贵州师范大学附属中学2025-2026学年度高2024级高二上期末数学试卷

绝密★启用前 贵州师范大学附属中学2025-2026学年度 高2024级高二上期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李瑞生 （在试卷上作答无效！） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，，若，则   ． A. B. C. D. 2.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.已知直线：，：，若，则(    ) A. B. C. D. 4.若直线与圆相切，则(    ) A. B. C. D. 5.已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 6.设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.下列三个图中的多边形均为正多边形，是正多边形的顶点，椭圆过且均以图中的，为焦点，设图，，中的椭圆的离心率分别为，，，则(    ) A. B. C. D. 8.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质例如，点为双曲线为其焦点上一点，点处的切线平分已知双曲线，为坐标原点，双曲线上的点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.已知空间向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 10.定义点到直线的有向距离为已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是(    ) A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线平行 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 11.已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则(    ) A. 曲线的方程为 B. C. 存在点使得 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间中，已知平面过和及轴上一点，如果平面与平面的夹角为，则           ． 13.若点在圆上，则圆与圆的位置关系是          ． 14.已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，等边三角形所在平面与梯形所在的平面垂直，，，． 若为的中点，求证：平面．在线段上是否存在点，使平面若存在，求的值若不存在，请说明理由． 16.本小题分 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． 求顶点，的坐标 求的面积． 17.本小题分 在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为． 求圆的标准方程； 若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程； 若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围． 18.本小题7分 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． 求的方程 已知矩形有三个顶点在上，证明：的周长大于． 19.本小题分 已知双曲线：的右顶点，斜率为的直线交于、两点，且的中点为． 求双曲线的方程； 证明：为直角三角形； 若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围． 高二上期末数学答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积的运算及向量模的求法，向量垂直的充要条件，属于基础题． 依题意，，得，求出，进而求解向量的模即可． 【解答】 解：向量，，且，得，即， 解得，即，则． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题． 根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解． 【解答】 解：，，， ，，中的向量共面，不能作为空间的基底， 对于，假设，，共面， 则存在，使得， ，无解， ，，不共面，可以作为空间的一组基底． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由直线与垂直， 可得，解得． 故选A． 4.【答案】  【解析】解：圆的方程化成标准方程为， 圆心到直线的距离为， 则圆的半径为，即，得． 经检验时满足圆的方程，且符合题意， 故选：． 5.【答案】  【解析】若，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为． 由题意知圆：与圆：有公共点为原点，连接， 所以，易知， 所以，故的最大值为． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与的关系，可求双曲线的离心率． 方法二：由题意画出图形，先求出，再由列式求的离心率． 【解答】 解：方法一：设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，  ， 为以为直径的圆的半径， 为圆心，， ，又点在圆上， ，即， ， 故选A． 方法二：如图，以为直径的圆的方程为， 又圆的方程为， 所在直线方程为． 把代入，得， 再由，得， 即， ，解得． 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质，考查了正多边形中的边角关系，是中档题． 由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件分别求出离心率后比较得答案． 【解答】 解：由图知，，； 由图知，点在椭圆上， ，则，整理得：， 即  ，解得； 由图知，在椭圆上， ，则，整理得：， 即  ，解得 ． ． 故选B． 8.【答案】  【解析】如图，延长交的延长线于点， 由于是的平分线上的一点，且， 所以点为的中点， 所以，又为的中点， 所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率． 9.【答案】  【解析】因为，，所以，故 A正确；由题意得，，而，所以不成立，故 B不正确；因为，所以，故 C正确；因为在上的投影向量为，故 D错误． 10.【答案】  【解析】设点，的坐标分别为，，则，若，即，则点都在直线上，此时直线与直线重合，故A、、均为假命题．当时，则，即，所以，在直线的两侧，则直线与直线相交，故D为真命题． 11.【答案】  【解析】考查内容椭圆的定义与几何性质． 思路点拨 对于，由题意，设动圆的半径为， 则，， 所以， 故点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆去掉位于圆上及其内部的点，曲线的方程为，故A错误． 对于，，在点处取得最值， 又，故B正确． 对于，， 所以不存在满足条件的点，故C错误． 对于，，，三点共线，，，三点共线， 所以与互补，即， 则， 因为当且仅当时取等号， 所以，故D正确． 故选BD． 12.【答案】  【解析】平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，又， 则即即，取，则． 而，又，． 13.【答案】外切  【解析】因为点在圆上，所以． 又圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，连接，则，所以，即两圆外切． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题。 【解答】 解：不妨设为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义可得，所以，，，在中，，由余弦定理得，化简得，即． 所以，从而，当且仅当，时等号成立． 15.【答案】设的中点为，的中点为，连接，，由题意知因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面，所以平面又因为为等边三角形，所以故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，则，，，，，， 所以，，，所以，， 所以，又因为，平面，平面，所以平面． 存在． 设存在点，使平面，且，则， 所以由知，，， 设平面的一个法向量为，由 取，则，由平面，得． 所以，解得，所以当时，平面．   【解析】略 16.【答案】解：设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得即的坐标为． 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得即的坐标为． 因为，，所以． 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为．  【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 根据边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，联立求点，的坐标； 求出顶点到直线的距离，线段的长，即可得出的面积． 17.【答案】解：由题意得圆：， 即， ， 圆心坐标为，半径， 又圆心到直线的距离， 又弦长为， ， ， 圆的标准方程为：． 因为直线在轴和轴上的截距相等， 若直线过原点，则假设直线的方程为， 因为直线与圆相切， 所以， 即，解得， 故直线的方程为 若直线不过原点，切线在轴和轴上的截距相等， 则假设直线的方程为 因为直线与圆相切，， ，解得， 直线的方程为 综上所述直线的方程为或； 假设点坐标为，点满足， ， 直线与圆相切，且为切点， ， ， ， ， 又点在圆上， 两圆有公共点且不能内切， ， 又恒成立， ， ， ， 的取值范围为：．  【解析】本题考查的是圆的标准方程、圆的切线方程以及圆的方程的综合应用问题，属于拔高题． 圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，根据即可算出； 因为直线在轴和轴上的截距相等，若直线过原点，则假设直线的方程为，若直线不过原点，切线在轴和轴上的截距相等，则假设直线的方程为根据圆心到直线的距离等于半径求出参数的值； 假设点坐标为，因为点满足，所以，因为两圆有公共点且不能内切，所以，即可得到实数的取值范围． 18.【答案】解：方法由题意，点的轨迹是以为焦点，以轴为准线的抛物线， 其顶点坐标是，开口向上，显然， 相当于把抛物线向上平移了个单位长度， 故的方程为． 方法设点坐标为， 由题意得，两边平方得， 于是，经验证成立． 故的方程为． 证明：设矩形的顶点，，在上，如图所示， 设直线的斜率为不妨将，固定在轴及轴右侧． ，坐标满足，，坐标满足 又，，在抛物线上，即，，， 代入以上方程中，得，． 矩形的周长为，当且仅当时，等号成立，此时矩形为正方形用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题  要证矩形的周长大于，只需证明正方形的面积大于． ，， ，得 将，代入，有， 即． ，． ，． 则． 正方形面积． ，当时“”成立． ，，则当时“”成立． 则当时“”成立． 显然． 即矩形的周长大于．   【解析】略 19.【答案】设，， 则，． ，两点在双曲线上， 由得， 即，， ，即，． 又，， 双曲线的方程为． 证明：由已知可得，直线的方程为，即， 联立消去整理得，， 由根与系数的关系得，， ， ，即， 为直角三角形． 由题意可知，若直线的斜率存在，则斜率不为，故设直线的方程为，，，，， ， ， 点在双曲线上， ， ， ， 又，， ， ， 联立 消去，整理得， 则 由根与系数的关系得，， ，分别在第一象限和第四象限，， ， 由式得， ， 将代入得， ， ，， ， 同理， ， 令，， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，，， ，．   【解析】 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的面积问题，属于难题． 设出、两点坐标，利用点差法即可求得的方程 分直线的斜率不存在与存在且不为两种情况讨论，设线、点，联立消元、列出韦达定理，通过计算即可证明 设直线方程为，，，，由向量共线的坐标表示得到再由点在双曲线上推出，再联立直线与得到、、的关系，最后由面积公式得到面积关于的函数关系，从而求得答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $