第18讲 导数的综合应用-第一课时 构造函数及应用课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的综合应用——构造函数及应用”专题，依据高考评价体系梳理了构造具体函数、抽象函数（与x或xⁿ、eˣ、三角函数）、同构法构造函数三大核心类型，通过近三年高考真题分析明确比较大小、解不等式、最值问题等常考题型占比，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“真题解析+方法模板+素养提升”的备考策略，如例1通过构造f(x)=e^(x-1)-x比较大小，例2构造g(x)=xf(x)解抽象函数不等式，培养学生数学思维与数学语言表达能力。提供“xⁿf(x)”“f(x)/eⁿˣ”等构造模板，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第18讲 导数的综合应用 第一课时 构造函数及应用 2027届高考一轮复习 数学 1 方法一 构造具体函数 例1　已知a=，b=，c=ln 9-ln 8，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a C [解析] 令函数f(x)=ex-1-x，0<x<1，求导得f'(x)=ex-1-1<0， 函数f(x)在(0，1)上单调递减，f>f(1)=0，即 - >0，因此b>a; 令函数g(x)=ln(x+1)-x，x>0，求导得g'(x)=-1<0， 函数g(x)在(0，+∞)上单调递减，g<g(0)=0，即ln - <0， 则ln 9-ln 8<<，因此c<a，所以b>a>c.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 [小结]根据条件或结论特征构造具体函数，一般具有相似结构，利用这一特征构造具体函数，利用该函数单调性寻求突破口. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 1.(2025高三下·浙江·月考)当0<x<y<1时，下列不等式中正确的是(　　) A.(1-x>(1-x)y 　　B.(1-x)y<(1-y)y C.(1-x)y>(1-x 　　D.(1-x)x>(1-y)y D [解析] 对于A，C，由0<x<y<1，则0<1-x<1，>1>y，y>， 易知函数f(t)=(1-x)t在R上单调递减，所以(1-x)y>(1-x，(1-x)y<(1-x，故A，C错误; 对于B，D，由0<x<y<1，则1>1-x>1-y>0， 易知函数f(t)=(1-x)t在R上单调递减，函数g(t)=ty在(0，+∞)上单调递增， 所以(1-x)x>(1-x)y>(1-y)y，故B错误，D正确.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 方法二　抽象函数的构造 角度1.利用f(x)与x(或xn)构造 例2　定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且xf(x)+f'(x)>0，则不等式x2f(x)<(3x-1)2f(3x-1)的解集为(　　) A.∪ 　　　　 B. D [解析] 根据题意可构造函数g(x)=，则g'(x)=xf(x)+f'(x)>0， 所以g(x)=在R上为增函数， 又x2f(x)<(3x-1)2f(3x-1)，即g(x)<g(3x-1)， 所以x<3x-1，解得x>.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 [小结](1)对于2xf(x)+x2f'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=x2f(x); (2)对于3f(x)+xf'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=x3f(x); (3)对于nf(x)+xf'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x); (4)对于xf'(x)-2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=; (5)对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.(2025·湖北武汉·三模)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，对任意的x∈(0，+∞)都有2f(x)-xf'(x)>0成立，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A.4f(1)<f(2) B.f(1)=0 C.4f(2)>f(4) D.4f>9 C [解析] 设g(x)=(x>0)，对g(x)求导，可得g'(x)==. 因为对任意的x∈(0，+∞)都有2f(x)-xf'(x)>0， 即xf'(x)-2f(x)<0，且x3>0，所以g'(x)<0，这表明g(x)在(0，+∞)上单调递减. 对于A:因为g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(1)>g(2)，即>， 也就是4f(1)>f(2)，所以A错误. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 对于B:仅根据已知条件无法得出f(1)=0，所以B错误. 对于C:因为g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(2)>g(4)，即>，也就是4f(2)>f(4)，所以C正确. 对于D:因为g(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以g<g，即<， 也就是4f<9f，所以D选项错误.不等式一定成立的是4f(2)>f(4).故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 角度2.利用f(x)与ex(或enx)构造 例3　已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，有f'(x)-f(x)>0，则不等式exf>e2f的解集是(　　) A. B. C. D. C [解析] 令g(x)=，x∈R，则g'(x)=>0，所以g(x)=在R上单调递增，不等式exf>e2f，即>， 即g>g，所以x+1>2x-1，解得x<2， 所以不等式exf>e2f的解集是. 名师导学第一轮总复习 高三数学 [小结](1)对于f'(x)+nf(x)>0(或<0),通常构造函数F(x)=enxf(x); (2)对于f'(x)-nf(x)>0(或<0),通常构造函数F(x)=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3.(2025高三·内蒙古赤峰·阶段考)已知函数f(x)在R上可导，导函数为f'(x)，满足f'(x)>f(x)，且f(x+5)为偶函数，f(10)=1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A.(0，+∞) B.(-∞，0) C.(-∞，5) D.(10，+∞) B [解析] 设g(x)=，则g'(x)==>0，故函数g(x)在R上为增函数，因为f(10)=1，且f(x+5)为偶函数，故f(-x+5)=f(x+5)，故f(0)=f(10)=1， 则g(0)==1，于是f(x)<ex等价于<1，即g(x)<g(0)， 由函数g(x)的单调性可得x<0，即不等式f(x)<ex的解集为(-∞，0).故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 角度3.利用f(x)与sin x，cos x构造 例4　(2025·云南·模拟预测)已知f'(x)是定义域为的函数f(x)的导函数，且f'(x)sin x+f(x)cos x<0，则不等式f(x)sin x>f的解集为　　　　.  [解析] 设g(x)=f(x)sin x，x∈，g'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x<0， 所以函数g(x)在上单调递减，所以f(x)sin x> f⇔f(x)sin x>fsin， 即g(x)>g，得所以0<x<，所以不等式的解集为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 [小结]由于sin x,cos x的导函数存在一定的特殊性,且它们之间可以相互转化,因此,要解由f(x),f'(x),sin x,cos x构成的不等式,常用的构造方法如下: (1)构造sin x+kx+b或cos x+kx+b等形式函数,应用导数,判断单调性比较大小; (2)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0),通常构造函数F(x)=f(x)sin x; (3)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0),通常构造函数F(x)= ; (4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),通常构造函数F(x)= ; (5)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),通常构造函数F(x)=f(x)cos x. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4.(多选)已知定义在上的函数f(x)，f'(x)是f(x)的导函数，且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立，则(　　) A.f>f B.f>f C.f>f D.f>f CD 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [解析] 令g(x)= ，x∈， 则其导数g'(x)= ，又由x∈， 且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则有g'(x)<0，即函数g(x)为减函数. 由<，则有g>g，即>，可得f>f; 又由<，则有g>g，即>，可得f>f. 故选CD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 方法三　利用同构法构造函数 例5　(2025·河北·二模)若存在x1∈(1，+∞)，x2∈(e，+∞)使得=成立，则4x1-x2的最大值为(　　) A.4ln 2-2 B.4ln 2-4 C.8ln 2-2 D.8ln 2-4 D 名师导学第一轮总复习 高三数学 [解析] 由 = ，令f(x)= ，则f'(x)= ， 当x∈(1，+∞)时，1-x<0，ex>0，所以f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减. 当x=1时，f(1)= ，当x→+∞时，f(x)→0，所以f(x)的值域是. 又x2∈(e，+∞)，ln x2∈(1，+∞)， = = ， 所以x1=ln x2，那么4x1-x2=4ln x2-x2. 设h(x)=4ln x-x(x>e)，则h'(x)= -1= ， 当e<x<4时，h'(x)>0，当x>4时，h'(x)<0， 所以h(x)在(e，4)上单调递增，在(4，+∞)上单调递减， 则h(x)的最大值为h(4)=4ln 4-4=8ln 2-4.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 [小结]指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数;另一种是将x变成eln x然后构造函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5.若对任意的x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，x1-x2>ln x1- ln x2恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.[3，+∞) B.(3，+∞) C.[6，+∞) D.(6，+∞) C [解析] 当x1<x2时，x1-x2>ln x1-ln x2恒成立， 即当x1<x2时，x1-ln x1>x2- ln x2恒成立. 设f(x)=x- ln x，x∈(1，3]，则f(x)单调递减， 而f'(x)=1-≤0在(1，3]上恒成立，即a≥2x在(1，3]上恒成立，所以a≥6.故选C. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 6.(2025高三·江西·期中)已知a>0，b>0，=ab·(1+ln b)，则(　　) A.ln b>a B.aln b>1 C.e>ba D.a(1+ln b)<1 C [解析] 对于C:a>0，b>0，由=ab(1+ln b)， 得=bln b+b=eln bln b+b>eln bln b. 令f(x)=xex，则f>f(ln b)， f'(x)=(x+1)ex，由f'(x)>0，得x>-1，由f'(x)<0，得x<-1， 则函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 名师导学第一轮总复习 高三数学 且x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0， 因为a>0，由f>f(ln b)，得>ln b，即>b，所以e>ba，故C正确; 对于A:由C知ln b<，但a与的大小关系未知，故ln b>a不一定正确，故A错误; 对于B:由C知e>ba，则ln e>ln ba，即1>aln b，故B错误; 对于D:因为>b，=ab(1+ln b)，所以ab(1+ln b)>b，得a(1+ln b)>1，故D错误. 故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 $