精品解析：广东省佛山市顺德区第一中学西南学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷

2025学年第二学期七年级核心素养展示活动数学学科 本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需涂改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 雾霾天气时，空气中漂浮着大量的粉尘颗粒，若某种粉尘颗粒的直径约为0.0000065米，则0.0000065用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 4. 已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则这个三角形第三边的长可能是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 11cm D. 13cm 5. 如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 7. 用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A. B. C. D. 9. 如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，将6张长为a，宽为b的矩形纸板无重叠地放置在一个矩形纸盒内，盒底未被覆盖的两个矩形面积分别记为S1、S2，当S2＝2S1时，则a与b的关系为（　　） A. a＝0.5b B. a＝b C. a＝1.5b D. a＝2b 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：___________． 12. 如图，现要在马路l上设立一个健康检测点为方便该村庄的居民参加体检，检测点最好设在C处，理由是______________． 13. 若是一个完全平方式，则m的值是___________． 14. 如图， 为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为________． AI 15. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ______， ______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ，． 17. 小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去等加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新特动转盘． （1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 18. 操作题 （1）尺规作图：如图1，已知点 是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）①利用网格画图：过点画直线 的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线 的距离． 19. 如图，已知AB∥DE，AB = DE，B，E，C，F在同一条直线上，且BE = CF． 求证∶△ABC≌△DEF． 20. 填空并完成推理过程． 如图，点为上的点，点为上的点，， ，试说明：． 证明：（已知） （①________） （②________） ③________ ④________（⑤________） （⑥________） 又 （已知） （⑦________） （⑧________） 21. ， ， ， ， ， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①____________24； ②____________． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，且，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含m、n），并证明． 22. 数学活动课上，王老师准备了若干个图①所示的三种纸片，种纸片是边长为 的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为 的长方形． （1）若小明想用图①中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共 张； （2）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图②所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是： ； （3）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图③所示放置，连接 ，与边 ， 构成直角三角形 ，若，根据（2）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形 的面积． （4）请你用几何图形直观解释． 23. 已知直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． （1）如图1，若 ，，且，则的度数为 ； （2）如图2，若 ，，平分 ，过点D作 交于点F，求证：； （3）如图3，若，直线和直线相交于点K，点H在上方的直线上，试探究 ，和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七年级核心素养展示活动数学学科 本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需涂改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 雾霾天气时，空气中漂浮着大量的粉尘颗粒，若某种粉尘颗粒的直径约为0.0000065米，则0.0000065用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000065＝6.5×10−6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方、积的乘方，解题的关键在于正确的计算． 根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方、积的乘方等的运算规则求解即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合题意； B中，错误，故不符合题意； C中，正确，故符合题意； D中，错误，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解： 、守株待兔是随机事件，故 符合题意； 、种豆得豆是必然事件，故 不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故 不符合题意； 、水涨船高是必然事件，故 不符合题意； 故选： ． 4. 已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则这个三角形第三边的长可能是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 11cm D. 13cm 【答案】B 【解析】 【分析】已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围． 【详解】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11． 因此，本题的第三边应满足5＜x＜11，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，13都不符合不等式5＜x＜11，只有6符合不等式． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 5. 如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这个角的度数是，根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数是， 由题意得，， 解得， 答：这个角的度数是. 故选：C． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并列出方程是解题的关键． 6. 若，，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 根据同底数幂的乘法法则的逆运算变形后，把，代入即可求值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 7. 用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查基本作图和三角形全等的判定，掌握作图的依据是解题的关键． 根据作图方法，判断出相对应的等量关系，即，，，由此判定依据． 【详解】解：由作法得，，， 根据三角形判定定理“ ”，可证， ∴，， 故选C． 8. 下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边 上的高，应是过顶点向边 所在的直线作垂线段． 过点作 延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 9. 如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先证明，再利用角的和差关系可得答案； 【详解】解：如图，，，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，将6张长为a，宽为b的矩形纸板无重叠地放置在一个矩形纸盒内，盒底未被覆盖的两个矩形面积分别记为S1、S2，当S2＝2S1时，则a与b的关系为（　　） A. a＝0.5b B. a＝b C. a＝1.5b D. a＝2b 【答案】D 【解析】 【分析】设矩形的宽为x，表示出S2与S1，代入S2=2S1即可得到结果. 【详解】设矩形纸盒的宽为x，则S1=a（x-2b），S2=4b（x-a）， 根据题意得：4b（x-a）=2a（x-2b）， 整理得：a=2b. 故选D． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的逆用、积的乘方的逆用，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用、积的乘方的逆用，掌握，是解题的关键． 12. 如图，现要在马路l上设立一个健康检测点为方便该村庄的居民参加体检，检测点最好设在C处，理由是______________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可进行判断． 【详解】解： 垂线段最短， 检测点最好设在C处，理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题关键． 13. 若是一个完全平方式，则m的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图， 为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为________． AI 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查中线的性质，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作 ，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：作 ， ∵ 为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为30，， ∴， 解得 ， 故中边上的高为3． 故答案为：3． 15. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ______， ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加 ，从而得出等于从 加到 的和，利用求和公式即可求解． 【详解】解：由题意得  ，   ， ， ， ，   ， 所以． 当时， ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】（1）；（2），4 【解析】 【分析】本题考查了0指数和负整数指数幂的运算以及整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算有理数的乘方、0指数和负整数指数幂，去掉绝对值，再计算加减即可； （2）先计算中括号内的完全平方公式、平方差公式，合并后再计算整式的除法，然后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当，时， 原式． 17. 小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去等加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新特动转盘． （1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【小问1详解】 解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有4个， ∴P（转到2的倍数）； 【小问2详解】 解：游戏不公平， ∵共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3个， ∴P（转到3的倍数）， ∵， ∴游戏不公平． 18. 操作题 （1）尺规作图：如图1，已知点 是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）①利用网格画图：过点画直线 的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线 的距离． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了用尺规做一个角等于已知角，利用网格作垂线以及点到直线的距离的定义，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）连接 ，用尺规作即可． （2）根据网格即可过C点画直线 的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F；根据点到直线的距离定义即可得到线段的长度是点C到直线 的距离； 【小问1详解】 解：如图， 即为所求， 【小问2详解】 ①如图所示， 即为所求的垂线， ②由图可知，线段的长度是点C到直线 的距离， 故答案为：． 19. 如图，已知AB∥DE，AB = DE，B，E，C，F在同一条直线上，且BE = CF． 求证∶△ABC≌△DEF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据SAS证明△ABC≌△DEF即可． 【详解】证明：∵AB DE ∴∠ABC=∠DEF， ∵B，E，C，F在同一直线上，且 BE＝CF ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 又∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS） 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法． 20. 填空并完成推理过程． 如图，点为上的点，点为上的点，， ，试说明：． 证明：（已知） （①________） （②________） ③________ ④________（⑤________） （⑥________） 又 （已知） （⑦________） （⑧________） 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；； ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的基本事实；内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】略 21. ， ， ， ， ， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①____________24； ②____________． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，且，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含m、n），并证明． 【答案】（1）264、462，54、45 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）观察几行等式发现规律，根据规律求解即可； （2）根据两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数，即可写出等式． 【小问1详解】 解：两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数． ① ②． 故答案为：264、462，54、45． 【小问2详解】 验证：等式左边 等式右边 左边 右边． 答：表示“数字对称等式”一般规律的式子为 ． 【点睛】本题考查了数字类的变化规律，解本题的关键是观察已知等式发现规律． 22. 数学活动课上，王老师准备了若干个图①所示的三种纸片，种纸片是边长为 的正方形，种纸片是边长为 的正方形，种纸片是长为 ，宽为 的长方形． （1）若小明想用图①中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共 张； （2）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图②所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是： ； （3）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图③所示放置，连接 ，与边 ， 构成直角三角形 ，若，根据（2）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形 的面积． （4）请你用几何图形直观解释． 【答案】（1）6 （2） （3）9 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式的法则运算，观察的系数即可得出结论； （2）利用图2大正方形的面积等于4部分面积之和解答即可； （3）利用完全平方公式解答即可； （4）画出的几何图形即可． 【小问1详解】 解：， ∴需要A种纸片2张，B种纸片1张，C种纸片3张， ∴需要三种纸片6张， 故答案为：6； 【小问2详解】 ∵图2大正方形的面积等于4部分面积之和， ． ∴代数式，，之间的等量关系式为：． 故答案为：； 【小问3详解】 ，由， 得，解得， 则直角三角形 的面积为 【小问4详解】 的几何图形如下： 23. 已知直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． （1）如图1，若 ，，且，则的度数为 ； （2）如图2，若 ，，平分 ，过点D作 交于点F，求证：； （3）如图3，若，直线 和直线相交于点K，点H在上方的直线上，试探究 ，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）满足条件的关系是或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由垂直的定义先求出再根据平行线的性质即可得到； （2）设则，由角平分线的定义得到则 ，同理可得，再由垂直的定义得到, 则 ； （3）分当点在点上方时，当点在点C，K之间时，点H在点C，D之间时，三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可． 本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵, ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：设． ， ． 平分 ， ， ． ， ， ，， ． ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，当点H在点K上方时，过点H作，则， ，， ， ， ， ； 如图，当点H在点C，K之间时，过点H作，则， ，， ， ， ， ，即； 如图，当点H在点C，D之间时，过点H作，则， ，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的关系是或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $