精品解析：贵州遵义市仁怀市周林高级中学2025-2026学年高二上学期1月份考试数学试卷

2025-2026学年度贵州省仁怀市周林高中1月份考试 高二数学试卷 本试卷共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合，，根据集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 根据集合交集的运算，可得. 故选：B. 2. 已知复数 满足，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，∴ ， 即 ， ∴ ，即 的虚部是 . 3. 设一组样本数据的极差为 ，方差为，若数据 的极差为，则数据 的方差为（ ） A. 0.02 B. C. 0.2 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为 ，则 ， 所以数据 的极差为 ， 所以 ， 根据方差的线性变换性质可知数据 的方差 . 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，当时，有，利用排除法分析可得答案. 【详解】解：根据题意，对于函数， 有函数， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ； 当时，，则恒有，排除D； 故选：C. 5. “，关于 的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为对，关于 的不等式恒成立， 当时 恒成立，符合题意； 当时，，解得； 综上可得. 因为， 所以“，关于 的不等式恒成立”的一个必要不充分条件可以是 . 故选：B 6. 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式. 【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则， 令，解得，两边取常用对数得，即 即，因为，， 所以，解得，因为，所以的最小值为9． 故选：A 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的图象与性质进行求解即可. 【详解】法一:由题 ，令， ， 因为，所以， ， 因为在上单调递增，所以且， 得．由，得， 又 且，所以 ，. 故选:C. 法二:由题 ， 由，得， 设的最小正周期为T，则由题意得，所以， 从而，结合函数 在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得. 故选:C. 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断. 【详解】因为，，所以 ； 又因为，则， 即，所以，即 ； 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件 ，“两枚硬币朝上的面相同”为事件 ，则 （ ） A. B. 事件A与事件 互斥 C. 事件与事件 对立 D. 事件A与事件 相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：根据古典概型的计算公式分析运算；对B：根据互斥事件的概念分析判断；对C：根据对立事件的概念分析判断；对D：根据独立事件的概念分析判断. 【详解】对A：由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上， 则， 两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反， 则，A正确； 对B：事件A与事件 可以同时发生，即事件A与事件 不是互斥，B错误； 对C：事件 对立事件包含两种情况：正反、反正，事件仅有一种情况：正反， 故事件与事件 不对立，C错误； 对D：∵，故事件A与 相互独立，D正确. 故选：AD. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误. 【详解】由，，得：； 对于A，（当且仅当，即， 时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即，），B错误； 对于C，（当且仅当，即， 时取等号）， ，解得：（当且仅当， 时取等号），C正确； 对于D，（当且仅当，即， 时取等号）， 由C知：（当且仅当， 时取等号）， （当且仅当， 时取等号），D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线过抛物线 的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到y轴的距离为 C. 线段的长度为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出焦点F的坐标判断A；联立直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答. 【详解】显然抛物线 的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点， 即，则，解得，抛物线 的方程为，准线方程为，A正确； 由消去并整理得：，设 ， 则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误； ，因此线段的长度为，C正确； 显然点，， 则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 12. （多选）已知圆：与圆 相交于， 两点，直线 ，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的长为 C. 直线过定点 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到 即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为 ， 直线的方程为 ，设，则， 所以直线的方程为 ， 又因为 ，所以 ， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时 ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 13. 已知向量，．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】，. 因为，所以 ， 整理得 ，解得. 14. 设双曲线 的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长 交 的右支于点 ，且，则 的离心率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点为，由题意易得 ， ， ，在 中由勾股定理列出方程，即可得到，再由解出答案. 【详解】 不妨设点在轴 上方，如图所示：取中点为，连接， 因为直线 与圆相切，即 ， 所以在 中， ， 又 所以 ， ， 由双曲线的定义知： 所以 ， 在 中 分别为 的中点， 所以 为 的中位线， 所以 ，且 ， 又 ，所以 ， 在 中，， 所以， 化简得：， 所以双曲线的离心率. 15. 唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为： ，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点 的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点 ，均有，故总路程. 所以当 为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1），63 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为 ，则，则， 解得，故第25百分位数为63． 【小问2详解】 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形， ，，E，F分别为棱PD，PB的中点. （1）求证AE平面PCD； （2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据平面 得到 ，根据为等边三角形，得到 ，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可； （3）设，得到，然后利用空间向量和∥平面列方程，解得即可. 【小问1详解】 ∵平面 ，平面 ， ∴ ， ∵为等边三角形， 为 中点， ∴ ， ∵ ，平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取 中点，连接 ，， ∵平面 ，平面，平面 ， ∴平面平面，， ∵为 中点，为等边三角形， ∴， ， ∵平面 平面 ，平面 ， ∴平面， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ， 如图，以为原点，分别以，， 为 ，， 轴建立空间直角坐标系， ，，，，, ∵平面 ， ∴可以作为平面 的一个法向量， 设平面的法向量为，则 ，令，则，，， 所以，所以平面与平面 所成锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，，， 设，则， ∵∥平面， ∴，解得， 所以在棱上存在点 使∥平面，此时. 18. 如图，在四棱柱中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①： ；条件②：. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线 与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） （2） （3）的长为或. 【解析】 【分析】选①或②，都能得到， ，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题. 【小问1详解】 若选择①，因平面ABCD，平面ABCD，则， 又 ，平面， 平面，，则 平面，又平面，则 ； 若选择②，做 ，交AB于F，又，则四边形DCFA是平行四边形，则，又，则. 则在中，，得，又 ，则. 故，则如图建立以A为原点的空间直角坐标系. 则， 得，则直线与所成角的余弦值为： . 【小问2详解】 因， 则. 设平面的法向量为，则， 取，则求点到平面的距离. 【小问3详解】 因点在线段上，则设，其中. 又，则.又， 设平面法向量为，则， 取，则直线 与平面所成角的正弦值为： 或. 得线段的长为或. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆. （1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设动圆 同时平分圆的周长、圆的周长. ①证明：动圆圆心 在一条定直线上运动； ②动圆 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】（1）或；（2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，根据弦的垂径定理结合点到直线的距离公式求解,注意斜率不存在的情况. （2）①由垂径定理得到圆心 到、两点的距离相等，再有两点距离公式建立等式，化简即可；②根据①设圆心 的坐标，得到圆 关于参数 的一般形式，由此可得动圆 经过与 的交点，联立解方程组即可. 【详解】（1）如图： 当直线与 轴垂直时，直线与圆相离，与题意不符； 当直线与 轴不垂直时，设直线方程为 ，即， 圆心到直线的距离， 又，解得或. 直线的方程为或. （2）①设动圆 的圆心，半径为， 若动圆 同时平分圆的周长、圆的周长， 则,，所以， 即 ，化简得 . 过动圆圆心 在直线 上运动. ②动圆 过定点， 设，动圆 的半径， 整理得， 由得或. 所以动圆 过定点，坐标为或. 【点睛】圆及其弦问题借助图形分析十分重要，动圆过定点问题需要把圆方程化为一个定方程与另一个定方程乘以一个参数的和，联立两个定方程解方程组即可，非解答题也可采用取特殊值解方程组. 20. 已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示. （1）当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由； （2）若点P的坐标为，求直线AB的斜率. 【答案】（1）是定值，定值为 （2） 【解析】 【分析】（1） 由题意求出直线的斜率，再求可设直线CD的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解即可； （2）设，，，记，表示出点的坐标，将A，D两点的坐标代入椭圆方程，化简得，再由可得，从而可得，进而可得直线的方程，则可求出其斜率. 【小问1详解】 由题意知，，，所以，，所以， 设直线CD的方程为，设，， 联立直线CD与椭圆的方程，整理得， 由，解得，且， 则，， 所以 ， 故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为. 【小问2详解】 设，，，记()， 得.所以. 又A，D均在椭圆上，所以， 化简得， 因为，所以， 同理可得， 即直线AB：， 所以AB的斜率为. 【点睛】关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度贵州省仁怀市周林高中1月份考试 高二数学试卷 本试卷共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. R 2. 已知复数 满足，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设一组样本数据的极差为，方差为，若数据 的极差为 ，则数据 的方差为（ ） A. 0.02 B. C. 0.2 D. 0.4 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（  ） A. B. C. D. 6. 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件，“两枚硬币朝上的面相同”为事件，则 （ ） A. B. 事件A与事件互斥 C. 事件与事件对立 D. 事件A与事件相互独立 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线过抛物线 的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到y轴的距离为 C. 线段的长度为 D. 12. （多选）已知圆：与圆 相交于，两点，直线 ，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的长为 C. 直线过定点 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 13. 已知向量，．若，则_________． 14. 设双曲线 的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长 交的右支于点 ，且，则的离心率为_________． 15. 唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为： ，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形， ，，E，F分别为棱PD，PB的中点. （1）求证AE平面PCD； （2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 18. 如图，在四棱柱中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①： ；条件②：. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线 与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆. （1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长. ①证明：动圆圆心在一条定直线上运动； ②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 20. 已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示. （1）当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由； （2）若点P的坐标为，求直线AB的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $