3.4 利用导数研究不等式恒(能)成立问题 导学案——2027届高三数学一轮复习

第四节　利用导数研究不等式恒(能)成立问题

命题点一　分离参数法解决不等式恒(能)成立问题

例1：已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝x ln x．若不等式f(x)－g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

 

学霸笔记：分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法．一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需，若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需，由此构造不等式，求参数的取值范围．

 

跟踪训练　已知函数f(x)＝eax－x.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若∃x∈[－1，1]，使f(x)≥3成立，求a的取值范围．

命题点二　最值法解决不等式恒(能)成立问题

例2：(2026·衡水模拟)已知函数f(x)＝－a.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的值．

 

学霸笔记：在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)>(<)0或f(x，a)≥(≤)0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．

(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则①f(x，a)>0恒成立⇔g(a)>0；②f(x，a)<0有解⇔g(a)<0.

(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则①f(x，a)<0恒成立⇔g(a)<0；②f(x，a)>0有解⇔g(a)>0.

跟踪训练　(衔接·人教B版选修三P102B组T5)已知a>0且f(x)＝ax＋＋2－2a，若f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

命题点三　双变量不等式恒(能)成立问题

例3：(2026·郑州模拟)已知函数f(x)＝m(x2＋2x)－ln (xex)(m∈R)，g(x)＝1－＋x2.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当m>0时，若对于任意x1>0，总存在x2∈[－2，－1]，使得f(x1)≥g(x2)，求m的取

值范围．

学霸笔记：“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有：

(1)∀x1，x2∈D，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)min＞g(x)max；

(2)，，＞⇔＞；

(3)，，＞⇔＞g(x)max；

(4)，，>⇔>.

 

跟踪训练　已知函数f(x)＝a ln x－x(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，设g(x)＝x－ln x－1，若对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围．

 

 

 

第四节　利用导数研究不等式恒(能)成立问题

考教衔接·活用教材

例1　解析：因为不等式f(x)－g(x)≥0恒成立，即f(x)≥g(x)，得ex－ax－1≥x ln x，

即a≤，x>0.

令h(x)＝，x>0，则h′(x)＝，

当x∈(0，1)时，h′(x)<0，即h(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，即h(x)单调递增．

所以h(x)≥h(1)＝e－1，则a≤e－1，

所以实数a的取值范围为(－∞，e－1].

跟踪训练　解析：(1)对f(x)＝eax－x求导得f′(x)＝aeax－1.当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在R上单调递减．当a>0时，令f′(x)＝0，即aeax－1＝0，eax＝，ax＝ln ＝－ln a，解得x＝－.当x<－时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．