第18讲 导数与函数的极值、最值 课件——2027届高三数学一轮复习

第18讲 导数与函数的极值、最值 1 1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值. 3.对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最 大（小）值. 4.体会导数在研究单调性、极大（小）值、最大（小）值的作用. 课 标 要 求 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的极值 （1）函数的极小值： 函数在点处的函数值比它在点 附近其他点处 的函数值都小，；而且在点 附近的左侧__________， 右侧__________.则叫作函数的极小值点， 叫作函数 的极小值. 课 前 基 础 巩 固 3 （2）函数的极大值： 函数在点处的函数值比它在点 附近其他点处 的函数值都大，；而且在点 附近的左侧__________， 右侧__________.则叫作函数的极大值点， 叫作函数 的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 课 前 基 础 巩 固 4 2.函数的最值 （1）如果在区间上函数 的图象是一条连续不断的曲线， 那么 必有最大值与最小值. （2）若函数在上单调递增，则在 上的最小值为 _____，最大值为_____；若函数在上单调递减，则 在 上的最大值为_____，最小值为_____. 3.实际应用题 理解题意、建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解 结果回答实际问题. 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 利用导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函 数最值的关系如下：#4.1 不等式类型 与最值的关系 ， ， ， ， ， ， ， ， , , ， 课 前 基 础 巩 固 6 不等式类型 与最值的关系 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 续表 课 前 基 础 巩 固 7 不等式类型 与最值的关系 ， ， ， ， ， ， ， ， （注：上述的大于、小于分别改为不小于、不大于，相应与最值的 关系对应的不等号也改变）#4.1.2 续表 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的极小值为____. [解析] ， 令，得 或. 当时，；当时， ； 当时，. 故在 处取得极小值 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］函数在区间 上的最大值是______. [解析] ， 令，得. 当 时，；当时，. 故函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以在区间 上的最大值是 , . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］将一段长为 的铁丝截成两段，一段弯成正方 形，另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的 铁丝的长是_____ . 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 设弯成圆的铁丝的长为 ,则弯成正方形的铁丝的长为 ,记正方形与圆的面积之和为 ， 则， . 令，得 ，当时，， 单调递减， 当时，，单调递增， 故当时， 取得最小值， 即当弯成圆的铁丝的长为 时，正方形与圆的面积之和最小. 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间 上不 一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题. 4.函数的极值点为______；函数 的极 值点________（填“存在”或“不存在”）. 不存在 [解析] 因为，所以当 时，， 单调递增，当时，， 单调递减， 所以是函数的极小值点. 因为 ,即无变号零点, 所以函数 不存在极值点. 课 前 基 础 巩 固 13 5.已知函数，则在 上的最小值和最大值分别是___ ___；在 上的最小值和最大值均________（填“存在”或“不 存在”）. 1，4 不存在 [解析] 易知在上单调递增，故在 上的最小值为 ，最大值为. 根据最值的定义,可得在 上的最小值和最大值均不存在. 课 前 基 础 巩 固 14 6.对任意实数，若不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ________；若存在实数，使不等式成立，则实数 的取值 范围是__________. [解析] 对任意实数，不等式恒成立，则 ， 即. 存在实数，使不等式成立，则 ，即 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 利用导数解决函数的极值问题 微点1 由图象判断函数极值 例1 （多选题）设函数在 上可导，其导函数为 ，若函数 的图象如图所示，则下 列说法中正确的是( ) A.函数有极大值 B.函数有极大值 C.函数有极小值 D.函数有极小值 ［思路点拨］由的图象可以得出 在各区间上的 正负情况,从而可得 在各区间上的单调性,进而可得极值. √ √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 由图可知，当时， ，且 ，则， 在区间上单调递增； 当时， ，且， 则，在区间 上单调递减； 当时，，且 ， 则，在区间上单调递减； 当时， ，且，则， 在区间 上单调递增. 所以函数的极大值为，极小值为 .故选AD. 课 堂 考 点 探 究 17 [总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零，是极大值点还是极小值点要 看在极值点左、右两侧导数的符号. 课 堂 考 点 探 究 18 微点2 已知函数求极值 例2（1）[2025·泰州四调节选] 已知函数 ， 若，求 的 极大值. ［思路点拨］求出函数的导数，讨论其符号可得函数的极大值点， 从而得极大值. 课 堂 考 点 探 究 19 解：因为 ， ， , 所以， ， 所以 . 令，解得， . 当时， ，令，解得或； 令 ，解得 . 此时函数在上单调递增，在 上单调递减， 在上单调递增，则 的极大值为 . 课 堂 考 点 探 究 20 当时， ， 令，解得或； 令 ，解得 . 此时函数在上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增，则 的极大值为 . 综上，当时，的极大值为 ； 当时，的极大值为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）已知函数，讨论函数 的极 值点个数. ［思路点拨］根据函数极值点的定义,结合一元二次方程根的判别式 分类讨论进行求解即可. 课 堂 考 点 探 究 22 解：，，令, 易知关于 的方程的判别式 . ①当，即时，，在 上单调递增， 无极值点. ②当，即时，函数有两个零点 ， . 当时，，，当时，， 单 调递减，当时，，单调递增， 有一个 极值点； 课 堂 考 点 探 究 23 当时，，， 当 时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 当时，，单调递增， 有两个极值点. 综上，当时，无极值点； 当时， 有两个极值点； 当时， 有一个极值点. 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数的定义域,再求函数 的导 函数;②求的根;③判断在的根的左、右两侧 的符号,确定极值点;④求出具体极值. 课 堂 考 点 探 究 25 微点3 已知极值求参数 例3（1）[2025· 全国二卷] 若 是函数 的极值点，则 ____. ［思路点拨］求出函数的导数，利用给定极值点求出 并验证即得. 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 因为 ， 所以， 由题意知 ，即，所以， 所以 , . 当 变化时，， 的变化情况如下表： 2 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故当时，为的极值点，满足题意，所以 . 课 堂 考 点 探 究 27 （2）已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围 是_ ________. ［思路点拨］将函数有两个极值点转化为 有两个不同 的实数根,令,则问题等价于函数与 的图象 有两个不同的交点,数形结合求得 的取值范围即可. 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 由 ，得， 因为函数 有两个极值点，所以有两个不同的实数根， 即关于 的方程有两个不同的实数根. 令，则函数 与的图象有两个不同的交点. 因为，所以当 时，，单调递增，当时， ， 单调递减，所以当时，取得最大值. 作出函数 的图象如图所示， 由图可知，，解得 ， 所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 根据函数的极值情况求参数的两个要领： ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待 定系数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性. 课 堂 考 点 探 究 30 应用演练 1.[2025·常州期末]若函数在 处取得极小值，则实数 ( ) A. B.2 C.2或0 D.0 √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 由题可得 ， 则，解得或. 当 时，， 在 上单调递增，不满足题意； 当时，，当 时，， 当时，，所以在 ,上单调递增， 在上单调递减，满足题意. 综上， .故选D. 课 堂 考 点 探 究 32 2.（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷]若函数 既有极大值也有极小值,则( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 函数的定义域为, , 由函数既有极大值也有极小值,得方程在 上有两 个不等实根. 令,则在 上有两个不等实根, 故 所以,,,故选 . 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 函数 的定义域为， 由 ， 可得 ， 要使函数有两个极值点，只需 有两个不同正根,， 并且在,的两侧的单调性相反. 由 ，得 ，所以 ， 3.已知函数恰有2个极值点，则实数 的取值 范围为_ _____. 课 堂 考 点 探 究 35 由题意可知与 的图象有两个不同的交点， 令 ，则， 所以当 时，，函数在 上单调递增， 当时，，函数 在上单调递减， 所以 ，当 时，， 作出 的图象如图所示（横、纵坐标轴 的单位长度不同）， 由图可得，实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数, . （1）若函数在上的最小值是，求 的值； ［思路点拨］求导后，分，， 讨论求得最小值， 从而可求得 的值； 解：,. 若，则在 上恒成立，所以在上单调递增， 所以在 上的最小值为 ，不满足题意； 课 堂 考 点 探 究 37 若，则当时，令，解得 ， 令，解得， 所以函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以在 上的最小值为， 解得 ，满足题意； 若，则在上恒成立，所以在 上单调递减， 所以在上的最小值为， 解得 ，不满足题意. 综上所述， . 课 堂 考 点 探 究 38 （2）讨论在 上的最大值. ［思路点拨］分，，， 讨论求得 在 上的最大值. 解：由（1）可知，若，则在上单调递增， 所以 在上的最大值为 ； 课 堂 考 点 探 究 39 若，则在上单调递减，在 上单调递增， 当，即时，在 上的最大值为, 当，即时，在 上的最大值为 ； 若，则在上单调递减， 所以在 上的最大值为 . 综上，当时，在上的最大值为 ; 当时，在上的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得, 上述值中最小（大）的即为最小（大）值.若连续函数在一个区间上 （不论区间的类型）有唯一的极值点,则该点也是最值点.（2）由函 数的最值确定参数的值（或范围）,一般是利用最值或最值点列出含 参数的方程（或不等式）,解方程（或不等式）即可.（3）注意把不 等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 课 堂 考 点 探 究 41 变式题（1）函数在区间 上的最大值为 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 由题可得 ， 当时，，， 所以在区间 上单调递减， 故函数在上的最大值为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 42 （2）已知函数，存在最小值，则实数 的取值范围为_______. 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] ， ， 令，得. 当 时，，当时， ，当 时，， 在 上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. , ，令， 解得或， 的图象如图所示. 由图可知，若当时 存在最小值，则 ，解得，即实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 44 （3）已知函数和 有相同的最小值， 则 ___. 1 [解析] 由，得. 当时， ，所以函数在上单调递增， 所以函数在 上没有最小值; 当时，若，则，所以函数在 上单调 递增，若，则，所以函数在 上单调递减， 所以当时， . 由，得,. 课 堂 考 点 探 究 45 当 时，，所以函数在上单调递减， 所以函数 在上没有最小值； 当时，若，则 ，所以函数在上单调递增， 若，则 ，所以函数在上单调递减， 所以当 时，. 由题意可知 ，即，即. 设 ，则， 所以函数在 上单调递减， 又，所以方程的解为1，则 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 利用导数解决实际问题 例5 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量 是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额 的单位：万元；是常数 ，若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则要 使利润最大，每年需种植莲藕( ) A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤 ［思路点拨］根据题意得利润为 ,根据 得 ，再利用导数研究其单调性即可得答案. √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 设利润为 万元，则 ， ， 由题意得，解得 ， ， . 易知函数在上单调递增，在上单调递减, 当 时，函数 取得极大值，也是最大值，故选A. 课 堂 考 点 探 究 48 [总结反思] （1）利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取 合适的自变量建立函数模型. （2）注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果 “翻译”为实际问题的答案. 课 堂 考 点 探 究 49 变式题 [2026· 东北八校一模]用半径为3的圆形铁皮剪出一个圆心角 为 的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值 是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 设圆形铁皮的半径为，则，设圆锥的底面半径为 ， 则扇形的弧长 ，圆锥的底面周长为，则 ， 即 ，则圆锥的高 ，则圆锥的体积 . 设，其中 ， 则， 由得 ，由得，所以在上单调递 增，在 上单调递减，故当时，取得最大值，即当 时， 圆锥的体积取得最大值，且 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 51 【备选理由】例1是求三角型函数的极值问题； 例1 ［配例2使用］[2025·陕西宝鸡二模] 若函数 的极大值点为，则 _ _. 教 师 备 用 习 题 52 [解析] 由函数 ， 得， 令 ，，则 ， 由题意可得， 又为函数 的极大值点，所以， 解得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 53 例2 ［配例3使用］已知函数在 处取得 极小值，则其导函数 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例2是已知原函数的极值求导函数的最值问题； 教 师 备 用 习 题 54 [解析] 因为在 处取得极小值， 所以在 处成立， 即，所以. 当 时，，当时，，当 时，，所以在处取得极小值，故 . 所以，导函数， 因为 ，所以根据基本不等式得（当且仅 当 时等号成立），所以导函数的最小值为 . 教 师 备 用 习 题 55 例3 ［配例5使用］某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立 方成正比，已知当行驶速度为 时，每小时电力消耗费用为40 元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为 .要使从 甲城开往乙城的总费用最少，则行驶速度应为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例3是利用导数求最值的应用问题； 教 师 备 用 习 题 56 [解析] 设行驶速度为，甲、乙两城的距离为 ，比例系数 为，总费用为 元， 则 ． 由已知条件，得，， ． 令，解得， 当 时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 当时，取得最小值， 要使总费用最少，行驶速度应为 ． 教 师 备 用 习 题 57 例4 ［配例3使用］[2025·黑龙江哈尔滨三模]若函数 存在唯一极值点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例4是已知函数的极值求参数范围问题，注意由 解出的根一定要检验； 教 师 备 用 习 题 58 [解析] 由 ， 求导可得， 由题意可得函数 存在唯一变号零点， 则方程存在唯一解，即方程 存在唯一解. 令，则，令，解得 ， 当时，，当时，， 所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 教 师 备 用 习 题 当时，，则，当时， ， 易知当，即 时，方程 存在唯一解. 当时，，易知方程 的解为 ， 当时，，，则 ， 同理可得当时，， 所以此时函数 无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在 上单调递增， 则 存在唯一变号零点，符合题意.故选B. 教 师 备 用 习 题 例5 ［配例2使用］[2025·杭州二模] 已知函数 . （1）若，求 的极小值； 【备选理由】 例5考查参数不同时，函数在不同区间上的单调性及极值情况. 教 师 备 用 习 题 61 解：由题意知 ， 若，则，所以 . 令，得 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以的极小值为 . 教 师 备 用 习 题 62 （2）当时，求 的单调递增区间； 解：因为，所以 ， 由，即，解得或 ， 所以在和 上单调递增， 由，即，解得 ， 所以在 上单调递减， 故的单调递增区间为和 . 教 师 备 用 习 题 63 （3）当时，设的极大值为，求证： . 证明：当时，由（2）知， 的极大值为 ； 当时，，单调递增， 无极大值； 当时，当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 所以的极大值为 . 教 师 备 用 习 题 64 令，则 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 综上所述， . 教 师 备 用 习 题 作业手册 66 ◆ 基础热身 ◆ 1.函数在区间 上的最大值为( ) A. B. C. D.0 [解析] 由题可得， 令，得 ， 当时，，当时，， 所以 在区间上的最大值为 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 2.已知函数，那么 的极大值是( ) A. B. C. D. [解析] ，， 令 可得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在 上单调递减， .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 3.函数在 上的最大值为( ) A.0 B. C. D. [解析] 由 得 ， 当 时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以在上的最大值为 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 4.下列函数中，存在极小值的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，C，因为函数和 都是增函数，所以它 们都不存在极小值，故A,C错误； 对于B，， 求导得 ， 由，得或 ， 由，得 ， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 所以 在, 上单调递增， 在上单调递减， 所以在 处取得极小值，故B正确； 对于D，对 求导得， 且 不恒成立，所以是增函数， 即 不存在极小值，故D错误.故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.当时，函数取得最大值,则 ( ) A. B. C. D.1 [解析] 由题意可知，，， ， 所以,，即, ， 所以. 令，得，所以函数 在上单调递增， 在上单调递减，所以在 处取得最大值，满足题意， 所以 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 6.（多选题）[2025· 全国二卷]已知是定义在 上的奇函数，且 当时， ，则( ) A. B.当时， C.，当且仅当 D.是 的极大值点 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 [解析] 对于A，因为是定义在上的奇函数， 所以 ，故A正确； 对于B，当时， ，则 ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 对于D，当时， ， 则， 令 ，解得或（舍去）， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 所以是的极大值点，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 7.已知定义域为的函数的导函数为 ，若 的图象如图所示，则 的极小值点为___. 3 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 [解析] 的定义域为 ,由图可得当时，, 则, 单调递增， 当时，, 则 , 单调递减， 故为函数 的极大值点. 当时，,则, 单调递增， 故 为函数的极小值点. 当时，,则, 单调递减， 故为函数的极大值点.所以 的极小值点为3. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 8.[2026·湖北部分学校9月模拟] 若函数 在处有极小值，则实数 的值为____. [解析] 由，得 ， 因为函数在 处有极小值， 所以，解得或. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 当 时，， 当时， ，所以在上单调递减， 当时，，所以 在上单调递增， 所以是的极小值，符合题意. 当 时，， 当 时，，所以在上单调递增， 当 时，，所以在上单调递减， 所以是 的极大值，不符合题意. 综上所述，实数的值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[2025·唐山二模] 已知， 是函数 的两个极值点. （1）求， 的值； 解：由题可得， ， 依题意，，为的根， 即， 为方程 的根， 所以，，所以， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 （2）若曲线在点处的切线为，设直线在 轴上的 截距为，求 的最大值. 解：由（1）得， ， 所以直线的方程为 . 则，，所以. 令 ，得. 当时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 所以当时， 取得最大值，最大值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·湘潭三模]设函数的两个极值点分别为， ， 则过， 两点的直线斜率为( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 [解析] 由题设知， 故 ，， 即， . 而，同理 ， 故过，两点的直线斜率 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2025·宁波二模]已知函数，其中 ， 5为的极小值点.若在内有最大值，则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题可知 ， 因为，所以，故当或时，，即 在，上单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 当时， ，即在上单调递减， 则的极小值点为 ，极大值点为 . 因为 ， 且 ， 所以只需，即 ， 所以 .故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）若函数 ，则( ) A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C.的图象关于点 对称 D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 86 [解析] 对于A，由题意知， 令 ，解得或， 所以在上单调递增，在 上单调递增； 令，解得，所以在 上单调递减. 所以在处取得极大值，所以 的极大值点为0，故A错误. 对于B，因为的极小值为，极大值为 ， 所以 有且仅有2个零点，故B正确. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，因为 ，所以 的图象关于点 对称，故C正确. 对于D，由C可知， ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知的斜边的长为2，若以直角边 所在直线为旋转 轴，将 旋转一周形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为 _ ______. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 [解析] 由题意，设的内角,,所对的边分别为,, ， 则有，该圆锥的体积 . 设 ， 则， 当 时，，当时，， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 所以 ,所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.[2025·广州二模] 已知函数 在上的所有极值点从小到大依次记为,, , ，则 _____. [解析] 令 ， 得 或 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 91 如图，画出的图象，画出直线 ， , 结合图象可知，在的两侧附近 的正负相反，可得极值点有8个， 并且 与，与，与，与 互为相反数. 因为 ，所以 ， 又，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.[2025·鞍山二模] 已知函数 . （1）当时，证明： ； 证明：当时， ， 则 ， 当时，，当时，， 所以 在上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 93 （2）若存在极大值，且极大值大于0，求 的取值范围. 解：由题可得） . 当时，，在上单调递增， 此时 无极值； 当时，若，则，若 ，则， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 此时的极大值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 94 令，则 ， 所以在上单调递增， 又，所以由 ，得，解得 . 综上，的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 16.[2025·北京西城区二模] 已知函数 ， 其中 . （1）若在处取得极小值，求 的值； 解：由题可得， 因为在 处取得极小值,所以， 即 ，解得 . 当时，，由二次函数的性质可得在 上单 调递减，在上单调递增，满足题意，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 96 （2）当时，求在区间 上的最大值； 解：当时， ， 则. 令 ，则 ， 因为 ，所以， 所以 在区间 上单调递增， 又，所以， 所以 在区间上单调递增，所以在区间 上的最大值 为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 97 （3）证明： 有且只有一个极值点. 证明：由题可得 . 当时，，由二次函数的单调性可得在 上 单调递减，在 上单调递增，所以 恰有一个极值点. 当时，设 ， 则 . 因为，且 ， 所以，即在 上单调递增. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 98 因为， ， 所以存在，使得 . 根据在上单调递增， 可知当 时，，所以在上单调递减， 当 时，，所以在上单调递增， 所以 恰有一个极值点. 综上所述，当时， 有且只有一个极值点. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【知识聚焦】 1.（1）<m></m> <m></m> （2）<m></m> <m></m> 2.<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 【对点演练】1.<m></m> 2.<m></m> 3.<m></m> 4.<m></m> 不存在 5.1，4 不存在 6.<m></m> <m></m> 课堂考点探究 例1 AD 例2（1）当<m></m>时，<m></m>的极大值为<m></m>；当<m></m>时，<m></m>的极大值 为<m></m>. （2）<m>当<m></m>时，<m></m>无极值点；当<m></m>时，<m></m>有两个极值点； 当<m></m>时，<m></m>有一个极值点. 例3（1）<m></m> （2）<m></m> 应用演练 1.D 2.BCD 3.<m></m> 例4（1）</m> （2）当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上的最大值为<m></m>;当<m></m>时， <m></m>在<m></m>上的最大值为<m></m>. 变式题（1）B （2）<m></m> （3）1 例5 A 变式题 B 答 案 核 查 100 基础热身 1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.ABD 7.3 8.<m></m> 9.（1）<m></m>，<m></m>. （2）</m> 综合提升 10.A 11.D 12.BCD 13.<m></m> 14.<m></m> 15.（1）证明略 （2）<m></m> 能力拓展 16.（1）< （2）</m> （3）证明略 答 案 核 查 101 $