第18讲 导数的综合应用-第二课时 利用导数研究不等式恒（能）成立问题课件—2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的综合应用”专题第二课时，针对不等式恒（能）成立问题，覆盖分离参数、分类讨论、双变量三大核心考点。对接高考评价体系，通过2025年福建三明、江苏扬州等模拟真题分析考点权重，归纳参数范围求解、函数单调性论证等常考题型，实用性强。 课件亮点在于“真题训练+策略小结+素养培养”，如例1通过分离参数转化为函数最值问题，例2分类讨论参数范围，解析构造函数、导数符号分析等技巧，培养数学思维与表达素养。设易错点警示和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可精准教学，高效冲刺高考。

第18讲 导数的综合应用 第二课时 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 2027届高考一轮复习 数学 1 考点1 分离参数解决恒（能）成立问题 例1　(1)(2025·湖北·模拟预测)已知函数f(x)=axex+ln，g(x)=x2-x，若存在实数x0，使得f(x0)≤g(x0)，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，1] B.(-∞，0)∪(0，1] C. D.(-∞，0)∪ D [解析] 当a<0时，x<0，f(a)=a2ea<a2<a2-a=g(a)，合题意. 当a>0时，x>0，f(x)≤g(x)即axex+ln≤x2-x⇔axex+x+ln≤x2 ⇔axex+x+ln+ln x2≤x2+ln x2⇔ex+ln(ax)+[x+ln(ax)]≤x2+ln x2， 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 ∵y=x+ln x为(0，+∞)上的增函数， ∴ex+ln(ax)≤x2，即axex≤x2⇔a≤， 由题意，只需a≤，记h(x)= ，h'(x)= ， 当x>1时，h'(x)<0，h(x)在(1，+∞)上单调递减， 当0<x<1，h'(x)>0，h(x)在(0，1)上单调递增， 故h(x)max=h(1)= ，所以0<a≤， 综上，实数a的取值范围为(-∞，0)∪，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 (2)(2025·福建三明·高三统考期末)已知函数f(x)=sin x+，x∈. (ⅰ)求证:f(x)在上单调递增; (ⅱ)当x∈(-π，0)时，[f(x)-sin x]ex-cos x≤ksin x恒成立，求k的取值范围. [解析] (ⅰ)f(x)=sin x+，x∈，f'(x)=cos x+， 由x∈(-π，0]，有2-x≥2，≥1，则≥2，又-1<cos x≤1， 则f'(x)=cos x+ >-1+2>0. 当x∈时，cos x≥0，2-x>0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 所以f'(x)=cos x+>0，所以当x∈时，f'(x)>0， 综上，f(x)在上单调递增. (ⅱ)[f(x)-sin x]ex-cos x≤ksin x，化简得x-1-cos x≤ksin x. 当x∈(-π，0)时，sin x<0，所以k≤， 设g(x)= ， g'(x)= = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 设h(x)=sin x+1-xcos x+cos x，h'(x)=cos x-cos x+xsin x-sin x=(x-1)sin x. ∵x∈(-π，0)，∴x-1<0，sin x<0，∴h'(x)>0，∴h(x)在(-π，0)上单调递增， 又由h=0，所以当x∈时，h(x)<0，g'(x)<0， ∴g(x)在上单调递减; 当x∈时，h(x)>0，g'(x)>0，∴g(x)在上单调递增， 所以gmin(x)=g= =1+，故k≤1+. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 [小结]分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max; a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min; a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min; a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 考点2 分类讨论求参数的范围 例2　(2025·江苏扬州·三模)已知函数f(x)=ex-e2-x+ax+. (1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值; (2)若当且仅当1<x<2时f(x)>e2-1，求b的取值范围. [解析] (1)b=0时，f(x)=ex-e2-x +ax， 则f'(x)=ex+e2-x+a=ex + +a， 因为ex+≥2e，当且仅当x=1时等号成立， 故f'(x)min=2e+a，而f'(x)≥0成立，故2e+a≥0， 即a≥-2e，所以a的最小值为-2e. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 (2)因为f(x)>e2-1，当且仅当1<x<2，故x=2为f(x)=e2-1的一个解， 所以f(2)=e2-1，可得a=-，依题意f(x)>e2-1在(1，2)上恒成立， 设t=x-1∈(0，1)，则f(x)=g(t)=e1+t-e1-t+a(1+t)+ =e(et-e-t)+at+ +a， 则有g(t)=e(et-e-t)- t+ - >e2-1在(0，1)上恒成立， 因为g'(t)=e(et+e-t)- - ，可设φ(t)=g'(t)=e(et+e-t)- - ， 所以φ'(t)=e(et-e-t)+=e·+. ①当b>0时，由t∈(0，1)知et-1>0，>0， 所以φ'(t)>0，所以φ(t)在(0，1)上单调递增. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 (ⅰ)当φ(1)=e2+1- -b≤0， 即b≥(e2+1)时，g'(t)<0对任意t∈(0，1)都成立， 所以g(t)在(0，1)上单调递减，则g(t)>g(1)=e2-1; (ⅱ)当φ(1)=e2+1--b>0， 即0<b<(e2+1)时，而当t→0时，φ(t)→-∞， 所以∃t0∈(0，1)，使φ(t0)=0， 所以g(t)在(0，t0)上单调递减，在(t0，1)上单调递增， 所以g(t0)<g(1)=e2-1，所以舍去; 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 ②当b=0时，所以g(t)=e1+t-e1-t在(0，1)上单调递增， 则g(t)<g(1)=e2-1，所以舍去; ③当b<0时，y=e1+t-e1-t与y=-t+=-b·在(0，1)上都单调递增， 所以g(t)在(0，1)上单调递增，则g(t)<g(1)=e2-1，所以舍去. 综上，b≥(e2+1). 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 [小结]根据不等式恒成立求参数范围问题，有时可以对参数分类讨论，在参数的每一段上判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 考点3 双变量的恒（能）成立问题 例3　(2025·天津和平·二模)已知函数f(x)=x2+ln-2mx(m∈R，m>0). (1)求证:当m∈(0，1]时，函数f(x)在区间上单调递增; (2)∀m∈，总∃x0∈[1，2]，使得f(x0)>λ成立，求实数λ的取值范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 (1)求证:当m∈(0，1]时，函数f(x)在区间上单调递增; [解析] (1)证明:函数f(x)求导得，f'(x)=2x+-2m， 整理得f'(x)= = = 　①， 当m∈(0，1]时， - = ≤0， 即≤，又x≥，所以x- ≥0，因此①式即f'(x)≥0， 所以当m∈(0，1]时，f(x)在区间上单调递增; 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [解析](2)由(1)知，当m∈时，f(x)在上是增函数， 因此f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)=ln+4-4m， 即ln+4-4m-λ>0对任意m∈恒成立. 设g(m)=ln+4-4m-λ，m∈， 则g'(m)= -4+2mλ= . (2)∀m∈，总∃x0∈[1，2]，使得f(x0)>λ成立，求实数λ的取值范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 当λ≤0时，4λm+(λ-8)<0，此时g'(m)<0， 即g(m)在上单调递减， 因此g(m)>g(1)=ln+λ，需ln+λ≥0，所以λ∈， 当λ>0时，g'(m)=， ①当λ≥时，≤，此时g'(m)>0，即g(m)在上单调递增， 因此g(m)>g=ln+2>0，所以g(m)>0在上恒成立. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 ②当0<λ≤时，≥1，此时g'(m)<0，即g(m)在上单调递减， 因此g(m)>g(1)=ln+λ>0，所以g(m)>0在上恒成立. ③当<λ<时，<<1， 此时当m∈时，g'(m)<0，g(m)单调递减; 当m∈时，g'(m)>0，g(m)单调递增， g(m)≥g=ln+4- - ， 需满足ln+4- - >0，令 =t∈， 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 设h(t)=ln t+4--t，t∈， h'(t)= +-1= = ， 当t∈时，h'(t)<0，即h(t)在上单调递减，所以h(t)>h=ln+>0， 则ln +4- - >0在<λ<时恒成立，此时g(m)>0在恒成立. 综上所述，当λ∈时，恒成立. 即λ∈时，对∀m∈，总∃x0∈[1，2]，使得f(x0)>λ成立. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [小结]双变量的恒(能)成立问题,常见的转化有: (1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min. (4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 $