠最多能采购30袋 （3）不能实现利润为1065元的目标，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可； （2）设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋，根据两种规格香肠总价格不超过1800元，列出不等式，解不等式即可； （3）根据利润为1065元，列出方程，求出m的值，然后再与（2）中m的范围进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋， 根据题意得：， 解得：． 答：A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋； 【小问2详解】 解：设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30， 答：B规格香肠最多能采购30袋； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不能实现利润为1065元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴不符合题意，舍去， ∴在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不实现利润为1065元的目标． 25. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用： （1）大正方形的面积用两种方法表示出来，即可得出答案； （2）根据完全平方公式变形得出，再求出面积即可； （3）四边形的面积为，再求解即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为：， 大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：， 所以； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 【小问3详解】 解： ∵， ∴四边形的面积为． 26. 已知在中，，为锐角，是边上的高，在射线上取一点，使，在平面内取一点F，使，且点E，F在直线的异侧，连接交于点． （1）如图1，当时，补全图形，并证明．； （2）在图1中用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）设当的大小变化时，若，直接写出线段长的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，，由同角的余角相等即可得出结论； （2）连接，易证，继而可证明，由此可知为的中点，由已知可得，进而得出三条线段的关系； （3）分M在D点左侧和右侧两种情况讨论，根据求出取值范围，再根据线段和差关系利用不等式性质变形求解即可. 【小问1详解】 解：如图， 证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 结论：． 证明：连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴，， 又∵， ∴， 又在和中， ∵， ∴ ∴，即：， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 当时，M在点D右侧，如图： 当时，，即， 又∵， ∴， ∴ ∵，即 当时，若，则． 可知时，M在点D左侧，如图： 当时，，即， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，若，则， 综上所述：线段长的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合和不等式性质的应用，解（2）题关键是证明三角形全等得出点M是的中点．解（3）题关键是利用线段和差关系和不等式性质变形得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $