精品解析：贵州贵阳市贵州师范大学附属中学2025-2026学年度高2024级高二上期末数学试卷

贵州师范大学附属中学2025-2026学年度 高2024级高二上期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李瑞生 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由，求得的坐标，再根据模的运算公式求得. 【详解】∵，∴，∴ ∴，， 故选：C. 2. 已知{}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由基底概念逐项判断即可 【详解】对于A：，不能构成基底，故错误； 对于C：，不能构成基底，故错误； 对于D：，不能构成基底，故错误； 对于B：令，可得， 因为{}为空间的一组基底，所以不存在使得等式成立，B正确 故选：B 3. 已知直线，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，从而可求解. 【详解】由题意知，即得，解得，故A正确. 故选：A. 4. 若直线与圆相切，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 5. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意把问题转化为以为直径的圆和圆C有交点，以为直径的圆的圆心为，半径为，由点在圆C外，所以若要两圆相交可得，求解即可. 【详解】根据题意若要圆C上存在点P，使得∠APB＝90°， 可转化为以为直径的圆和圆C有交点， 以为直径的圆的方程为，圆心为，半径为， 由点在圆C外，所以若要两圆相交可得， 由可得，解得， m的最大值为， 故选：D. 6. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论. 【详解】由图①知，， 由图②知，点在椭圆上， ，则， 整理得，解得， 由图③知，在椭圆上， ，则， 整理得，，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 8. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点， 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出向量的模判断A；利用向量的坐标运算，再结合向量共线、垂直的坐标表示判断BC；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】空间向量， 对于A，，，A正确； 对于B，，而，则向量与不共线，B错误； 对于C，，， 因此，C正确； 对于D，，因此在上的投影向量为，D错误. 故选：AC 10. （多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线平行 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，利用，此时，都在直线上，可判断A，B，C为假命题； 当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，可判断D 【详解】设点，的坐标分别为，，则，.若，则，即，所以 . 若，即，则，都在直线上，此时直线与直线重合，故选项，，均为假命题. 当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，故选项D为真命题. 故选：ABC 11. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 存在点使得 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A由内切和外切求出，结合椭圆的定义可求；对于B利用椭圆的定义化简；对于C设，利用数量积的坐标运算求出，最后结合一元二次函数求最值；对于D利用余弦定理以及基本不等式求的最小值即可. 【详解】对于A，由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为动圆与圆外切，与圆内切于点， 所以， 得， 故点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 其中，则，故椭圆方程为， 联立，得， 故曲线的方程为，故A错误； 对于B，因为，所以， 故B正确； 对于C， 设，且，则， 则， 则不存在点使得，故C错误； 对于D，设，则， 则在中利用余弦定理得 ， 由，得，等号成立时，此时点， 则， 因为，所以， 故的最大值为，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解 【详解】不妨设 取平面xOy的法向量， 设平面α的法向量为， 则 即3x＝4y＝az，取z＝1，则. 又∵a>0，∴ 故答案为： 13. 若点在圆上，则圆与圆的位置关系是______． 【答案】外切 【解析】 【分析】根据两个圆的圆心距和它们半径间的关系判断两个圆的位置关系. 【详解】因为点在圆上， 所以． 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则圆心距，所以两圆外切． 故答案为：外切 14. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． （1）若F为的中点，求证：平面； （2）在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【小问1详解】 设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）的坐标为，的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案. （2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积． 【小问1详解】 设，因为边上的中线所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为， 所以，解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为， 所以，解得，即的坐标为． 【小问2详解】 因为，所以． 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为． 17. 在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. （1）求圆的标准方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； （3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【解析】 【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）圆方程可整理为： 圆的圆心坐标为，半径 圆心到直线的距离： 截得的弦长为：，解得： 圆的标准方程为： （2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即 直线与圆相切 圆心到直线距离，解得： 切线方程为： ②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即 圆心到直线距离，解得：或 切线方程为或 综上所述，切线方程为或或 （3）假设 ，即 又直线与圆相切，切点为 即：，整理得： 又在圆上 两圆有公共点 ，解得： 即的取值范围为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定. 18. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可； （2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可. 法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可. 法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明. 【小问1详解】 设,则，两边同平方化简得， 故. 【小问2详解】 法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则，易知 则令, 令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， 故,即. 当时,,且，即时等号成立，矛盾，故, 得证. 法二：不妨设在上，且， 依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0， 则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设， 直线的方程为， 则联立得， ，则 则， 同理， 令，则，设， 则，令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， ， 但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故. 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线, 矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于. 设 , 根据对称性不妨设 . 则 , 由于 , 则 . 由于 , 且 介于 之间, 则 . 令 , ,则,从而 故 ①当时, ②当 时,由于,从而, 从而又, 故,由此 ， 当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于. . 【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可. 19. 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：为直角三角形； （3）若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设出、两点坐标，借助点差法计算即可得； （2）联立直线与双曲线方程，可得与、两点坐标有关韦达定理，通过计算即可得为直角三角形； （3）设直线方程为：，，，，结合题意计算可得，又，，可得，联立直线与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得，结合面积公式计算即可用表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围. 【小问1详解】 设，，则，， ，两点在双曲线上， ，由①－②得， 即，， ，即，， 又，，双曲线的方程为：； 【小问2详解】 由已知可得，直线的方程为：，即， 联立，， 则，， ， ，为直角三角形； 【小问3详解】 由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0， 故设直线方程为：， 设，，， ，， ， 点在双曲线上，， ， ③， 又，， ，④， 联立， ， ⑤，⑥， ，分别在第一象限和第四象限，，， 由④式得：， ⑦， 将⑤⑥代入⑦得：， ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用表示出该三角形面积，难点在于计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州师范大学附属中学2025-2026学年度 高2024级高二上期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李瑞生 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 2. 已知{}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知直线，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若直线与圆相切，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. （多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线平行 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 11. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 存在点使得 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 13. 若点在圆上，则圆与圆的位置关系是______． 14. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． （1）若F为的中点，求证：平面； （2）在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 17. 在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2. （1）求圆的标准方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； （3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围. 18. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 19. 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：为直角三角形； （3）若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $